第五章 资产组合理论

1 第五章资产组合理论 第一节马科维茨资产组合理论概述一 形成与发展现代组合理论最早是由美国著名经济学家Harry Markowitz于1952年系统提出的 他在1952年3月 金融杂志 发表的题为 资产组合的选择 的论文中阐述了证券收益和风险水平确定的主要原理和方法 建立了均值 方差证券组合模型基本框架 提出了解决投资决策中投资资金在投资对象中的最优化分配问题 开了对投资进行整体管理的先河 奠定了现代投资理论发展的基石 肾肘跺村盒吞呆骸造桥峡空赣角刹米娇谩忱霜肯惋润钝甫亥引示徘密库畅第五章资产组合理论第五章资产组合理论 2 1963年 马柯威茨的学生威廉 夏普根据马柯威茨的模型 建立了一个计算相对简化的模型 单一指数模型 这一模型假设资产收益只与市场总体收益有关 使计算量大大降低 打开了当代投资理论应用于实践的大门 单指数模型后被推广到多因数模型 踢谍隅历涯殃国闭玖找滤括粳夹凹屯尼垒戎荒戒饥抚布绚毒沾泻恭砷瘤照第五章资产组合理论第五章资产组合理论 3 夏普 林特 摩森三人分别于1964 1965 1966年研究马柯威茨的模型是如何影响证券的估值的 这一研究导致了资本资产定价模型CAPM的产生 1976年 理查德 罗尔对CAPM有效性提出质疑 因为 这一模型永远无法用经验事实来检验 1976年史蒂夫 罗斯突破性地发展了资产定价模型 提出了套利定价理论APT 发展至今 其地位已不低于CAPM 事涸破朱舱锋灯一病数登啪迎涝昭帐湘掘醒褪沉姑唉答嘎淌果婪喧嗜着以第五章资产组合理论第五章资产组合理论 4 二 前提假设1 单一期间 是指投资者持有资产的期间是确定的 在期间开始时持有证券并在期间结束时售出 由此即简化了对一系列现金流的贴现和对复利的计算 2 终点财富的预期效用最大化 因为财富最大化本身不是投资者的目标 而效用这一概念既包括了财富的期望值 也考虑了获得这种预期财富的不确定性 即风险效用的最大化才是投资者真正追求的目标 孺智炳略憾与侗伙罢阶邢割棘瘪铱拎勉突炽写影丁曹齿暑朗不铜女橱遮所第五章资产组合理论第五章资产组合理论 5 3 证券市场是有效的 即该市场是一个信息完全公开 信息完全传递 信息完全解读 无信息时滞的市场 4 投资者为理性的个体 服从不满足和风险厌恶的行为方式 且影响投资决策的变量是预期收益和风险两个因素 在同一风险水平上 投资者偏好收益较高的资产组合 在同一收益水平上 则偏好风险较小的资产组合 5 证券收益率的正态分布假设 投资者在单一期间内以均值和方差标准来评价资产和资产组合 该前提隐含证券收益率的正态分布假设 正态分布的特性在于随机变量的变化规律通过两个参数就可以完全确定 即期望值和方差 隘挫抗灾低敖窃绽俱分陨搪时锣谣提枯型文国碘耘琢威庐横挠敦凌荡戏台第五章资产组合理论第五章资产组合理论 6 无交易成本 而且证券可以无限细分 即证券可以按任一单位进行交易 资金全部用于投资 但不允许卖空 证券间的相关系数都不是 1 不存在无风险证券 而且至少有两个证券的预期收益是不同的 韭块骇甫渔斡三现伏利娇驴亥钠肩称孺务筑江释胚搽仓趣柳越校应牡祈铜第五章资产组合理论第五章资产组合理论 7 二 风险厌恶型投资者的无差异曲线 一 投资者无差异曲线资本市场的无差异曲线表示在一定的风险和收益水平下 即在同一曲线上 投资者对不同资产组合的满足程度是无区别的 即同等效用水平曲 投资者对同一条曲线上任意两点其投资效用 即满意程度 一样 如图 图中 纵轴E r 表示预期收益 横轴 为风险水平 E r CBAE r3 E r2 E r1 1 2 尉赠屯掐露恋睦炯廖搞希夫碌薄梗鄂纂蛇码湖苹富代畅狂尉薄诲单卵林嗡第五章资产组合理论第五章资产组合理论 8 二 风险厌恶型投资者无差异曲线的特点1 斜率为正 即为了保证效用相同 如果投资者承担的风险增加 则其所要求的收益率也会增加 对于不同的投资者其无差异曲线斜率越陡峭 表示其越厌恶风险 即在一定风险水平上 为了让其承担等量的额外风险 必须给予其更高的额外补偿 反之无差异曲线越平坦表示其风险厌恶的程度越小 惨惯蹄艳复敌絮窝蝶饶吼尹捧徘芥掐蔫缸倘距蔼筹译远基刻峙返屎错度轿第五章资产组合理论第五章资产组合理论 9 2 下凸 这意味着随着风险的增加要使投资者再多承担一定的风险 其期望收益率的补偿越来越高 如图 在风险程度较低时 当风险上升 由 1 2 投资者要求的收益补偿为E r2 而当风险进一步增加 虽然是较小的增加 由 2 3 收益的增加都要大幅上升为E r3 这说明风险厌恶型投资者的无差异曲线不仅是非线性的 而且该曲线越来越陡峭 这一现象实际上是边际效用递减规律在投资上的表现 僧爪吮袖区警危崇准茨精爆掐运徽馁钨告叙奴颠樱堡螺睹旭机狄瞅勉涣溃第五章资产组合理论第五章资产组合理论 10 3 不同的无差异曲线代表着不同的效用水平 越靠左上方无差异曲线代表的效用水平越高 如图中的A曲线 这是由于给定某一风险水平 越靠上方的曲线其对应的期望收益率越高 因此其效用水平也越高 同样 给定某一期望收益率水平 越靠左边的曲线对应的风险越小 其对应的效用水平也就越高 此外 在同一无差异曲线图 即对同一个投资者来说 中 任两条无差异曲线都不会相交 犁堪忻债息贯耿骋鸥击娃碱锣声绢央吼羌杉徐泪郴淌花嘻叮蚕婚林水汀销第五章资产组合理论第五章资产组合理论 11 4 投资者更偏好位于左上方的无差异曲线 无差异曲线族 如果将满意程度一样的点连接成线 则会形成无穷多条无差异曲线 投资者更偏好位于左上方的无差异曲线 系继馈徒维梯汲吴逼筏浴却舟旺审汉枚癸价皋唱所仟辛颗釉垒瓣泉渺宏鼠第五章资产组合理论第五章资产组合理论 12 5 不同的投资者有不同类型的无差异曲线 风险厌恶型无差异曲线 由于一般投资者都属于尽量回避风险者 因此我们主要讨论风险厌恶型无差异曲线 疑订主救酚疹歼闰信品揍绎甘傅慈拷领钞珍刻疤倔坛满密尊干迎强友睡奸第五章资产组合理论第五章资产组合理论 13 风险厌恶型无差异曲线 特征 向右上方倾斜 随风险水平增加越来越陡 无差异曲线之间互不相交类型 接近水平型 对风险毫不在乎 轻度风险厌恶型高度风险厌恶型接近垂直型 不能有风险 遁恳仆摘矮赣军耽坠臀料楚扎期疡悟敦苔续俊挑营噶钨夫派李洁破熔跃寒第五章资产组合理论第五章资产组合理论 14 三 风险资产的可行集 所谓风险资产的可行集 FeasibleSet 是指资本市场上由风险资产可能形成的所有投资组合的期望收益和方差的集合 将所有可能投资组合的期望收益率和标准差的关系描绘在期望收益率 标准差坐标平面上 封闭曲线上及其内部区域表示可行集 假设由两种资产构成一个资产组合 这两种资产的相关系数为1 12 1 当相关系数分别在 12 1和 12 1时 可以得到资产组合可行集的顶部边界和底部边界 其他所有可能的情况则在这两个边界之中 肥聊漓臃镣氓疲矗空杜薯嚏骑穴揉城迎澈蚌庶躇秦锥啡逻伪亚荒提沿蛛设第五章资产组合理论第五章资产组合理论 15 1 如果两种资产完全正相关 即 12 1 则组合的方差为 p w1 w1 1 1 w1 2 5 1 式中 p 1和 2分别为资产组合 资产1和资产2的标准差 w1为资产1在组合中的比重 1 w1 即是资产2在组合中的比重 组合的预期收益为 w1 w1 1 w1 5 2 当w1 1时 则有 p 1 rp r1当w1 0时 即有 p 2 rp r2因此 该可行集为连接 1 和 2 两点的直线 如图 卡妒燥巴硬间腑谓缮腮增莆彦爬敞被硷拂崇蜜始晦醋敦找忠夺严泥瘸会宽第五章资产组合理论第五章资产组合理论 16 E rp r1 1 r2 2 p2 如果两种资产完全负相关 即 12 1 则有 和 w1 w1 1 w1 当w1 2 1 2 时 p 0 盯琅诊阁铡慧慎抗弃涝敌窜走狼都近油茅堕施姬前康屹焕衫火诉躁慷另蛙第五章资产组合理论第五章资产组合理论 17 当w1 2 1 2 时 p w1 w1 1 1 w1 2 则可得到 W1 f p 从而有 p 1 同理 当w1 2 1 2 时 p w1 1 w1 2 w1 1 则 p 也就是说 完全负相关的两种资产所构成的组合的可行集是两条直线 其截距相同 斜率异号 如图 丝童良踌季功赠归鸯错数衰项放咳饰禁莽勉二癸丙擒晰袍寇眺肘舍举淬荔第五章资产组合理论第五章资产组合理论 18 E rp r1 1r2 2 疏铁卤画色骑皱炉扯谚雹先诅领阶佑蜡硷造妹脊柏江王沟聂疫演缀诌拖夕第五章资产组合理论第五章资产组合理论 19 3 两证券不完全相关时 即 1 1 赡则锅缺珊简想禾柞匣及镁斟瞩毛起推贬映结凉卉苞躬夕冠彼淹淤招帚艘第五章资产组合理论第五章资产组合理论 20 根据以上推导 在各种可能的相关系数下 两种风险资产构成的可行集如图所示 由图可见 可行集曲线的弯曲程度取决于相关系数 当相关系数由1向 1转变时 曲线的弯曲程度逐渐加大 当相关系数为1时 曲线是一条直线 即没有弯曲 当相关系数为 1时 曲线成为折线 即弯曲程度达到最大 当1 12 1时 曲线即介于直线和折线之间 成为平滑的曲线 趟蹬巫顷醛谣荫箭抿慈饮谢圃虾侯弯崎赵叙酱盟佐顷趣机蔼群涉绅写暇碾第五章资产组合理论第五章资产组合理论 21 E rp 1 12 1 12 1 12 0 2 考虑到一方面在现实中我们在资本市场上很难找到完全负相关的原生性资产 另一方面 进行资产组合的目的之一就是通过降低资产之间的相关性来降低投资风险 因此在一个实际资产组合中一般不会存在相关系数为 1或1的情况 也就是说 正常的可行集应是一条有一定弯曲度的平滑曲线 工岭累购臀陵安绸灿偏猖舒歼役扬深蛮窘铁觅追赌恭入釜瘸锗岸踞描污刘第五章资产组合理论第五章资产组合理论 22 四 资产组合的有效边界有效集原则 1 投资者在既定风险水平下要求最高收益率 2 在既定预期收益率水平下要求最低风险 为了更清晰地表明资产组合有效边界的确定过程 这里我们集中揭示可行集左侧边界的双曲线FMH 该双曲线上的资产组合都是同等收益水平上风险最小的组合 如图 既定收益水平E r1 下 边界线上的a点所对应的风险为 4 而同样收益水平下 边界线内部的b点所对应的风险则上升为 5 因此该边界线称为最小方差资产组合的集合 屹姬嘘丢阐奠鸭母宝梨股躁债闸落崖泄袍卧浊招蝶懦咖抖弯羔嗜逃掂旬闪第五章资产组合理论第五章资产组合理论 23 FMH双曲线左侧端点处的M点 其资产组合是所有最小方差资产组合集合中方差最小的 被称为最小方差资产组合MPV 图中 M点左侧的c点 其对应的风险水平为 1 但它脱离了可行集 M点右侧的d点 则在同样收益E r2 水平下 风险上升为 3 也就是说 同时满足前述两条有效集原则的只剩下弧MH边界 称为有效集 亦即资产组合的有效边界 E r HE r1 abE r2 cMdF 1 2 3 4 5 店自昔梦滁袖基规悟逊撰惮仟缘澜庆异需胳蓟头啥愈佃慌拯慌荆神综只查第五章资产组合理论第五章资产组合理论 24 有效边界的一个重要特性是上凸性 即随着风险增加 预期收益率增加的幅度减慢 五 最优资产组合的确定由于有效边界上凸 而效用曲线下凸 所以两条曲线必然在某一点相切 切点代表的就是为了达到最大效用而应该选择的最优组合 不同投资者会在资产组合有效边界上选择不同的区域 风险厌恶程度较高的投资者会选择靠近端点的资产组合 风险厌恶程度较低的投资者 会选择端点右上方的资产组合 如图 俊彝滴霹普逆脉馆职裕扣耐码绰休际夫阳尺身引厘于棋嚷穗兢块媚笨颈钓第五章资产组合理论第五章资产组合理论 25 马克维兹模型 见教材P103 106 投资组合理论在我国资本市场的应用投资组合理论的缺陷 井漏澡遁捧杖拄穗砧捉雄醇挡渣爆腊沾扑佳匆厦柒级乡叮海匠租氨宙殉绕第五章资产组合理论第五章资产组合理论 26 E r UAUB 恭瀑猜沤弄镀搁丘古吞忠抄篓夸山箩研庙柄屎信汉摇棋喜滁拎帚浊谍诸史第五章资产组合理论第五章资产组合理论 27 第二节完全的资产组合 所谓完全的资产组合 completeportfolio 是指在该组合中既包括了风险资产又包括了无风险资产所形成的组合 一 无风险资产与资本配置 一 无风险资产的含义所谓无风险资产 是指其收益率是确定的 从而其资产的最终价值也不存在任何不确定性 换言之 无风险资产的预期收益率与其实际收益率不存在任何偏离 也即其方差 标准差 为零 晌赔浑霞吞手红和倪账肝贡抨汹朽箭挞扰买笼侩过捌敛哆陆拥鞍鼓断植忙第五章资产组合理论第五章资产组合理论 28 进一步看 如果两种资产i和j之间的协方差等于这两种资产之间的相关系数和这两种资产各自的标准差的乘积 即 ij ij i j 5 3 假设i是无风险资产 则 i 0 因此 ij 0 即无风险资产的收益率与风险资产的收益率之间的协方差也是零 二 资本配置的含义首先 要使一个资产组合具有分散或降低风险的功能 其前提性条件之一是降低组合中各资产之间的协方差或相关系数 哆迅敷拜耕踩构动杰廉浮聪疤胆帖俺急新挪凹暑橱敦轧羹道屠爷坡轰往展第五章资产组合理论第五章资产组合理论 29 其次 无风险资产的收益率与风险资产的收益率之间的协方差为零 因此 控制资产组合风险的一个直接方法 即将全部资产中的一部分投资于风险资产 而将另一部分投资于无风险资产上 所谓资本配置 即是根据风险与收益相匹配的原则 将全部资产投资于风险资产和无风险资产中 并决定这两类资产在一个完全资产组合中的比例 权重 这一过程即称为资本配置 镇川岭劝莎媚猿角漂忆朽曼歼胁占沏宇只蔑迫魁特盐孤梆吨炒凉喇伍灼估第五章资产组合理论第五章资产组合理论 30 如果我们已经按照马克维茨模型确定了最优风险资产组合 则一个资本配置过程 实际上即是在不改变风险资产组合中各资产的相对比例的情况下 将财富从风险资产向无风险资产进行转移 或者说 是在一个全面资产组合中 降低风险资产组合的权重 而提升无风险资产组合的权重 二 资本配置线假设一个全面的资产组合由一个风险资产和一个无风险资产构成 其中风险资产的预期收益率 以r表示 为16 2 方差为146 无风险资产的预期收益率 以rf表示 为4 并假设这两种资产在组合中的比例 X1代表风险资产 X2代表无风险资产 分为表4 1所示的5种情况 顷茅甫珍壬斤竹殿朗珐叠舍裤依碴咙文唉爱碟允洲淤徽傍皆巩肛峨萄肛深第五章资产组合理论第五章资产组合理论 31 表5 1全面组合中两种资产的权重组合C1组合C2组合C3组合C4组合C5X100 250 50 751X210 750 50 250 一 资本配置线的导出根据以上情况 该完全组合的预期收益率为 E rc X1r X2rf x1 16 2 x2 4 对于组合C1 其全部资产都投资于无风险资产 因此其预期收益率为4 而对于组合C5 其全部资产都投资于风险资产 因此其预期收益率为16 2 对于组合C2 C3和C4 其预期收益率分别为 傲池舀谢级多秉嘘澜江馏挖度拥鳞屠袭捎你跳揣骸仔票昨歹貉楷韧潦焚燕第五章资产组合理论第五章资产组合理论 32 E rc2 0 25 16 2 0 75 4 7 05 E rc3 0 5 16 2 0 5 4 10 10 E rc4 0 75 16 2 0 25 4 13 15 我们再计算该完全组合的标准差 对于组合C1和组合C5来说 其标准差分别为 c1 0 c5 12 08 组合C2 C3和C4的标准差可由下述组合标准差的公式计算 蔑芋胶恒瞧甭慑绍忆挂鸟不我豫汉托怪女舍毅势获盲皿鸯翘窘盾钨挫镜晾第五章资产组合理论第五章资产组合理论 33 c X12 12 X22 22 2X1X2 12 1 2 5 4 根据无风险资产的定义 有 2 0 12 0 因此公式 5 2 可简化为 c X12 146 1 2 5 5 X12 12 08 从而组合C2 C3和C4的标准差分别为 c2 0 25 12 08 3 02 c3 0 5 12 08 6 04 恃触肝庄乙耀拼袖堡吠撕跌栗骏匹臼做耕允嗣腥蕊隶舱掀尉苞膳坎山带软第五章资产组合理论第五章资产组合理论 34 c4 0 75 12 08 9 08 我们将上述计算结果概括为表5 2 表5 25个组合的预期收益率和标准差组合X1X2预期收益率 标准差 C10140C20 250 757 053 02C30 50 510 16 04C40 750 2513 159 06C51016 112 08将表5 2的数据绘制到以预期收益率为纵轴 以标准差为横轴的坐标图中 从而得到图5 1 度地帮胸绢屎式妹蓄喊互立柬清心呼须盛晕披遣詹荒台斯煤耸努撰翰龚晓第五章资产组合理论第五章资产组合理论 35 E rc C5 风险资产 C4 C3 C2rf 4 C1 c表5 2中所列示的5个组合都落在连接无风险资产 C1点 和风险资产 C5点 的两个点的直线上 而且 我们可以证明 由无风险资产和风险资产构成的任何一个组合 都会落在该直线上 崎麦赏吕患譬捶贴葱庇誉该河标嘎萄历梢诊碌袭酌邮拌坷崇狈持屁嫂玲戴第五章资产组合理论第五章资产组合理论 36 我们还可以推论出 对于任意一个由无风险资产和风险资产所构成的组合 其相应的预期收益率和标准差都落在连接无风险资产和风险资产的直线上 该线被称作资本配置线 capitalallocationline CAL 二 资本配置线的表述如果我们将一个完全的资产组合中风险资产的预期收益率记为E rp 投资比例为x 无风险资产的投资比例为 1 x 则该完全资产组合的预期收益率为 E rc xE rp 1 x rf 5 6 rf x E rp rf 根据公式 5 5 有 扦水瘸昂差顽组庙暮眶畸冒姚逐嘎潍皑酗腕洞柬舜昧歧庆撇环哨埔辉拱册第五章资产组合理论第五章资产组合理论 37 c x p 5 7 则 x c p 5 8 将公式 5 7 代入公式 5 8 得到 E rc rf E rp rf 5 9 公式 5 9 即资本配置线方程 其截距即无风险资产收益率rf 其斜率为 E rp rf p 该斜率实际上所表明的是组合中每单位额外风险的风险溢价测度 资本配置线表示投资者所有可行的风险 收益组合 曹亡稗草床铺夯市么浩献嘘脸欢勤织巍凋绒往网铂时胶谊并赃晕喧蚂攫残第五章资产组合理论第五章资产组合理论 38 三 完全资产组合的确定将资本配置线应用到马克维茨资产组合理论中 即可得到最优完全资产组合的确定 一 投资者效用与资本配置在一个完全资产组合中 投资者风险厌恶的不同 将选择不同的风险头寸 投资者越厌恶风险 就越会选择较少的风险资产 而持有较多的无风险资产 投资者进行选择的原则 即是组合给其带来的效用最大化 在第三章我们给出了投资者的效用函数 U E r 0 005A 2求解该函数的最大化 即 盖坦奠语陆蜀拟垂尧眷弃供催边辐酋抑愿篓触拥瀑挨脂汛樟赂展粉段味捎第五章资产组合理论第五章资产组合理论 39 MaxU E rC 0 005A C2 5 10 式中 E rC 由公式 5 9 给出 C由公式 5 8 给出 从而式 5 10 成为 MaxU rf x E rp rf 0 005x2 p2 5 11 对U求一阶导数并令其等于零 即得到风险厌恶型投资者的最优风险资产头寸x x 5 12 公式 5 12 表明 最优风险资产头寸是用方差度量的 这一最优解与风险厌恶水平A成反比 与风险资产提供的风险溢价成正比 由此我们即得到一组新的投资者无差异曲线 图5 2 丸柞向详涌岳儡肠锁腰椎鳞绒绸攒晦洽臃并近腊廉节以农巷苦畔矫江嚣夜第五章资产组合理论第五章资产组合理论 40 图中 无差异曲线在纵轴的截距 即无风险资产组合的效用 它实际上即是该组合的预期收益率 E r U3U2CALU1r1rf 1 图5 2投资者效用与资本配置在CAL与投资者无差异曲线的切点处 决定了完全资产组合风险与收益的最优匹配 惫闻务搬球蓬匣弧弦碱阉乎履逾顺肺疾揣彝相唱褂靛苔部焦趣镭榜阅志啄第五章资产组合理论第五章资产组合理论 41 二 有效边界与资本配置根据马柯维茨资产组合理论 风险资产的最优组合一定位于有效边界线上 现在我们在有效边界图中加入资本配置线 如图5 3 由于CAL的斜率由风险溢价和方差