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4 1 2圆的一般方程 二 导入新课 1 想一想 若把圆的标准方程展开后 会得出怎样的形式 a b r均为常数 所以 任何一个圆方程可以写成下面形式 x2 y2 Dx Ey F 0 探究 是不是任何一个形如x2 y2 Dx Ey F 0方程表示的曲线都是圆呢 例如 1 x2 y2 2x 4y 4 0 2 x2 y2 2x 4y 5 0 3 x2 y2 2x 4y 6 0 叫做圆的一般方程 配方可得 3 当D2 E2 4F 0时 方程 1 无实数解 所以不表示任何图形 1 当D2 E2 4F 0时 表示以 为圆心 以 为半径的圆 2 当D2 E2 4F 0时 方程只有一组解X D 2y E 2 表示一个点 探究 圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 思考 圆的一般方程与标准方程的关系 D2 E2 4F 0 1 a D 2 b E 2 r 没有xy这样的二次项 2 标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点 x2与y2系数相同并且是1 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 例1 若方程x2 y2 2mx 2y m2 5m 0表示圆 求 1 实数m的取值范围 2 圆心坐标和半径 解 1 方程x2 y2 2mx 2y m2 5m 0表示圆 D2 E2 4F 2m 2 2 2 4 m2 5m 0 即4m2 4 4m2 20m 0 解得m 故m的取值范围为 例1 若方程x2 y2 2mx 2y m2 5m 0表示圆 求 1 实数m的取值范围 2 圆心坐标和半径 解 2 将方程x2 y2 2mx 2y m2 5m 0写成标准方程为 x m 2 y 1 2 1 5m 可得圆心坐标为 m 1 半径r 练习 判断下列方程是否表示圆 若是 求出圆心和半径 1 x2 y2 2x 1 0 2 x2 y2 20 x 162 0 3 x2 y2 4mx 2y 5m 0 例2 求过三点A 0 0 B 1 1 C 4 2 的圆的方程 并求这个圆的半径长和圆心坐标 解 设所求的圆的方程为 即圆心坐标为 4 3 r 5 A 0 0 B 1 1 C 4 2 在圆上 还有其它方法吗 方法总结 求圆的方程常用 待定系数法 用 待定系数法 求圆的方程的大致步骤是 根据题意 选择标准方程或一般方程 根据已知条件列出关于a b r或D E F的方程组 解出a b r或D E F 代入标准方程或一般方程 课堂练习 1 求下列各圆的方程 1 过点A 5 1 圆心在点C 8 3 2 过三点A 1 5 B 5 5 C 6 2 答案 2 若已知条件涉及圆心和半径 我们一般采用圆的标准方程较简单 3 若已知三点求圆的方程 我们常采用圆的一
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