第20章-惯性力.ppt

1 第二十章惯性力 2 本章介绍动力学的一个重要原理 达朗贝尔原理 应用这一原理 可以把动力学问题从形式上转化为静力学问题 并利用静力学中研究平衡问题的方法来求解 这种解答动力学问题的方法 也称动静法 第二十章惯性力 3 20 1达朗贝尔原理 人用手推车时 车在加速运动过程中 人会感到受到力的作用 这个力是由于车具有惯性 力图保持原来的运动状态对人产生的反抗力 称为惯性力 如图质点m的运动 由牛顿第二定律 FI为惯性力 上式为质点的达朗贝尔原理 从形式上看作用在质点上的主动力 约束力和虚加惯性力组成平衡力系 这只不过是处理动力学问题的一种方法 质点并未处于平衡状态 一 质点的达朗贝尔原理 第二十章惯性力 4 例1 列车在水平轨道上行驶 车厢内悬挂一单摆 当车厢向右作匀加速运动时 单摆左偏角度q 相对于车厢静止 求车厢的加速度 第二十章惯性力 5 选单摆的摆锤为研究对象虚加惯性力 解 由动静法 有 解得 q角随着加速度的变化而变化 当不变时 q角也不变 只要测出q角 就能知道列车的加速度 这就是摆式加速度计的原理 第二十章惯性力 6 二 质点系的达朗贝尔原理 该式表明 质点系中每个质点上作用的主动力 约束反力和惯性力在形式上构成平衡力系 这就是质点系的达朗贝尔原理 设有一质点系由n个质点组成 对每一个质点i 有 把作用于I质点的所有力分为外力的合力 内力的合力 则 上式表明 质点系中每个质点上作用的外力 内力和惯性力在形式上构成平衡力系 由静力学知 空间任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零 即 第二十章惯性力 7 由于质点系的内力总是成对存在 且等值 反向 共线 有 则上式可改写为 第二十章惯性力 8 上式表明 作用于质点系上的所有外力与虚加在每个质点上惯性力在形式上组成平衡力系 这就是质点系达朗贝尔原理的又一表述 对整个质点系来说 动静法给出的平衡方程 只是质点系的惯性力系与其外力的平衡 而与内力无关 另外很显然有 第二十章惯性力 9 对平面任意力系 对于空间任意力系 实际应用时 同静力学一样任意选取研究对象 列平衡方程求解 用动静法求解动力学问题时 第二十章惯性力 10 对质点系 每个质点均受到惯性力的作用 这些惯性力形成一个力系 利用静力学的力系简化理论 求出惯性力系的主矢和主矩 给解题会带来方便 这里讨论刚体平移 定轴转动和平面运动时惯性力系的简化 20 2刚体惯性力系的简化 以FIR表示惯性力系的主矢 则 该式对任何质点系做任意运动都成立 当然适用于做平移 定轴转动与平面运动的刚体 主矢的大小和方向与简化中心的位置无关 第二十章惯性力 11 1 刚体作平移 若选质心C为简化中心 则rC 0 有 故平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力 其力大小等于刚体质量与加速度的乘积 合力的方向与加速度方向相反 作平移时 刚体任一点i的加速度ai与质心的加速度aC相同 如图 以O为简化中心 有 第二十章惯性力 12 2 定轴转动刚体 如图示定轴转动刚体 考虑质点i 以O为简化中 有 则惯性力系对x轴的矩为 第二十章惯性力 13 同理惯性力系对y轴的矩为 惯性力系对z轴的矩为 第二十章惯性力 分别称为对z轴的惯性积 则惯性力系对x轴的矩为 14 则惯性力系简化的主矩为 结论 当刚体有质量对称平面且绕垂直与此对称平面的轴作定轴转动时 惯性力系向转轴简化为此对称平面内的一个力和一个力偶 这个力等于刚体质量与质心的加速度的乘积 方向与加速度方向相反 作用线通过转轴 这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积 转向与角加速度相反 第二十章惯性力 15 讨论 刚体作匀速转动 转轴不通过质点C 刚体作匀速转动 且转轴过质心 则 第二十章惯性力 16 工程中的刚体常具有质量对称平面 且平行于该平面运动 则刚体各点的惯性力组成的空间力系 可简化为在该对称平面内的平面运动 如图 以质心C为简化中心 惯性力系可简化为 3 刚体作平面运动 平行于质量对称平面 结论 有质量对称平面的刚体 平行于此平面运动时 刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶 这个力通过质心 其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积 其方向与质心加速度的方向相反 这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角角速度的乘积 转向与角加速度相反 第二十章惯性力 17 对于平面运动刚体 由动静法可列出如下三个方程 实质上即是刚体平面运动微分方程 第二十章惯性力 18 例2 均质细杆支承如图所示 已知杆长为l 重为P 斜面倾角 若杆与水平面交角瞬时 A端的加速度为 杆的角速度为零 试求此瞬时杆上惯性力系向点O简化的结果 第二十章惯性力 19 解 杆AB作平面运动 可将惯性力系向质心C简化 故需求得质心C的加速度 以杆端点A为基点 则 上式中方向如图所示 角加速度a的计算 以杆端点A为基点 B为动点 第二十章惯性力 20 因此得此杆惯性力系的主矢为 式中 惯性力系向质心简化得主矩为 方向如图所示 第二十章惯性力 21 再向O点简化 主矢不变 主矩为 第二十章惯性力 22 例3 均质杆长l 质量m 与水平面铰接 杆由与平面成 0角位置静止落下 求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力 选杆AB为研究对象虚加惯性力系 解 根据动静法 有 第二十章惯性力 23 第二十章惯性力 24 例4 牵引车的主动轮质量为m 半径为R 沿水平直线轨道滚动 设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力及驱动力偶矩M 车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为 轮与轨道间摩擦系数为f 试求在车轮滚动而不滑动的条件下 驱动力偶矩M之最大值 O 第二十章惯性力 25 取轮为研究对象虚加惯性力系 解 O 由动静法 得 第二十章惯性力 26 要保证车轮不滑动 必须FS fFN f P F2 Mmax的值为上式右端的值 O 即 第二十章惯性力 27 20 3刚体绕定轴转动时轴承的附加动反力 如图 以O为简化中心 所有主动力和惯性力系向该点简化 形成一空间任意 平衡力系 列平衡方程 由上述5个方程解得轴承的全约束反力为 第二十章惯性力 28 这里把由于惯性力系的主矢FIR和主矩MIO引起的轴承约束力称为动约束力 要使之为零 必须有 即要使轴承动约束力等于零的条件是 惯性力系的主矢等于零 惯性力系对于x轴和y轴的主矩等于零 第二十章惯性力 29 结论 刚体绕定轴转动时 避免出现轴承动约束力的条件是 转轴通过质心 刚体对转轴的惯性积等于零 如果刚体对通过某点的轴z的惯性积Jxz Jyz 0等于零 称该轴为过该点的惯性主轴 通过质心的惯性主轴成为中心惯性主轴 则上述结论可表达为 避免出现轴承动约束力的条件为是 刚体的转轴是刚体的中心惯性主轴 由前面所得 即有 所以 要使惯性力系的主矢等于零 必须aC 0 即转轴通过质心 要使主矩等于零 必须有Jxz Jyz 0 即刚体对转轴z的惯性积等于零 第二十章惯性力 30 例5 质量不计的刚轴以角速度 匀速转动 其上固结着两个质量均为m的小球A和B 指出在图示各种情况下 哪些是静平衡的 哪些是动平衡的 静平衡 a b d 动平衡 a 动平衡的刚体 一定是静平衡的 反过来 静平衡的刚体 不一定是动平衡的 第二十章惯性力 31 设匀质转子重P 质心C到转轴的距离是e 转子以匀角速度 绕水平轴转动 AO a OB b 图a 假定转轴与转子的对称平面垂直 求当质心C转到最低位置时轴承所受的压力 例6 第二十章惯性力 32 第二十章惯性力 33 解 轴Oz是转子在点O的主轴之一 可见惯性力对点O的主矩在垂直于Oz的平面上两轴的投影MICx和MICy恒等于零 又a 0 这样MICz也等于零 因此转子的惯性力合成为作用于点O的一个力FIC 大小等于 方向沿OC 当质心C转到最低位置时 轴上实际所受的力如图b所示 第二十章惯性力 34 根据动静法写出动态平衡方程 由式 1 和 2 解得 两轴承所受的力分别和FA FB的大小相等而方向相反 第二十章惯性力 35 如图a所示 涡轮轮盘由于轴孔不正 装在轴上时 轴与轮盘面的垂线Ox成交角g 1 已知轮盘质量为m 20kg 半径R 200mm 厚度h 20mm 重心O在转轴上 设轮盘为均质圆盘 它到两端轴承的距离OA OB 0 5m 轴作匀速转动 n 12000r min 1 求轴承的附加动约束力 例7 第二十章惯性力 36 第二十章惯性力 37 取固结于涡轮盘上的坐标系Oxyz如图所示 以轮盘和轴为研究对象 解 在圆盘上加惯性力 向中心点O简化结果为 作用于研究对象的主动力有通过重心O的重力 约束力有FAx FAy FBx FBy 第二十章惯性力 38 因为圆盘上各点的y坐标对于z轴是对称的 因此 为计算Jxz 作出圆盘的中心惯性主轴O 以及与之垂直的轴Ox O 并设在图示瞬时 轴与y轴重合 由图 b 可见 第二十章惯性力 39 因 轴是轮盘的对称轴 有 式中r 和r 分别是质点到轴 和 轴的垂直距离 如图 c 所示 或 又因 由转动惯量定义有 第二十章惯性力 40 即J 和J 分别是圆盘对于 轴和 轴的转动惯量 有 于是 当时 于是 第二十章惯性力 41 此例轴承静约束力只有98N 可见附加动约束力远比静约束力大 求得轴承附加动约束力如下 第二十章惯性力 42 根据达朗伯原理 以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法 称为动静法 应用动静法既可求运动 例如加速度 角加速度 也可以求力 并且多用于已知运动 求质点系运动时的动约束反力 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利 例如 矩心可以任意选取 二矩式 三矩式等等 因此当问题中有多个约束反力时 应用动静法求解它们时就方便得多 达朗贝尔原理的应用 第二十章惯性力 43 选取研究对象 原则与静力学相同 受力分析 画出全部主动力和外约束反力 运动分析 主要是刚体质心加速度 刚体角加速度 标出方向 应用动静法求动力学问题的步骤及要点 虚加惯性力 在受力图上画上惯性力和惯性力偶 一定要在正确进行运动分析的基础上 熟记刚体惯性力系的简化结果 第二十章惯性力 44 列动静方程 选取适当的矩心和投影轴 建立补充方程 运动学补充方程 运动量之间的关系 求解求知量 注 的方向及转向如已在受力图中标出 建立方程时 只需按代入即可 第二十章惯性力 45 例1 质量为m1和m2的两重物 分别挂在两条绳子上 绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上 已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J 系统在重力作用下发生运动 求鼓轮的角加速度 取系统为研究对象 解 用达朗伯原理求解 虚加惯性力和惯性力偶 第二十章惯性力 46 由动静法 列补充方程 代入上式得 第二十章惯性力 47 思考题 1 是非题 1 不论刚体作何种运动 其惯性力系向一点简化得主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积 而方向与其质心加速度的方向相反 对 2 质点有运动就有惯性力 错 对 3 质点的惯性力不是它本身所受的作用力 第二十章惯性力 48 2 选择题 1 设质点在空中 只受到重力作用 试问在下列两种情况下 质点惯性力的大小和方向如何 a 质点作自由落体运动 b 质点被铅垂上抛 A a 与 b 的惯性力大小相等 方向都铅直向下B a 与 b 的惯性力大小相等 方向都铅直向上C a 与 b 的惯性力大小相等 a 向上 b 向下D a 与 b 的惯性力大小相等 a 向下 b 向上 B 第二十章惯性力 49 2 如图所示 半径为R 质量为m的均质细圆环沿水平直线轨道作匀速纯滚动 试问应如何虚加惯性力系 D 第二十章惯性力 50 3 如图所示 车顶悬挂一质量为m的单摆 当车以加速度a沿直线加速行驶时 摆向后偏移 用达朗贝尔原理求得小车的加速度a为 D 第二十章惯性力 51 4 两个相同的定滑轮如下图示 开始时都处于静止 同时运动 问同一瞬时哪个角速度大 为什么 第二十章惯性力 52 3 如图所示 均质杆AB的质量为4kg B端置于光滑的水平面上 在杆的端作用一水平推力P 60N 使杆AB沿F力方向作直线平移 试用动静法求AB杆的加速度和角 之值 答案 第二十章惯性力 53 第二十章结束 第二十章惯性力 54 例2 在图示机构中 沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体 各重为P1和P2 半径均为R 绳子不可伸长 其质量不计 斜面倾角q 如在鼓轮上作用一常力偶矩M 试求 1 鼓轮的角加速度 2 绳子的拉力 3 轴承O处的支反力 4 圆柱体与斜面间的摩擦力 不计滚动摩擦 55 解 用达朗贝尔原理求解取轮O为研究对象 虚加惯性力偶 列出动静方程 取轮A为研究对象 虚加惯性力和惯性力偶MIA如图示 56 列出动静方程 运动学关系 将MI FI MIA及运动学关系代入到 1 和 4 式并联立求解得 57 代入 2 3 5 式 得 58 例3 均质圆柱体重为P 半径为R 无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动 平板对水平线的倾角为q 试求OA s时平板在O点的约束反力 板的重力略去不计 解 1 用动能定理求速度 加速度圆柱体作平面运动 在初始位置时 处于静止状态 故T1 0 在末位置时 设角速度为 则vC R 动能为 P 59 主动力的功 由动能定理得 对t求导数 则 2 用达朗伯原理求约束反力 取系统为研究对象 虚加惯性力和惯性力偶MIC P 60 列出动静方程 61 例4 绕线轮重P 半径为R及r 对质心O转动惯量为JO 在与水平成q角的常力F作用下纯滚动 不计滚阻 求 1 轮心的加速度 2 分析纯滚动的条件 解 用达朗伯原理求解绕线轮作平面运动 纯滚动 由达朗伯原理 得 将FI MIO代入上式 可得 62 纯滚动的条件 FS fFN 63 汽车连同货物的总质量是m 其质心C离前后轮的水平距离分别是b和c 离地面的高度是h 当汽车以加速度a沿水平道路行驶时 求地面给前 后轮的铅直反力 轮子的质量不计 例5 64 取汽车连同货物为研究对象 汽车实际受到的外力有 重力mg 地面对前 后轮的铅直反力FNA FNB以及水平摩擦力FB 注意 前轮一般是被动轮 当忽略轮子质量时 其摩擦力可以不计 解 因汽车作平动 其惯性力系合成为作用在质心C上的一个力F Ma 于是可写出汽车的动态平衡方程 65 于是可写出汽车的动态平衡方程 由式 1 和 2 解得 66 飞球调速器的主轴O1y1以匀角速度w转动 试求调速器两臂的张角q 设重锤C的质量为m1 飞球A B的质量各为m2 各杆长均为l 杆重可以忽略不计 例6 67 68 方向如图示 应用质点动静法 列出两投影方程 当调速器稳定运转时 惯性力 即离心力 F 垂直并通过主轴 其大小为 解 如把重锤C简化为一质点 它在杆AC BC的拉力和重力作用下平衡 由此容易求出 69 由此式可知 调速器两臂的张角q与主轴转动角速度w有关 利用这个结果可以选择m1 m2 l等参数量 使在某一转速w下 角q为某一值 从而可以求得重锤C的相应位置 带动调节装置进行调速 以F1值代入前两式 可解出 70 球磨机是一种破碎机械 在鼓室中装进物料和钢球 如图所示 当鼓室绕水平轴转动时 钢球被鼓室携带到一定高度 此后脱离壳壁而沿抛物线轨迹落下 最后与物料碰撞以达到破碎的目的 如已知鼓室的转速为nrpm 直径为D 设钢球与壳壁间无滑动 试求最外层钢球的脱离角q 例7 71 应用质点动静法 设钢球的质量为m 钢球脱离壳壁的瞬时 壳壁对钢球的约束力FN 0 鼓室以匀角速度w转动 钢球尚未脱离壳壁时 其加速度为 因此惯性力的大小为 FI 解 72 即脱离角q与鼓室转速n有关 求得 这就是钢球在任一位置 时所受的法向动约束力 显然当钢球脱离壳壁时 FN 0 由此可求出其脱离角时q为 73 一摆长随时间改变的单摆如图示 摆长的变化规律为l0 vt v为常值 试用达朗贝尔原理列写摆的运动微分方程 并求出绳的张力F 例8 74 75 应用极坐标 j表示质点M的位置 其加速度a可根据式表示为 引入达朗贝尔惯性力 解 76 惯性力F 与重力P和绳的张力F构成平衡力系P F F 0 向e 方向投影 并代入l0 vt 得到运动微分方程 向e 方向的投影得到绳子的张力 77 质量为m 长l的匀质细直杆AB 其A端铰接在铅直轴Az上 并以匀角速度w绕该轴转动 求当AB与转轴间的夹角q 常量 图a 时w与 的关系 以及铰链A的约束力 a b 例9 78 79 mg F FAz FAx a b 取杆AB作为研究对象 受力如图 b 显然当 不变时 杆上各点只有向心加速度an 方向都为水平并指向转轴 这样 杆的惯性力是同向平行分布力 如图 b 所示 解 因而惯性力的元素是 沿杆AB取任一微小段d 考虑 它的质量是mgd gl 加速度是 2 sin 80 全杆惯性力合力的大小可用积分求出 设合力FI的作用线与杆AB的交点是D 并以b代表D到A的距离 则 81 由对点A的合力矩定理 有 把式 1 代入式 2 即可求得 82 写出杆的动态平衡方程 有 把表达式 1 代入平衡方程 3 有 即 83 从而求得 显然 第二个解只在3g 2l 2 1时成立 第一个解能否成立 还需进一步分析 利用 4 5 可以求得铰链上的反作用力 有 84 均质圆盘质量为mA 半径为r 细长杆长l 2r 质量为m 杆端A点与轮心为光滑铰接 如图所示 如在A处加一水平拉力F 使轮沿水平面滚动 问F力多大能使杆的B端刚刚离开地面 又为保证纯滚动 轮与地面间的静滑动摩擦系数应为多大 例10 85 86 细杆刚离地面时仍为平动 而地面约束力为零 设其加速度为a 以杆为研究对象 杆承受的力并加上惯性力如图所示 其中F IC maC ma 解出 解 按动静法列出方程 87 为求摩擦力 应以圆轮为研究对象 由方程 得 地面摩擦力 解得 整个系统承受的力并加上惯性力如图 其中 由方程得 88 再以整个系统为研究对象 由方程 得 由此 地面摩擦系数 89 用长l的两根绳子AO和BO把长l 质量是m的匀质细杆悬在点O 图a 当杆静止时 突然剪断绳子BO 试求刚剪断瞬时另一绳子AO的拉力 O l l l B A C a 例11 90 绳子BO剪断后 杆AB将开始在铅直面内作平面运动 由于受到绳OA的约束 点A将在铅直平面内作圆周运动 在绳子BO刚剪断的瞬时 杆AB上的实际力只有绳子AO的拉力F和杆的重力mg 在引入杆的惯性力之前 须对杆作加速度分析 取坐标系Axyz如图 c 所示 aA anA atA aCx aCy atAC anAC 利用刚体作平面运动的加速度合成定理 以质心C作基点 则点A的加速度为 91 在绳BO刚剪断的瞬时 杆的角速度w 0 角加速度a 0 因此 又anA 0 加速度各分量的方向如图 c 所示 把aA投影到点A轨迹的法线AO上 就得到 anAC AC w2 0 atAC la 2 这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件 即 1 92 杆的惯性力合成为一个作