河北省邯郸市2016年高考文科数学一模试卷含答案解析

河北省邯郸市 2016 年高考数学一模试卷（文科） （解析版） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1若 z= ，则 z =（ ） A + i B + i C D 2 值为（ ） A B C D 3已知集合 A=x| 2 x 3， B=x|1，则 A（ =（ ） A（ 2， 2 B（ 2， 1 C（ 0， 3） D（ 1， 3） 4设函数 f（ x） = ，则 f（ 2） =（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 5若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆 + 的焦点和顶点，则该双曲线方程为（ ） A B C =1 D =1 6执行如图所示的程序框图，则输出的 s=（ ） A 6 B 15 C 25 D 3 7从 0， 1内随机取两个数 a， b，则使 a 2b 的概率为（ ） A B C D 8在等比数列 ，公比 q 1，且 a1+a3+a5+等差数列，若 a1+a2+，则+ ） A 1 B 10 C 32 D 100 9函数 f（ x） = 的图象大致为（ ） A B C D 10已知函数 f（ x） =2x+ ）（ 0）在区间 0， 内单调递增，则 的最大值是（ ） A B 1 C D 2 11如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四 面体的体积为（ ） A B 1 C D 2 12已知数列 足 ， 2 =1，则 + + =（ ） A B C D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13在正六边形 ，若 = + ，则 = 14已知 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+3y 的最大值为 15已知三棱锥 P 接于球 O， B=，当三棱锥 P 三个侧面的面积之和最大时，球 O 的表面积为 16设点 P 在圆 y 6） 2=5 上，点 Q 在抛物线 y 上，则 |最小值为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17（ 12 分）（ 2016 邯郸一模）在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，满足 （ ）求 C； （ ）若 面积为 2 ，求 c 的最小值 18（ 12 分）（ 2016 邯郸一模）如图，在四棱锥 P ， 边长为 2 的正三角形， 0， E 为棱 中点 （ ）求证： 平面 （ ）若平面 平面 B=2，求点 E 到平面 距离 19（ 12 分）（ 2016 邯郸一模）在一次数学考试中，数学课代表将他们班 50 名同学的考试成绩按如下方式进行统计得到如下频数分布表（满分为 100 分） 成绩 40， 50） 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100） 人数 2 8 15 15 4 6 （ ）在答题卡上作出这些数据中的频率分布直方图； （ ）估计该班学生数学成绩的中位数和平均值； （ ）若按照学生成绩在区间 0， 60）， 60， 80）， 80， 100）内，分别认 定为不及格，及格，优良三个等次，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 5 的样本，计算：从该样本中任意抽取 2 名学生，至少有一名学生成绩属于及格等次的概率 20（ 12 分）（ 2016 邯郸一模）已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F，直线 l 过点 于 A、 B 两点且以 直径的圆 M 与直线 y= 1 相切于点 N （ 1）求 C 的方程； （ 2）若圆 M 与直线 x= 相切于点 Q，求直线 l 的方程和圆 M 的方 程 21（ 12 分）（ 2016 邯郸一模）设函数 f（ x） =（ x+a） b，曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线为 x+y 2=0 （ ）求 y=f（ x）的解析式 （ ）证明： f（ x） 0 选修 4何证明选讲 22（ 10 分）（ 2016 邯郸一模）如图，点 A、 B、 D、 E 在 O 上， 延长线交于点 C， 于点 F， B= （ 1）证明： = ； （ 2）若 ， ，求 长 选修 4标系与参数方程 23（ 2016 邯郸一模）在直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C： 点 P（ 2， 1）的直线 l： （ t 为参数）与曲线 C 交于 M、 N 两点 （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （ 2）求 |+| 的值 选修 4等式选讲 24（ 2016 邯郸一模）已知函数 f（ x） =|x a| |2x 1| （ 1）当 a=2 时，求 f（ x） +3 0 的解集； （ 2）当 x 1， 3时， f（ x） 3 恒成立，求 a 的取值范围 2016 年河北省邯郸市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1若 z= ，则 z =（ ） A + i B + i C D 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，求得 z，再由 求得答案 【解答】 解： z= = ， z =|z|2= = 故选： D 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 2 值为（ ） A B C D 【分析】 把原式通过两角和的正弦函数公式化简为一个角的一个三角函数的形式，然后利用特殊角的三角函数值求解即可 【解答】 解： （ = （ = 15+45） = = = 故选 C 【点评】 考查学生灵活运用两角和的正弦函数公式的逆运算化简求值，牢记特殊角的三角函数值 3已知集合 A=x| 2 x 3， B=x|1，则 A（ =（ ） A（ 2， 2 B（ 2， 1 C（ 0， 3） D（ 1， 3） 【分析】 求出集合 B 中不等式的解集确定出 B，进而求出 B 的补集，即可确定出所求的集合 【解答】 解：由集合 B=x|1=（ 2， +）， ， 2， 集合 A=x| 2 x 3=（ 2， 3）， A（ =（ 2， 2 故选： A 【点评】 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 4设函数 f（ x） = ，则 f（ 2） =（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【分析】 直接利用分段函数的解析式化简求解即可 【解答】 解：函数 f（ x） = ，则 f（ 2） =f（ 2） +1=22+1=5 故选： C 【点评】 本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力 5若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆 + 的焦点和顶点，则该双曲线方程为（ ） A B C =1 D =1 【分析】 求得椭圆的焦点和顶点坐标，设双曲线的方程为 =1（ a， b 0），可得 a，c，进而得到 b 的值，可得双曲线的方程 【 解答】 解：椭圆 + 的焦点为（ 1， 0）和顶点（ ， 0）， 设双曲线的方程为 =1（ a， b 0）， 可得 a=1， c= ， b= =1， 可得 故选： A 【点评】 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题 6执行如图所示的程序框图，则输出的 s=（ ） A 6 B 15 C 25 D 3 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 i， S 的值，当 i=4 时，满足 i 3，退出循环，输出 S 的值，即可得解 【解答】 解：模拟执行程序，可得 s=1， i=1 s=1+1， i=2 不满足条件 i 3， s=1+1+22， i=3 不满足条件 i 3， s=1+1+22+32， i=4 满足条 件 i 3，退出循环，输出 s=1+1+22+32=15 故选： B 【点评】 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基本知识的考查 7从 0， 1内随机取两个数 a， b，则使 a 2b 的概率为（ ） A B C D 【分析】 作 出不等式组对应的平面区域，根据几何概型的概率公式，求出对应区域的面积即可得到结论 【解答】 解：由题意知，满足 a 2b 的条件为 ， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则对应的区域为 则 D（ 1， ）， 则 面积 S= ， 正方形的面积 S=1， 则使 a 2b 的概率 P= = ， 故选： D 【点评】 本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应的面积是解决本题的关键 8在等比数列 ，公比 q 1，且 a1+a3+a5+等差数列，若 a1+a2+，则+ ） A 1 B 10 C 32 D 100 【分析】 由题意列关于等比数列的首项和公比的方程组，求解方程组得答案 【解答】 解：在等比数列 ，公比 q 1， 由 a1+a3+a5+等差数列，且 a1+a2+， 得 ，即： ，解得 数列 是常数列 1， 1， 1， ， 则 +0 故选： B 【点评】 本题考查等比数列的通项公式，考查方程组的解法，是基础题 9函数 f（ x） = 的图象大致为（ ） A B C D 【分析】 根据函数的奇偶性和特殊值进行判断 【解答】 解： f（ x） = ， f（ x）是偶函数，即 f（ x）的图象关于 y 轴对称排除 A， C 当 x 1 时， f（ x） =ln|x|=0，排除 D 故选： B 【点评】 本题考查了对数函数的性质，函数图象的判断，使用排除法可快速判断出答案 10已知函数 f（ x） =2x+ ）（ 0）在区间 0， 内单调递增，则 的最大值是（ ） A B 1 C D 2 【分析】 求出 f（ x）的单调增区间，根据集合的包含关系列不等式解出 的范围 【解答】 解： y= 0， 上单调递增，周期为 令 ，解得 + x + ， 当 k=0 时， f（ x）的单调增区间为 ， f（ x）在 0， 上单调递增， ，解得 故选： A 【点评】 本题考查了正弦函数的 图象与性质，属于中档题 11如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ） A B 1 C D 2 【分析】 由三视图可知：该几何体为 P 中 平面 边形 边长为 2 的正方形利用体积计算公式即可得出 【解答】 解：如图所示，由三视图可知：该几何体为 P 中 平面 边形 边长为 2 的正方形 该四面体的体积 = 2= 故选： C 【点评】 本题考查了三视图的有关知识、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 12已知数列 足 ， 2 =1，则 + + =（ ） A B C D 【分析】 由数列的递推公式，猜想 ，利用数学归纳法证明，再根据裂项求和，即可求出答案 【解答】 解： 2 =1， = ， ， ， ， 可以猜测 ， 利用数学归纳法证明如下， 当 n=1 时， ，等式成立， 假设 n=k 时，等式成立，即 ， 那么 n=k+1 时， = = = ， 则 n=k+1 时，等式成立， 由 可知，猜想成立， = = ， + + =（ 1 ） +（ ） +（ ） =1 = ， 故选： C 【点评】 本题考查了通过数列的递推公式求数列的通项公式，和裂项求和，属于中档题 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13在正六边形 ，若 = + ，则 = 【分析】 根据向量加减运算的几何意义求出 【解答】 解：由正六边形的知识可知 ， = ， = 故答案为： 【点评】 本题考查了平面向量的线性运算的几何意义，属于基础题 14已知 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+3y 的最大值为 20 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答 案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ 4， 4）， 化目标函数 z=2x+3y 为 ， 由图可知，当直线 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为 20 故答案为： 20 【点评】 本题考查简单的线性规划，考查了数 形结合的解题思想方法，是中档题 15已知三棱锥 P 接于球 O， B=，当三棱锥 P 三个侧面的面积之和最大时，球 O 的表面积为 12 【分析】 三棱锥 P 三条侧棱 两互相垂直，三棱锥 P 三个侧面的面积之和最大，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积 【解答】 解：由题意三棱锥 P 三条侧棱 两互相垂直，三棱锥 P三个侧面的面积之和最大， 三棱锥 P 外 接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长： 2 所以球的直径是 2 ，半径为 ， 球的表面积： 4 =12 故答案为： 12 【点评】 本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题 16设点 P 在圆 y 6） 2=5 上，点 Q 在抛物线 y 上，则 |最小值为 【分析】 设圆心为 C，则当 |小时， P， Q， C 三点共线，即 | | ，求出 |最小值，即可得出结论 【解答】 解：设点 Q（ x， y），则 y， 圆 y 6） 2=5 的圆心 C（ 0， 6），半径 r= ， 由圆的对称性可得，当 |最小时， C， P， Q 三点共线，即 | | | = = 2 = 故答案为 【点评】 本题考查抛物线上的动点和圆上的动点间的距离的最小值，解题时要认真审题，注意两点间距离公式和配方法的灵活运用 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17（ 12 分）（ 2016 邯郸一模）在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，满足 （ ）求 C； （ ）若 面积为 2 ，求 c 的最小值 【分析】 （ ）由正弦定理及两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得 得 ，从而解得 C 的值 （ ）由三角形面积公式可得 ，由余弦定理可得 22而可记得 c 的最小值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ ）在 ，由正弦定理，可得 （ 2 分） A+B） =2 （ 4 分） ，故 C=60； （ 6 分） （ ）由已知 ，所以 ， （ 8 分） 由余弦定理 c2=a2+2 228， （ 10 分） （当且仅当 a=b 时取等号） c 的最小值为 （ 12 分 ） 【点评】 本题主要考查了正弦定理及两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式，余弦定理及基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 18（ 12 分）（ 2016 邯郸一模）如图，在四棱锥 P ， 边长为 2 的正三角形， 0， E 为棱 中点 （ ）求证： 平面 （ ）若平面 平面 B=2，求点 E 到平面 距离 【分析】 （ ）取 点 F，连接 用三角形中位线定理、等边三角形的性质可得： 而得到 是平面 平面 可证明 面 （ ）由平面 平面 得 平面 面 平面 ，过 E 作 长线于 G 点，则 长为点 E 到平面 距离，设点 A 到 距离为 h，利用 S 可得出 【解答】 （ ）证明：取 点 F，连接 0， 0，即 面 面 平面 平面 面 平面 （ ）解： 平面 平面 平面 面 平面 平面 在 ，过 E 作 延长线于 G 点， 则 长为点 E 到平面 距离， 设点 A 到 距离为 h， 则 ，即 ， ，即点 E 到平面 距离为 【点评】 本题考查了空间位置关系、线面面面判平行与垂直的判定与性质定理、三角形中位线定理、平行线的判 定方法、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19（ 12 分）（ 2016 邯郸一模）在一次数学考试中，数学课代表将他们班 50 名同学的考试成绩按如下方式进行统计得到如下频数分布表（满分为 100 分） 成绩 40， 50） 50， 60） 60， 70） 70， 80） 80， 90） 90， 100） 人数 2 8 15 15 4 6 （ ）在答题卡上作出这些数据中的频率分布直方图； （ ）估计该班学生数学成绩的中位数和平均值； （ ）若按照学生成绩在区间 0， 60）， 60， 80）， 80， 100）内，分别认定为不及格，及格，优良三个等次，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 5 的样本，计算：从该样本中任意抽取 2 名学生，至少有一名学生成绩属于及格等次的概率 【分析】 （ ）绘制频率分步直方图即可， （ ）利用中位数、平均值的意义即可得出； （ ）利用分层抽样及列举法、古典概型的计算公式即可得出 【解答】 解：（ ）频率分布直方图如图所示 （ ）由频率分布直方图可得该班学生数学成绩的中位 数为 70； 该班学生数学成绩的平均值为， （ ）由题可得在抽取的 5 个样本中属于不及格、及格、优良三个等次的个数分别为 1、 3、1，对应编号分别为 A、 C， 从中任意抽取 2 名学生的情况有 3C，共 10 种， 其中至少有一名学生成绩属于及格等次的情况有 9 种， 至少有一名学生成绩属于及格等次的概率为 【点评】 熟练 掌握中位数、平均值的意义、分层抽样及列举法、古典概型的计算公式是解题的关键 20（ 12 分）（ 2016 邯郸一模）已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F，直线 l 过点 于 A、 B 两点且以 直径的圆 M 与直线 y= 1 相切于点 N （ 1）求 C 的方程； （ 2）若圆 M 与直线 x= 相切于点 Q，求直线 l 的方程和圆 M 的方程 【分析】 （ 1）利用梯形的中位线定理和抛物线的性质列出方程解出 p 即可； （ 2）设 l 斜率为 k，联立方程组解出 中点即 M 的 坐标，根据切线的性质列方程解出k 即可得出 l 的方程和圆的圆心与半径 【解答】 解：（ 1）设 A（ B（ 则 |y1+y2+p， 又 以 直径的圆 M 与直线 y= 1 相切， |y1+，故 p=2， 抛物线 C 的方程为 y （ 2）设直线 l 的方程为 y=，代入 y 中， 化简整理得 44=0， x1+k， 4， ， 圆心的坐标为 M（ 2k， 2）， 圆 M 与直线 相切于点 Q， | ，解得 ， 此时直线 l 的方程为 ，即 x 2y+2=0， 圆心 ，半径 ， 圆 M 的方程为 【点评】 本题考查了抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，切线的性质，属于中档题 21（ 12 分）（ 2016 邯郸一模）设函数 f（ x） =（ x+a） b，曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线为 x+y 2=0 （ ）求 y=f（ x）的解析式 （ ）证明： f（ x） 0 【分析】 （ ）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，解方程组可得 a， b，进而得到所求解析式； （ ）求出函数的导数，由导数的单调性和零点存在定理，可得存在 （ 1， 2）使得 f（ x） =0，证明 f（ 最小值，且大于 0， 即可得证 【解答】 （ ）解： 函数 f（ x）的导数 ， f（ 1） =1+a= 1，即 a= 2， 又点（ 1， f（ 1）在切线 x+y 2=0 上， 1+b 2=0，即 b=1， y=f（ x）的解析式为 f（ x） =（ x 2） ； （ ）证明：由（ ）知 ， 又 f（ x）在（ 0， +）内单调递增， 且 f（ 1） = 1 0， f（ 2） =0， 存在 （ 1， 2）使得 f（ x） =0 当 0 x ， f（ x） 0， f（ x）递减； 当 x ， f（ x） 0， f（ x）递增 f（ x） f（ =（ 2） 由 f（ =0 得 ， 令 ，则 ， r（ x）在区间（ 1， 2）内单调递减，所以 r（ x） r（ 1） =5， 综上，对任意 x （ 0， +）， f（ x） 0 【点评】 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、最值，考查不等式的证明，注意运用函数零点存在定理和构造法，运用单调性是解题的关键 选修 4何证明选讲 22（ 10 分）（ 2016 邯郸一模）如图，点 A、 B、 D、 E 在 O 上， 延长线交于点 C， 于点 F， B= （ 1）证明： = ； （ 2） 若 ， ，求 长 【分析】 （ 1）证明 可证明： = ； （ 2）证明 用比例关系求 长 【解答】 （ 1）证明： C C= C= 2 分） C+ C， B C， 又 C= C 4 分） （ 5 分） （ 2）解：由（ 1）知 C= 8 分） 又 ， ， （ 10 分） 【点评】 本题考查相似三角形的判定与性质，考查等