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数字电子技术 安徽师范大学物理与电子信息学院 陶文海 一 理论课教学内容 绪论 1 第一章数制和代码 6 第二章逻辑代数基础 10 第三章逻辑门电路 4 第四章组合逻辑电路 12 第五章触发器 8 第六章时序逻辑电路 14 第七章脉冲的产生与整形 5 第八章D A与A D转换 选修 第九章半导体存储器 选修 二 实验课教学内容 实验一组合逻辑电路的设计与测试实验二数值比较器的设计 测试及其应用实验三数据选择器及其应用实验四译码器及其应用实验五触发器及其应用实验六时序逻辑电路的设计与测试实验七计数器及其应用实验八寄存器及其应用 三 教学参考书目 江国强 现代数字逻辑电路 电子工业出版社 2002 8 1 余孟尝 数字电子技术基础简明教程 高等教育出版社 2006 7 3 2 教学参考书目 1 教材 康华光 电子技术基础 数字部分 高等教育出版社 2006 1 5 RobertD Thompson 数字电路简明教程 电子工业出版社 2003 7 1 阎石 数字电子技术基础 高等教育出版社 1998 11 4 余孟尝 数字电子技术基础简明教程 高等教育出版社 1999 10 2 四 教学考核 1 平时成绩10 平时考勤5 平时作业5 2 实验成绩20 实验操作10 实验报告10 3 期中成绩10 4 期末成绩60 数字电子技术 绪论数制和代码逻辑代数基础逻辑门电路组合逻辑电路触发器时序逻辑电路脉冲的产生与整形 绪论 电子信号的分类数字电路的特点数字电路的分类数字电路的应用 返回 一 电子信号的分类 用来传递 加工和处理模拟信号的电路 称作为模拟电路 模拟信号的特征是 无论是从时间上或从大小上来看信号都是连续变化的 如正弦波信号 模拟电路 1 模拟信号和模拟电路 模拟信号 XL 1正弦波信号 2 数字信号和数字电路 返回 用来传递 加工和处理数字信号的电路 称作为数字电路 数字电路 数字信号的特征是 无论是从时间上或从大小上来看信号都是离散的 或是不连续的 又称为脉冲信号 如方波 矩形波和锯齿波 数字信号 图XL 2矩形波信号 二 数字电路的特点 1 在数字电路中 一般都采用二进制的数字信号 只有0和1这两个基本数码 反映在电路上就是低电平和高电平这两种状态 2 在数字电路中 稳态时的晶体管一般都工作在开 关状态 3 数字电路都是由几种最基本的单元电路组成 由于只要元件具有两个稳定状态就可以用来表示二进制的0和1这两个基本数码 所以其基本单元电路简单 对元件的精度要求不高 允许有较大的分散性 只要能可靠区分两种截然不同的状态 0 和 1 即可 返回 7 此外 数字电路还具有抗干扰能力强 精确度高 保密性好 通用性强 便于集成化 数字信号便于长期储存 6 数字电路能够对输入的数字信号进行各种算术运算和逻辑运算 包括逻辑推理和逻辑判断 5 在数字电路中 使用的主要方法是逻辑分析和逻辑设计 主要工具是逻辑代数 4 在数字电路中 研究的主要问题是输出信号和输入信号之间的关系 即所谓的逻辑关系 三 数字电路的分类 2 按集成度分类 超大规模集成电路 VeryLargeScaleIC VLSI 小规模集成电路 SmallScaleIC SSI 中规模集成电路 MediumScaleIC MSI 巨大规模集成电路 GiganticScaleIC GSI 特大规模集成电路 UltraLargeScaleIC ULSI 大规模集成电路 LargeScaleIC LSI 1 按电路结构和工作原理分类 按照电路结构和工作原理的不同 数字电路可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两大类 表XL 1集成度的标准 返回 划分集成电路规模 集成度 的标准 集成度是指每块集成电路芯片中所包含元器件的数目 集成度 四 数字电路的应用 返回 由于数字电路具有上述特点 因而发展十分迅速 在电子计算机 数控技术 通讯设备 数字仪表等方面具有十分广泛的应用 第一章数制和代码 概述数制数制间的转换二进制正负数表示法二进制代码 返回 概述 一个数通常可以用两种不同的方法来表示 一 按 值 表示 所谓按 值 表示 即选择某种进位制来确定某个数的值或大小 这就是所谓的数制 按 值 表示时需要注意三个问题 1 恰当地选择数字符号 数码 及其组合规律 2 确定小数点的位置 3 正确地表示出数的正 负符号 返回 二 按 形 表示 所谓按 形 表示 就是按照一定的编码方法来形象地表示某个数 采用按 形 表示时 先要确定编码规则 然后按此编码规则编出一组代码 并给每一个代码赋以一定的含义 这就是所谓的码制或代码 1 1数制 数制中数的表示一般都采用位置计数法 3 基数是指该进位制所用数码的个数 每一个位置的 权 可以用基数的幂形式来表示 1 在一个数中 每一个数码和数码所在的位置共同决定了该数的大小 2 数码本身是有大小的 而每一个数码所在的位置也同样具有确定该数大小的一个特定的数值 这个数值称为位置的 权 位 权 一 十进制 Decimal 2 基数 3 计数规则 1 数码 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 逢十进一 即 一个有n位整数和m位小数的任意十进制数的位权展开式为 公式1 1 1 4 位权展开式 二 二进制 Binary 2 基数 3 计数规则 1 数码 0 1 2 逢二进一 即 一个有n位整数和m位小数的任意二进制数的位权展开式为 公式1 1 2 4 位权展开式 三 八进制 Octal 2 基数 3 计数规则 1 数码 0 1 2 3 4 5 6 7 8 逢八进一 即 一个有n位整数和m位小数的任意八进制数的位权展开式为 公式1 1 3 4 位权展开式 四 十六进制 Hexadecimal 2 基数 3 计数规则 1 数码 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 逢十六进一 即 一个有n位整数和m位小数的任意十六进制数的位权展开式为 公式1 1 4 4 位权展开式 五 任意进位制 r进制 2 基数 3 计数规则 1 数码 0 1 2 r 1 r 逢r进一 即 一个有n位整数和m位小数的任意r进制数的位权展开式为 公式1 1 5 4 位权展开式 例1 1 1 例1 1 2 例1 1 4 例1 1 3 返回 也就是说 一个任意进制数的位权展开式 可以由该数中每一个数码乘以它所在位置的 权 然后再将这些乘积累加起来得到 而且一个任意进制数位权展开式的值一定是十进制数 例1 1 5 1 2数制间的转换 一 其他进制数转换为十进制数 要将二进制数 八进制数 十六进制数以及r进制数转换为十进制数 只要按照位置计数法 求出各个数码与所在位置的 权 的乘积 然后把各项乘积累加起来 即可得到转换结果 二 十进制数转换为其他进制数 任意一个十进制数都是由整数和小数两部分组成 对整数和小数部分分别进行转换 再将两部分的转换结果排列在一起即可得到完整的转换结果 1 对整数部分通常采用基数除法 除基反序取余法 直到商为0时停止 2 对小数部分通常采用基数乘法 乘基顺序取整法 直到小数部分为0时或达到需要的转换精度时停止 基数除法原理 以十到二为例 1 对于一个任意的十进制整数 总是和某一个二进制整数一一对应 即 2 而的位权展开式 3 4 再将除以2 商为 余数为 此为该二进制整数的倒数第二位数码 5 连续地将商除以2 就可依次得到 直到商为0时停止 得到最高位数码 将除以2后所得商为 余数为 此为该二进制整数的最低一位数码 1 对于一个任意的十进制小数 总是和某一个二进制小数一一对应 即 2 而的位权展开式 3 基数乘法原理 以十到二为例 再将乘以2 其中作为整数溢出 此为该二进制小数第二位数码 括号中的数仍为小数 4 5 连续地将小数部分乘以2 依次溢出得到 直到小数部分为0时 溢出得到最低位数码 或达到需要的转换精度时停止 将乘以2 其中作为整数溢出 此为该二进制小数最高一位数码 括号中的数仍为小数 例1 2 2 例1 2 1 例1 2 4 例1 2 3 三 二进制数和八进制数间的相互转换 由于 所以每一位八进制数与三位二进制数一一对应 如表1 2 3 1所示 表1 2 3 1 1 二进制数转换为八进制数 从小数点开始 向左 对整数 向右 对小数 将每三位二进制数作为一组 最高位和最低位不足三位的补0 缺几位就补几个0 再将每三位二进制数用一位对应的八进制数进行替换即可 例1 2 5 只要将每一位八进制数用对应的三位二进制数进行替换即可 2 八进制数转换为二进制数 例1 2 6 四 二进制数和十六进制数间的相互转换 由于 所以每一位十六进制数与四位二进制数一一对应 如表1 2 4 1所示 表1 2 4 1 1 二进制数转换为十六进制数 从小数点开始 向左 对整数 向右 对小数 将每四位二进制数作为一组 最高位和最低位不足四位的补0 缺几位就补几个0 再将每四位二进制数用一位对应的十六进制数进行替换即可 例1 2 7 只要将每一位十六进制数用对应的四位二进制数进行替换即可 2 十六进制数转换为二进制数 例1 2 8 八进制数 五 八进制数和十六进制数间的相互转换 八进制数和十六进制数之间的相互转换必须以二进制数为桥梁 即 二进制数 十六进制数 附1二进制数与四进制数的对应表 附2四进制数与十六进制数的对应表 返回 1 3二进制正负数表示法 二进制正负数表示法有原码表示法 补码表示法和反码表示法三种 二进制数的补码有两种形式 一 二进制数的补码 一种称为基数的补码 即2的补码 另一种是基数减一的补码 即1的补码 1 2的补码 如果以表示一个具有n位整数 小数位不限 的任意二进制数 若以表示其补码 那么有 也就是说 二进制数的补码是由参考数 n是整数位数 减去这个数本身得到的 公式1 3 1 2的补码简称为补码 求二进制数补码的一种方法是 将该二进制数最低一位的1及其右边的数码保持不变 而将其左边的数码逐位求反即可 结论1 例1 3 1 的补码为 的补码为 的补码为 2 1的补码 如果以表示一个具有n位整数 m位小数的任意二进制数 若以表示其反码 那么有 也就是说 二进制数的反码是由参考数 n是整数位数 m是小数位数 减去这个数本身得到的 公式1 3 2 1的补码简称为反码 例1 3 2 的反码为 的反码为 的反码为 结论2 而在反码的最低一位加1 就可得到它的补码 求二进制数的反码 可将该二进制数中的每一位数码直接求反 即 就可得到它的反码 注意 如果将二进制数的补码再求补一次 或将二进制数的反码再求反一次 就都将还原为原来的二进制数 二 二进制正负数表示法 我们通常在一个二进制数最高位的左边加上符号位来表示该二进制数的正负 通常符号位上用 0 表示正 用 1 表示负 二进制正负数的表示方法有原码表示法 补码表示法和反码表示法三种 符号位和最高位之间用逗号分隔 也可以省略 1 原码表示法 所谓原码表示法 就是将 0 或 1 加到该二进制数绝对值最高位左端的符号位 便可用来表示正或负二进制数 例1 3 3 的原码表示法 的原码表示法 的原码表示法 无的原码表示法 2 补码表示法 正二进制数的补码表示法等同于原码表示法 负二进制数的补码表示法为符号 1 加上该数绝对值的补码 例1 3 4 的补码表示法 的补码表示法 的补码表示法 的补码表示法 3 反码表示法 正二进制数的反码表示法等同于原码表示法 负二进制数的反码表示法为符号 1 加上该数绝对值的反码 例1 3 5 的反码表示法 的反码表示法 的反码表示法 的反码表示法 三 补码运算 例1 3 6 返回 1 4二进制代码 数字系统处理的信息 一类是数值 另一类是文字和符号 它们都可以用多位二进制数来表示 这种多位二进制数就叫做代码 二 十进制码又称BCD码 它是用四位二进制代码来表示一位十进制数 给每一个代码赋一定的含义叫做编码 一 二 十进制码 BinaryCodedDecimal 1 8421BCD码 特点 8421码的每一位都象纯二进制数一样 具有标准的8 4 2 1位权 所以这种二进制代码属于有权码 在8421码中 仅使用了这十个代码 分别用来表示这十个数码 而为禁用码 有权的BCD码还有5421码 2421码 5211码等 2 余三码 余三码是由8421码加上3 0011 后得到的一种二进制代码 特点 由于余三码的每一个二进制位没有固定的位权 则属于无权码 在余三码中表示0和9 1和8 2和7 3和6以及4和5的码组之间互为反码 3 循环码 格雷码 这样从一个数过渡到相邻的另一个数时 只要改变其中的一个码元即可 而不会瞬间出现许多别的码组 这样就尽可能地避免造成逻辑差错 因此它是一种错误最小化代码 特点 循环码也是一种无权码 又称为反射码和单位间距码 表示任何相邻两数的四位码组中 仅有一个码元不同 附3循环码完全表 两位 三位 四位 循环码求法 某二进制代码为 其对应的循环码为 其中 最高位保留 其他各位 应用 为了表示多位十进制数 可选用多组BCD码 由高位到低位排列起来 且组间留有空隙 例1 4 2 例1 4 1 注意 BCD码与纯二进制数之间的区别 它们之间不能直接转换 必须以十进制数为桥梁 十进制数 即 BCD码 二进制数 例1 4 3 它是由五个码元构成一个码组 仅以状态的改变来区别这十个数码 也是一种无权码 二 右移码 右移码是另一种错误最小化代码 特点 表示任何相邻两数的码组中仅有一个码元不同 附4常用二进制代码一览表 三 误差检测码 增加监督码元后 使得整个码组中码元为 1 的个数是奇数或偶数 若为奇数 称为奇校验码 若为偶数 称为偶校验码 监督码元 信息码 它的编码方法是在信息码的基础上额外加上一位监督码元 最常见的误差检测码是奇偶校验码 我们把具有发现错误 并纠正错误能力的代码称为误差检测码 最常见的字符数字代码有ASC 码 ASC 码全称为美国信息交换标准码 一般为八位代码 其中第八位为奇偶校验码 其他七位表示信息 四 字符数字代码 字符数字代码是用来表示文字 符号和数字的一种代码 返回 第二章逻辑代数基础 基本逻辑运算逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数公式法化简逻辑函数的表示方法逻辑函数的卡诺图 返回 2 1基本逻辑运算 而且 逻辑代数中的0和1不再表示具体的数值大小 而只是表示两种不同的逻辑状态 即事件的是非 真假 电位的高低 信号的有无 以及电路的导通和断开等 逻辑代数与普通代数相比较 虽然它也是用字母来表示变量 但是逻辑代数中的变量 逻辑变量 的取值只能是0或1 没有第三种的可能 逻辑代数是1847年由英国数学家乔治 布尔首先研究出来的 所以又称之为布尔代数 由于逻辑代数研究的只是两值变量的运算规律 因此又被叫做两值代数 1938年逻辑代数被直接应用于开关电路 也被称为开关代数 一 逻辑函数 在数字电路中 如果它的一组输入变量与某一个输出变量之间存在着确定的对应关系 即当输入变量取某一组值时 输出变量就有一个确定的值与之相对应 则称该输出变量是此组输入变量的一个逻辑函数 上式中为输出变量 为输入变量 它们的取值都只能是0和1两种 就是一定的逻辑对应关系 逻辑函数表达式的一般形式为 逻辑函数表达式 二 基本逻辑运算 在数字电路中最基本的逻辑关系有 与 或 和 非 三种 对应于逻辑代数中 与 或 和 非 这三种最基本的函数关系 又称为三种基本逻辑运算 1 与 逻辑运算 所谓 与 运算就是仅当决定事件发生的所有条件均具备时 事件才可发生 这种因果关系叫做 与 运算 又称为逻辑乘 如下图所示关系 逻辑函数表达式 公式2 1 1中 为 与 运算符号 可以省略 表示 与 运算的逻辑函数表达式为 公式2 1 1 真值表 Truthtable 用来表示逻辑函数中各逻辑变量 包括输入和输出变量 之间相互关系的表格叫做真值表 由于真值表列出了所有可能的输入组合下逻辑运算的结果 所以一个逻辑函数只可能有唯一的真值表 因此它可以完全确定逻辑运算的规律 真值表的左边是输入变量所有可能的取值组合 右边是每一种取值组合所对应的输出结果 假设用1表示开关闭合或灯亮 用0表示开关不闭合或灯不亮 与 运算的真值表如表2 1 2 1所示 与 运算的真值表 表2 1 2 1 与 运算的规则 与 门的逻辑符号如图2 1 2 1所示 在数字电路中 用来实现 与 运算的单元门电路叫做 与 门 ANDgate 与 门及其逻辑符号 推广 基本规则 图2 1 2 1 与 运算的概念可以扩大应用于任意多个输入变量 推广 三变量 与 运算 n变量 与 运算 所谓 或 运算就是在决定事件发生的所有条件中只要有一个或一个以上的条件具备时 事件便可发生 这种因果关系叫做 或 运算 又称为逻辑加 2 或 逻辑运算 如下图所示关系 逻辑函数表达式 公式2 1 2中 为 或 运算符号 不可以省略 表示 或 运算的逻辑函数表达式为 公式2 1 2 或 运算的真值表 或 运算的真值表如表2 1 2 2所示 表2 1 2 2 或 门的逻辑符号如图2 1 2 2所示 在数字电路中 用来实现 或 运算的单元门电路叫做 或 门 ORgate 或 门及其逻辑符号 图2 1 2 2 或 运算的规则 推广 基本规则 同样 或 运算的概念也可以扩大应用于任意多个输入变量 推广 三变量 或 运算 n变量 或 运算 所谓 非 运算就是当条件不具备时 事件才可发生 这种因果关系叫做 非 运算 又称为逻辑非 也叫逻辑求反 3 非 逻辑运算 如下图所示关系 逻辑函数表达式 表示 非 运算的逻辑函数表达式为 公式2 1 3 公式2 1 3中 为 非 运算符号 式2 1 3读作等于的非 或读作等于的反 非 运算的真值表 非 运算的真值表如表2 1 2 3所示 表2 1 2 3 非 运算的规则 推广 基本规则 非 门的逻辑符号如图2 1 2 3所示 在数字电路中 用来实现 非 运算的单元门电路叫做 非 门 NOTgate 非 门及其逻辑符号 图2 1 2 3 附1国标与西文门电路逻辑符号对比图 一 三 复合逻辑运算 任何逻辑运算都可用上述的 与 或 和 非 这三种基本逻辑运算复合组成 1 与非 逻辑运算 NAND 表示 与非 运算的逻辑函数表达式为 公式2 1 4 与非 门的逻辑符号如图2 1 3 1所示 图2 1 3 1 2 或非 逻辑运算 NOR 表示 或非 运算的逻辑函数表达式为 公式2 1 5 或非 门的逻辑符号如图2 1 3 2所示 图2 1 3 2 3 与或非 逻辑运算 AND OR INVERT 表示 与或非 运算的逻辑函数表达式为 公式2 1 6 与或非 门的逻辑符号如图2 1 3 3所示 图2 1 3 3 4 异或 逻辑运算 Exclusive OR 逻辑函数表达式 表示 异或 运算的逻辑函数表达式为 公式2 1 7 当 两输入变量取值相异时 函数输出为1 当 两输入变量取值相同时 函数输出为0 这种因果关系叫 异或 逻辑运算 公式2 1 7中 为 异或 运算符号 异或 运算的真值表 异或 运算的真值表如表2 1 3 1所示 表2 1 3 1 异或 门的逻辑符号如图2 1 3 4所示 异或 门逻辑符号 图2 1 3 4 5 同或 逻辑运算 Exclusive NOR 当 两输入变量取值相异时 函数输出为0 当 两输入变量取值相同时 函数输出为1 这种因果关系叫 同或 逻辑运算 逻辑函数表达式 表示 同或 运算的逻辑函数表达式为 公式2 1 8 公式2 1 8中 为 同或 运算符号 同或 运算的真值表 同或 运算的真值表如表2 1 3 2所示 同或 门的逻辑符号如图2 1 3 5所示 同或 门逻辑符号 图2 1 3 5 表2 1 3 2 也就是说 异或 等同于 同或非 或者 同或 等同于 异或非 或 由上表可知 对于同样的输入 异或 运算和 同或 运算的输出结果恰好相反 即两者互反 公式2 1 9 公式2 1 9 附2国标与西文门电路逻辑符号对比图 二 返回 2 2逻辑代数的基本定律和规则 一 逻辑代数的基本定律 1 交换律 2 集合律 3 自等律 4 0 1律 5 还原律 7 重叠律 6 互补律 9 反演律 德 摩根定律 公式2 2 3 公式2 2 2 8 分配律 公式2 2 1 逻辑函数相等 如果对于输入变量的任意一组取值组合 函数和的输出都相等 那么 也就是说真值表相同的两逻辑函数相等 所谓逻辑函数相等 是指对于任意两个逻辑函数来说 证明 列真值表如下 令 例2 2 1用真值表证明下列等式成立 1 因此 2 证明 列真值表如下 令 因此 3 证明 列真值表如下 令 因此 二 逻辑代数的基本规则 代入规则主要应用于公式的推广 在任意一个逻辑等式中 如果将等式两边所有出现某一变量的位置都用同一个逻辑函数去代入置换 那么等式仍然成立 这一规则就叫做代入规则 1 代入规则 已知 若用代替等式中的 那么根据代入规则 则等式仍然成立 即 例2 2 2 逻辑变量的 或非 等于变量 非 的 与 逻辑变量的 与非 等于变量 非 的 或 这样 利用代入规则我们就可以把摩根定律推广到任意多个输入变量 公式2 2 2 公式2 2 3 2 反演规则 对于任意一逻辑函数 如果将函数中所有的 运算符号 换成 换成 常量 0 换成 1 1 换成 0 原变量换成反变量 反变量换成原变量 所得到的是原函数的反函数 这就是反演规则 很显然 利用反演规则 很容易就可求得任一逻辑函数的反函数 在使用反演规则时 要保持原式中运算符号的优先顺序 1 函数的反函数为 2 函数的反函数为 此外 不是一个逻辑变量上的 非 号 应保持不变 注意事项 括号 非 运算 与 运算 或 运算 例2 2 3 3 对偶规则 很显然 利用对偶规则 很容易就可求得任一逻辑函数的对偶式 对于任意一逻辑函数 如果将函数中所有的 运算符号 换成 换成 常量 0 换成 1 1 换成 0 逻辑变量保持不变 所得到的是原函数的对偶式 这就是对偶规则 1 函数的对偶式为 在使用对偶规则时 要保持原式中运算符号的优先顺序 2 函数的对偶式为 注意事项 括号 非 运算 与 运算 或 运算 例2 2 3 如果的反函数为 那么的反函数就是 所以与互为反函数 同样 如果的对偶式为 那么的对偶式就是 所以与互为对偶式 结论1 即 即 如果两个逻辑函数相等 有 那么它们的反函数相等 结论2 同样 它们的对偶式也相等 即 即 三 逻辑代数的常用公式 证明 公式2 2 4 1 吸收律 公式2 2 4说明 在一个 与或 表达式中 如果一个与项是另一个与项的因子 那么另一个与项是多余的 可省 所以上式又称为吸收律 它们的反演式成立 它们的对偶式也成立 推广 证明 公式2 2 5 2 合并律 公式2 2 5说明 在一个 与或 表达式中 如果两个与项分别包含了一个变量的原变量和反变量 而这两个与项的剩余因子又都相同 则可将这两个与项合并为一项 并保留相同的因子 上式又称为合并律 推广 它们的反演式成立 它们的对偶式也成立 证明 公式2 2 6 3 吸收律 公式2 2 6说明 在一个 与或 表达式中 如果一个与项的非是另一个与项的因子 则该因子是多余的 可省 所以上式又称为吸收律 推广 它们的反演式成立 它们的对偶式也成立 4 冗余律 公式2 2 7 证明 公式2 2 7和公式2 2 7 说明 在一个 与或 表达式中 如果两个与项分别包含了一个变量的原变量和反变量 而这两个与项的剩余因子又都是第三个与项的因子 或构成第三个与项 那么第三个与项是多余的 可省 所以上两式又称为冗余律 也叫添加律 推论 公式2 2 7 证明 例2 2 5证明等式成立 证明 所以等式成立 四 异或 运算的公式 1 基本公式 2 交换律 3 集合律 4 分配律 所以等式成立 证明 等式左边 等式右边 5 因果互换律 如果 则 证明 如果 则 证明 6 多变量的 异或 运算 在多变量的 异或 运算中 如果变量值为1的个数是奇数 则 异或 运算的结果为1 如果变量值为1的个数是偶数 那么 异或 运算的结果为0 而与变量值为0的个数无关 这样 同或 运算与 异或 运算既是互为反函数 又是互为对偶式 因此 同或 运算的公式可由 异或 运算公式利用对偶规则推导出来 因为其对偶式为 五 同或 运算的公式 3 集合律 2 交换律 1 基本公式 4 分配律 所以等式成立 证明 等式左边 等式右边 5 因果互换律 如果 则 如果 则 6 多变量的 同或 运算 在多变量的 同或 运算中 如果变量值为0的个数是奇数 则 同或 运算的结果为0 如果变量值为0的个数是偶数 那么 同或 运算的结果为1 而与变量值为1的个数无关 例2 2 6证明等式成立 证明 例2 2 7证明等式成立 返回 证明 2 3逻辑函数的公式法化简 一个逻辑函数可以有不同形式的表达式 或非 或非 式 与或非 式 与非 与非 式 或与 式 与或 式 一 逻辑函数的最简表达式及其相互转换 如 是最简 与或 式 所谓最简 与或 式是指逻辑函数表达式中与项的个数最少 而且每个与项中相与的变量的个数也最少的 与或 表达式 1 最简 与或 式 在逻辑函数的最简 与或 式的基础上 两次取反 再利用摩根定律去掉最下面的一个非号 便可得到该逻辑函数的最简 与非 与非 式 所谓最简 与非 与非 式是指逻辑函数表达式中非号的个数最少 而且每个非号下面相与的变量的个数也最少的 与非 与非 表达式 2 最简 与非 与非 式 如 是最简 与非 与非 式 3 最简 或与 式 在逻辑函数反函数的最简 与或 式的基础上 利用反演规则 可以直接写出该逻辑函数的最简 或与 式 所谓最简 或与 式是指逻辑函数表达式中或项的个数最少 而且每个或项中相或的变量的个数也最少的 或与 表达式 如 是最简 或与 式 所谓最简 或非 或非 式是指逻辑函数表达式中非号的个数最少 而且每个非号下面相或的变量的个数也最少的 或非 或非 表达式 在逻辑函数最简 或与 式的基础上 两次取反 再利用摩根定律去掉最下面的非号 便可得到该逻辑函数的最简 或非 或非 式 4 最简 或非 或非 式 如 是最简 或非 或非 式 在逻辑函数反函数的最简 与或 式的基础上 可以求反直接写出该逻辑函数的最简 与或非 式 所谓最简 与或非 式是指逻辑函数表达式中在非号下面相或的与项的个数最少 而且每个与项中相与的变量的个数也最少的 与或非 表达式 5 最简 与或非 式 如 是最简 与或非 式 逻辑函数表达式转换图 同样 由于每一个表达式的繁简程度不同 导致相应电路的复杂程度也不同 但是在实际应用过程中 我们总是希望电路越简单越好 所以在逻辑电路的设计过程中 要简化逻辑函数 以便得到逻辑函数的最简表达式 其次 逻辑函数的最简 与或 式最优先 从上面的讨论中 我们不难发现 只要得到了逻辑函数的最简 与或 式 再利用摩根定律或反演规则就可以得到逻辑函数的其它几种形式的最简式 其次 上面的转换方法不仅对最简式成立 对于一般式也成立 二 逻辑函数的公式法化简 利用合并律 将两个与项合并成一项 并消去多余的与项和变量 例2 3 1化简下列逻辑函数 1 1 合并项法 3 2 2 吸收法 利用吸收律 或吸收律 消去多余的与项或因子 1 例2 3 2化简下列逻辑函数 3 2 3 配项法 例2 3 3化简逻辑函数 方法1 利用逻辑代数的冗余律或公式 给某个逻辑函数表达式增加适当的多余项 进而消去原来函数中的某些项 从而达到化简逻辑函数的目的 方法2 返回 在实际解题的过程中 单独运用某一公式或定律求出逻辑函数的最简 与或 式几乎是不可能的 往往需要综合利用各种公式和定律 例2 3 4化简逻辑函数 在真值表中 左边是输入变量各种可能的取值组合 而右边是每一种取值组合所对应的函数结果 2 4逻辑函数的表示方法 由于每一个输入变量只有0 1这两种取值 这样个输入变量就有种可能的取值组合 用来表示逻辑函数中各逻辑变量 包括输入和输出变量 之间相互关系的表格叫做真值表 一 真值表 根据逻辑函数的不同特点 可以用真值表 逻辑函数表达式 卡诺图 逻辑电路图和波形图等方法来表示同一个逻辑函数 例2 4 1列出下列逻辑函数的真值表 1 2 注意 在列逻辑函数的真值表时 一定要注意逻辑函数表达式自身的特点 3 用 与 或 和 非 等逻辑运算符号连接逻辑函数中各个输入变量来表示确定逻辑关系的有意义的代数式 就叫做逻辑函数表达式 二 逻辑函数表达式 在这里 我们重点介绍标准 与或 式和标准 或与 式 在一个逻辑函数的真值表中 选择那些使函数输出值为1的输入变量的取值组合 每一个使函数输出值为1的输入变量的取值组合都可以写成一个与项 其中变量值为1的写成原变量 变量值为0的写成反变量 再将这些与项相或起来 就可以得到该逻辑函数的标准 与或 式 任何一个逻辑函数的标准 与或 式都是唯一的 1 标准 与或 式 真值表标准 与或 式 例2 4 2写出下列真值表所表示的逻辑函数的标准 与或 式 1 2 最小项 在逻辑函数表达式中 如果一个与项 包含了所有的输入变量 每一个输入变量都以原变量或者反变量的形式作为与项的一个因子在与项中出现一次 而且仅仅出现一次 那么称该与项是所有输入变量的一个最小项 在逻辑函数的标准 与或 式中 所有的与项都具有标准的形式 这种标准的与项 我们称之为最小项 两个输入变量有4个最小项 三个输入变量有8个最小项 这样对于个输入变量来说 共有个最小项 性质 逻辑函数的每一个最小项都对应了输入变量的一组取值组合 对于任意一个最小项来说 只有对应的那组输入变量的取值组合使该最小项的值为1 而对于输入变量的其他取值组合 该最小项的值都为0 输入变量的所有最小项的或恒为1 输入变量的任意两个最小项的与恒为0 把与最小项对应的 即使最小项值为1的那一组输入变量的取值组合当作是一个纯二进制数 而该二进制数所对应的十进制数 就是此最小项的编号 为了叙述和书写的方便 通常要对最小项进行编号 编号 例2 4 3写出下列逻辑函数的最小项表达式 1 2 逻辑函数反函数的标准 与或 式 在一个逻辑函数的真值表中 选择那些使函数输出值为0的输入变量的取值组合 每一个使函数输出值为0的输入变量的取值组合都可以写成一个与项 其中变量值为1的写成原变量 变量值为0的写成反变量 再将这些与项相或起来 就可以得到该逻辑函数反函数的标准 与或 式 例2 4 4写出真值表所示逻辑函数反函数的最小项表达式 2 标准 或与 式 任何一个逻辑函数的标准 或与 式都是唯一的 真值表标准 或与 式 在一个逻辑函数的真值表中 选择那些使函数输出值为0的输入变量的取值组合 每一个使函数输出值为0的输入变量的取值组合都可以写成一个或项 其中变量值为0的写成原变量 变量值为1的写成反变量 再将这些或项相与起来 就可以得到该逻辑函数的标准 或与 式 最大项 在逻辑函数表达式中 如果一个或项 包含了所有的输入变量 每一个输入变量都以原变量或者反变量的形式作为或项的一个因子在或项中出现一次 而且仅仅出现一次 那么称该或项是所有输入变量的一个最大项 在逻辑函数的标准 或与 式中 所有的或项都具有标准的形式 这种标准的或项 我们称之为最大项 两个输入变量有4个最大项 三个输入变量有8个最大项 这样对于个输入变量来说 共有个最大项 性质 逻辑函数的每一个最大项都对应了输入变量的一组取值组合 对于任意一个最大项来说 只有对应的那组输入变量的取值组合使该最大项的值为0 而对于输入变量的其他取值组合 该最大项的值都为1 输入变量的所有最大项的与恒为0 输入变量的任意两个最大项的或恒为1 把与最大项对应的 即使最大项值为0的那一组输入变量的取值组合当作是一个纯二进制数 而该二进制数所对应的十进制数 就是此最大项的编号 为了叙述和书写的方便 通常也要对最大项进行编号 编号 结论1 逻辑函数标准 或与 式中最大项的编号和该逻辑函数反函数标准 与或 式中的最小项的编号相同 例2 4 5写出逻辑函数的最大项表达式 逻辑电路图是由表示逻辑运算门电路的逻辑符号以及它们之间进行连接 组合而构成的图形 简称为逻辑图 三 逻辑电路图 1 函数表达式逻辑图 例2 4 6画出逻辑函数的逻辑图 例2 4 7画出逻辑函数的逻辑图 例2 4 8画出逻辑函数的逻辑图 例2 4 9写出下面逻辑图所示逻辑函数的表达式 2 逻辑图函数表达式 例2 4 10写出下面逻辑图所示逻辑函数的表达式 例2 4 11写出下面逻辑图所示逻辑函数的表达式 四 波形图 1 真值表波形图 波形图是真值表的一种变形形式 它是用矩形波 脉冲 的形式来表示逻辑函数输入变量的取值组合与输出结果之间对应关系的 例2 4 12画出以下真值表所示逻辑函数的波形图 如果用高电平表示变量值 1 用低电平表示变量值 0 该逻辑函数的波形图如下 2 波形图真值表 例2 4 13列出以下波形图所示逻辑函数的真值表 如果用变量值 1 表示高电平 用变量值 0 表示低电平 该逻辑函数的真值表如下 五 正逻辑与负逻辑 所谓正逻辑就是用 1 表示条件满足或事件发生 用 0 表示条件不满足或事件没有发生 1 正逻辑 2 负逻辑 所谓负逻辑就是用 0 表示条件满足或事件发生 用 1 表示条件不满足或事件没有发生 3 基本逻辑运算的正 负逻辑表示 与 运算的正 负逻辑表示 正逻辑表示 负逻辑表示 正逻辑的 与 运算等同于负逻辑的 或 运算 结论1 或 运算的正 负逻辑表示 正逻辑表示 负逻辑表示 正逻辑的 或 运算等同于负逻辑的 与 运算 结论2 非 运算的正 负逻辑表示 正逻辑表示 负逻辑表示 非 运算的正 负逻辑表示不作区分 结论3 4 逻辑函数的正 负逻辑表示 逻辑函数的正 负逻辑表达式满足对偶规则 例2 4 14写出逻辑函数的负逻辑表达式 负逻辑表达式为 负逻辑表示 返回 2 5逻辑函数的卡诺图 将个输入变量的全部最小项各用一个小方格表示 并使逻辑相邻的最小项所对应的小方格在几何位置上也相邻地排列起来 这样所得到的图形就叫做输入变量的卡诺图 一 卡诺图 Karnaughmaps 卡诺图是真值表的另一种变形形式 它是用方格图来表示逻辑函数的 逻辑函数可以表示成最小项之和的形式 而在卡诺图中 每一个小方格就代表了逻辑函数的一个最小项 逻辑相邻 卡诺图中小方格的几何相邻包括以下三种情况 一是相接 紧挨着的小方格 二是相对 任意一行或任意一列两端的小方格 三是相重 卡诺图沿对称轴对折起来位置是重合的小方格 几何相邻 如果输入变量的两个最小项中除一个变量不同 相反 外 而其余的变量都相同 那么这两个最小项在逻辑上是相邻的 如 输入变量的最小项与是逻辑相邻的 输入变量的卡诺图中有个小方格 输入变量的卡诺图一般都画成矩形或长方体 1 卡诺图的构成 在卡诺图中 由于任何几何相邻的小方格所对应的最小项在逻辑上也是相邻的 因此行 列两组变量的取值顺序要按照循环码来进行排列 在卡诺图中 与最小项对应的每一个小方格的位置 是由行 列两组变量共同确定的 而且变量取值为0表示反变量 变量取值为1表示原变量 2 常用的变量卡诺图 两变量卡诺图如图2 5 1 1所示 图2 5 1 1 三变量卡诺图如图2 5 1 2所示 图2 5 1 2 四变量卡诺图如图2 5 1 3所示 图2 5 1 3 五变量卡诺图如图2 5 1 4所示 图2 5 1 4 图2 5 1 4 1 真值表卡诺图 二 逻辑函数的卡诺图表示 真值表中的每一行都对应了卡诺图中的一个小方格 将逻辑函数真值表中每一行的函数值填到对应的卡诺图小方格中去 便可得到该逻辑函数的卡诺图 例2 5 1已知逻辑函数的真值表如下 求其卡诺图 如果已知逻辑函数的标准 与或 式 可将该逻辑函数的标准 与或 式中所包含的最小项对应的卡诺图小方格中填1 而其余的小方格填0 便可得到该逻辑函数的卡诺图 2 标准 与或 式卡诺图 例2 5 2求逻辑函数的卡诺图 例2 5 3求逻辑函数的卡诺图 如果已知逻辑函数的一般 与或 式 通常先将该表达式转换为标准 与或 形式 再填卡诺图即可 3 一般 与或 式卡诺图 例2 5 4求逻辑函数的卡诺图 三 逻辑函数的卡诺图化简 由于在卡诺图中 凡是几何相邻的小方格所对应的最小项在逻辑上也是相邻的 因此可放在一起进行合并化简 利用卡诺图化简求逻辑函数的最简 与或 式 首先画出该逻辑函数的卡诺图 然后合并符合要求的最小项 最后写出该逻辑函数的最简 与或 式 在变量的卡诺图中 可能有个填 1 的小方格几何相邻 这个填 1 的几何相邻的小方格所对应的最小项可以合并为一个 与 项 该 与 项中消去了个取值发生变化的变量 保留了个取值没有变化的变量 最后将合并最小项所得到的若干个 与 项相或就可得到该逻辑函数的最简 与或 式 当时 n变量的逻辑函数卡诺图中所有的小方格都填了 1 此时逻辑函数的值恒为1 1 合并规则 2 注意事项 合并最小项时 值应尽可能的大 这样消去的变量就越多 保留的变量就越少 因而得到的 与 项也就越简单 逻辑函数的最简 与或 式不是唯一的 必须要把组成逻辑函数的最小项全部处理完为止 特别要注意孤立的 没有相邻的单独小方格应保留其对应的最小项 合并最小项时 任何一个填 1 的最小项都可以被重复使用 但是每次合并时至少应包含一个新的最小项是其他合并时所没有的 否则得到的 与 项就是冗余项 合并最小项时 合并的次数应尽可能的少 这样化简后得到的 与 项就越少 表达式也就越简单 例2 5 5利用卡诺图化简下列逻辑函数 1 2 3 四 逻辑函数反函数的卡诺图化简 在逻辑函数的卡诺图中 合并那些填 0 的最小项 便可以得到逻辑函数反函数的最简 与或 式 例2 5 6求逻辑函数的最简 或与 式 五 具有随意项的逻辑函数的卡诺图化简 然而 在实际中经常会遇到这样的问题一是电路输入变量的某些取值组合对电路的输出没有影响 函数的输出值可以是任意的 二是由于外部条件的某些限制 使输入变量的某些取值组合不会在电路中出现 这样也就不用去关心与其对应的电路的输出值是 1 还是 0 我们在前面所讨论的逻辑函数 函数的输出值是确定的 不是 1 就是 0 随意状态所对应的最小项称为随意项 无关项或约束项 在数字电路中 我们把使输出值为任意 即输出值可以假定为 1 也可假定为 0 的输入变量的取值组合称之为随意状态 1 随意状态与随意项 2 随意项的表示 在真值表和卡诺图中用符号来表示随意项的逻辑值 有时也用表达式来表示逻辑函数中随意状态 在逻辑函数表达式中常用表示括号中的那些编号所对应的最小项就是随意项 如表示表达式所包含的最小项都是随意项 3 具有随意项的逻辑函数的卡诺图化简 例2 5 7利用卡诺图化简下列逻辑函数 1 或 返回 2 第三章逻辑门电路 晶体管的开关特性基本逻辑门电路TTL集成逻辑门电路CMOS集成门电路 返回 一 二极管的开关特性 1 二极管的伏安特性 二极管的伏安特性曲线如图3 1 1 1所示 图3 1 1 1 当时 二极管截止 当时 二极管导通 3 1晶体管的开关特性 2 二极管开关电路 由二极管构成的开关电路如图3 1 1 2所示 图3 1 1 2 当时 二极管截止 如同开关断开 当时 二极管导通 如同0 7V的电压源 二 三极管的开关特性 1 三极管的特性曲线 三极管的输入 输出特性曲线如图3 1 2 1所示 图3 1 2 1 三极管的工作状态如表3 1 2 1所示 2 三极管的工作状态 表3 1 2 1 3 三极管开关电路 由三极管构成的开关电路如图3 1 2 2所示 图3 1 2 2 当时 由于 所以三极管工作在截止状态 所以输出电压为 由图3 1 2 2可得三极管临界饱和时的基极电流为 当时 三极管工作在导通状态 基极电流为 因为 所以三极管工作在饱和状态 输出电压为 三 场效应管的开关特性 1 场效应管的特性曲线 场效应管的正向转移 输出特性曲线如图3 1 3 1所示 图3 1 3 1 2 场效应管开关电路 由场效应管构成的开关电路如图3 1 3 2所示 图3 1 3 2 返回 3 2基本逻辑门电路 一 二极管与门电路 1 电路图 二极管与门电路如图3 2 1 1所示 图3 2 1 1 当 此时二极管和都导通 由于二极管正向导通时的钳位作用 2 工作原理 当 此时导通 由于钳位作用 受反向电压而截止 当 此时导通 受反向电压而截止 当 此时二极管和都截止 把上述分析结果归纳起来列入表3 2 1 1中 如果采用正逻辑体制 很容易看出它实现的是 与 逻辑运算 如果并联增加一个输入端和一个二极管 就可变成三输入端与门 按此办法可扩展构成多输入端的与门 表3 2 1 1 二 二极管或门电路 1 电路图 二极管或门电路如图3 2 2 1所示 图3 2 2 1 当 此时二极管和都截止 2 工作原理 当 此时导通 受反向电压而截止 当 此时导通 受反向电压而截止 当 此时二极管和都导通 把上述分析结果归纳起来列入表3 2 2 1中 如果采用正逻辑体制 很容易看出它实现的是 或 逻辑运算 同样 可用并联增加输入端和二极管的方法 构成更多输入端的或门 表3 2 2 1 三 三极管非门电路 反相器 1 电路图 由三极管组成的非门电路如图3 2 3 1所示 图3 2 3 1 当 此时三极管的发射结电压小于死区电压 满足截止条件 所以三极管截止 当 此时三极管的发射结正偏 三极管导通 只要合理选择电路元件参数 使其满足饱和条件 则管子工作于饱和状态 有 2 工作原理 把上述分析结果归纳起来列入表3 2 3 1中 此电路不管采用正逻辑体制还是负逻辑体制 都满足 非 运算的逻辑关系 表3 2 3 1 四 MOS管非门电路 1 电路图 由MOS管组成的非门电路如图3 2 4 1所示 图3 2 4 1 2 工作原理 当 由于小于开启电压 所以MOS管截止 当 由于 大于开启电压 所以MOS管导通 且工作在可变电阻区 导通电阻很小 只有几百欧姆 把上述分析结果归纳起来列入表3 2 4 1中 此电路不管采用正逻辑体制还是负逻辑体制 都满足 非 运算的逻辑关系 表3 2 4 1 五 DTL与非门电路 由三输入端的二极管与门以及三极管非门组合而成的DTL与非门电路如图3 2 5 1所示 图3 2 5 1 返回 DTL电路虽然结构简单 但因工作速度低而很少应用 由此改进而成的TTL电路 问世几十年来 经过电路结构的不断改进和集成工艺的逐步完善 至今仍广泛应用 几乎占据着数字集成电路领域的半壁江山 3 3TTL集成逻辑门电路 一 TTL与非门 1 电路图 TTL与非门电路如图3 3 1 1所示 图3 3 1 1 2 工作原理 当输入信号不全为高电平时 如 那么 截止 导通 输出端的电位为 输出为高电平 当输入信号全为高电平时 如 那么 饱和导通 截止 输出端的电位为 输出为低电平 把上述分析结果归纳起来列入表3 3 1 1中 如果采用正逻辑体制 很容易看出它实现的是 与非 逻辑运算 表3 3 1 1 二 TTL非门 1 电路图 TTL非门电路如图3 3 2 1所示 图3 3 2 1 2 工作原理 当输入为低电平时 截止 导通 输出为高电平 当输入为高电平时 饱和导通 截止 输出为低电平 3 逻辑功能 三 TTL或非门 1 电路图 TTL或非门电路如图3 3 3 1所示 图3 3 3 1 2 工作原理 当输入信号全为低电平 导通 截止 输出为高电平 当输入