数学模型与数学建模 简介ppt课件.ppt

数学模型 MathematicalModel 数学模型是对于现实世界的一个特定对象 一个特定目的 根据特有的内在规律 做出一些必要的假设 运用适当的数学工具 比如数学符号 数学式子 程序 图形等对实际课题的本质属性的抽象而又简洁的刻划得到的一个数学结构 它或能解释某些客观现象 或能预测未来的发展规律 或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略 第一讲数学模型与数学建模简介 假设1 物体为质点 忽略物体的大小和形状 2 没有阻力 摩擦力及其他外力 例1 牛顿第二定律 Newton 令x t 表示在t时刻物体的位置 则 例2 哥尼斯堡七桥问题 18世纪德国哥德堡有一条河 河中有两个岛 两岸于两岛间架有七座桥 问题是 一个人怎样走才可以不重复的走遍七座桥而回到原地 应用知识从实际课题中抽象 提炼出数学模型的过程 数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁 3 综合性 数学知识的综合 模型的综合 1 实践性 有实际背景 有针对性 接受实践的检验 2 应用性 注意实际问题要求 强调模型实用价值 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 模型假设 通常 三只脚着地 放稳 四只脚着地 四条腿一样长 椅脚与地面点接触 四脚连线呈正方形 地面高度连续变化 可视为数学上的连续曲面 地面相对平坦 使椅子在任意位置至少三只脚同时着地 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置 利用正方形 椅脚连线 的对称性 用 对角线与x轴的夹角 表示椅子位置 四只脚着地 距离是 的函数 四个距离 四只脚 A C两脚与地面距离之和 f B D两脚与地面距离之和 g 两个距离 椅脚与地面距离为零 正方形ABCD绕O点旋转 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 f g 是连续函数 对任意 f g 至少一个为0 数学问题 已知 f g 是连续函数 对任意 f g 0 且g 0 0 f 0 0 证明 存在 0 使f 0 g 0 0 模型构成 地面为连续曲面 椅子在任意位置至少三只脚着地 模型求解 给出一种简单 粗糙的证明方法 将椅子旋转900 对角线AC和BD互换 由g 0 0 f 0 0 知f 2 0 g 2 0 令h f g 则h 0 0和h 2 0 由f g的连续性知h为连续函数 据连续函数的基本性质 必存在 0 使h 0 0 即f 0 g 0 因为f g 0 所以f 0 g 0 0 评注和思考 建模的关键 假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子 和f g 的确定 1 了解问题的实际背景 明确建模目的 收集掌握必要的数据资料 2 在明确建模目的 掌握必要资料的基础上 通过对资料的分析计算 找出起主要作用的因素 经必要的精炼 简化 提出若干符合客观实际的假设 3 在所作假设的基础上 利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系 建立相应的数学结构 即建立数学模型 4 模型求解 5 模型的分析与检验 数学建模的一般步骤 数学建模是培养学生的观察能力 抽象能力 创造思维能力 逻辑推理能力 动手能力 数学语言表达能力 计算机使用 数学软件使以及科学计算能力 而我们的现状又是怎样呢 数学建模实践的每一步中都蕴含着能力上的锻炼 在调查研究阶段 需要用到观察能力 分析能力和数据处理能力等 在提出假设时 又需要用到想象力和归纳简化能力 在真正开始自己的研究之前 还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作 使自己的工作成为别人研究工作的继续而不是别人工作的重复 你可以把某些已知的研究结果用作你的假设 去探索新的奥秘 因此我们还应当学会在尽可能短的时间内查到并学会我想应用的知识的本领 还需要你多少要有点创新的能力 这种能力不是生来就有的 建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会 数学建模与能力的培养 怎样学习数学建模 数学建模与其说是一门技术 不如说是一门艺术 技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则 想像力 洞察力 判断力 学习 分析 评价 改进别人作过的模型 亲自动手 认真作几个实际题目 例1某人平时下班总是按预定时间到达某处 然后他妻子开车接他回家 有一天 他比平时提早了三十分钟到达该处 于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子 这一天 他比平时提前了十分钟到家 问此人共步行了多长时间 一些简单实例 似乎条件不够哦 请思考一下 本题解答中隐含了哪些假设 分析本题多少有点象数学中解的存在性条件及证明 当然 这里的情况要简单得多 设砖块是均质的 长度与重量均为1 其重心在中点1 2砖长处 现用归纳法推导 由第n块砖受到的两个力的力矩相等 有 1 2 Zn n 1 Zn故Zn 1 2n 从而上面n块砖向右推出的总距离为 故砖块向右可叠至任意远 这一结果多少有点出人意料 AB发出车次显然是一样多的 否则一处的车辆将会越积越多 黑匣子所在方向很容易确定 关键在于确定距离 设在同一方向不同位置检测了两次 测得的照度分别为I1和I2 两测量点间的距离为a 则有 在方法一中 两检测点与黑匣子位于一直线上 这一点比较容易做到 主要缺点是结果对照度测量的精度要求较高 很少的误差会造成结果的很大变化 即敏感性很强 现提出另一方法 在A点测得黑匣子方向后 到B点再测方向 AB距离为a BAC ABC 利用正弦定理得出d asin sin 需要指出的是 当黑匣子位于较远处而 又较小时 可能非常接近 ACB接近于0 而sin 又恰好位于分母上 因而对结果的精确性影响也会很大 为了使结果较好 应使a也相对较大 例 万有引力定律的发现 十五世纪中期 哥白尼提出了震惊世界的日心说 丹麦著名的实验天文学家第谷花了二十多年时间观察纪录下了当时已发现的五大行星的运动情况 第谷的学生和助手开普勒对这些资料进行了九年时间的分析计算后得出著名的Kepler三定律 牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律 利用微积分方法推导出牛顿第三定律即万有引力定律 如图 有椭圆方程 矢径所扫过的面积A的微分为 由开普勒第二定律 常数 立即得出 即 椭圆面积