高中数学第一1.1.3三个正数的算术_几何平均不等式例题与探究新人教选修.docx

1.1.3 三个正数的算术几何平均不等式典题精讲【例1】 已知xR+，求函数y=x(1-x2)的最大值.思路分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2=x2(1-x2)2=x2(1-x2)(1-x2)=2x2(1-x2)(1-x2).最先求出最值后再开方.解：y=x(1-x2),y2=x2(1-x2）2=2x2(1-x2)(1-x2).2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,y2.当且仅当2x2=1-x2=1-x2,即x=时取“=”号.y.y的最大值为. 黑色陷阱：拼凑数学结构，以便能利用均值不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符合适用的条件，对于本题，有的学生可能这样去拼凑：y=x(1-x2)=x(1-x)(1+x)=x(2-2x)(1+x)3=. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“=”号的条件，显然x=2-2x=1+x无解，即无法取“=”号，也就是说，这种拼凑法是不对的.这就要求平时多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时注意均值不等式的使用条件，三个缺一不可.【变式训练1】 为锐角，求y=sincos2的最大值.思路分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因子的和为定值.要特别注意sin2+cos2=1的应用.解：y2=sin2cos2cos2=2sin2(1-sin2)(1-sin2)()3=. 当且仅当2sin2=1-sin2,即sin=时取等号.此时ymax=.【变式训练2】 已知xR+，求函数y=x2(1-x)的最大值.思路分析：本题积结构中x2=xx,所以y=x2(1-x)=xx(1-x),为使“和”为定值，还需拼凑系数.解：y=x2(1-x)=xx(1-x)=xx(2-2x).当且仅当x=2-2x,即x=时取等号.此时,ymax=.【例2】 已知n是大于1的自然数，求证：2n1+.思路分析：2n1+等价于2n-1根据等比数列的前n项和公式逆向联想到2n-1=1+2+22+2n-1.即式也可表示为n个不同的数1，2，22，2n-1之积，因此自然联想到；如果正好等于这几个正数之积的n次算术根，则即可由均值不等式证得.证明：2n-1=1+2+22+2n-1,2n1+. 绿色通道：在使用均值不等式的题目中，尤其对于n个正数的均值不等式，能够分析或观察到是n个正数的均不等式问题是解答的关键，这也需要对提供的条件代数式进行适当的变形.【变式训练】 已知：a,b,c同号且互不相等，a+b+c=1,求证：+9.思路分析：本题解法较多，已知条件中a+b+c可看作是“1”的代换，然后两两结合使用基本不等式，或者看作6个正数的均值不等式.证法一：+=1+1+1=(+)+(+)+(+)+3.a,b,c同号，且a+b+c=1.a0,b0,c0.,均大于0.又a,b,c互不相等，由基本不等式，得+2,+2,+2.于是，左边2+2+2+3=9.+9.证法二：+=3+(+).a,b,c同号且a+b+c=1,a0,b0,c0.,均大于0，又a,b,c互不相等.由6个正数的均值不等式，得左边=3+(+)3+=3+6=9.+=9.问题探究问题：制作一个圆柱形的饮料盒，如果容积一定，怎样设计它的尺寸，才能使所用的材料最少？导思：所用的材料最少的本质是什么意思？或者说从数学的角度来说是什么意思？分析出来，实质是表面积最小.探究：已知量：体积V.需设量：底半径r,高h.最终要研究的量：表面积S