2020年中考数学压轴题冲刺提升 专题12 击破类比、探究类综合题利器之全等知识（含解析）

专题12 击破类比、探究类综合题利器之全等知识模型一、a字形（手拉手）及其旋转模型二、k字型及其旋转【例1】（2019济源一模）在菱形 abcd 中，abc=60，点p是射线bd上一动点，以ap为边向右侧作等边ape，点 e 的位置随着点 p 的位置变化而变化（1）探索发现如图1，当点e在菱形abcd 内部或边上时，连接ce填空：bp与ce的数量关系是 ，ce 与 ad 的位置关系是（2）归纳证明当点e在菱形 abcd 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）拓展应用如图4，当点p在线段 bd 的延长线上时，连接be，若ab=，be=，请直接写出四边形 adpe 的面积 图1 图2 图3 图4【答案】（1）bp=ce，cead；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）连接ac，延长ce至ad，四边形abcd是菱形，abc=60，bad=120，bac=60，cad=60，abc是等边三角形，ab=ac，ape是等边三角形，ap=ae，pae=60，bap=cae，bapcae，bp=ce，abc=60，abp=30，bapcae，abp=ace=30，cad=60，ace+cad=90，即cdad.（2）结论仍然成立，理由如下：（以图2为例）连接ac，设ce与ad交于点h，四边形abcd是菱形，abc=60，abc和acd是等边三角形，abd=cbd=30，ab=ac，bac=60，ape是等边三角形，ap=ae，pae=60，bap=cae，bapcae，bp=ce，ace=abp=30，cah=60，ahc=90，即cead；（3）连接ac交bd于o，连接ce，由（2）知，cebc，ab=，be=，在rtbcf中，由勾股定理得：ce=8，由bapcae，得：bp=ce，bd=6，dp=bpbd=2，ao=，在rtaop中，由勾股定理得：ap=，s=sadp+sape=8.【变式1-1】（2019周口二模）在abc中，abc为锐角，点m为射线ab上一动点，连接cm，以点c为直角顶点，以cm为直角边在cm右侧作等腰直角三角形cmn，连接nb（1）如图1，图2，若abc为等腰直角三角形，问题初现：当点m为线段ab上不与点a重合的一个动点，则线段bn，am之间的位置关系是_，数量关系是_；深入探究:当点m在线段ab的延长线上时，判断线段bn，am之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展:（2）如图3，acb90，若当点m为线段ab上不与点a重合的一个动点，mpcm交线段bn于点p，且cba=45，bc=，当bm=_时，bp的最大值为_图1图2图3【答案】（1）bnam，bn=am；（2）见解析，（3）2， 1.【解析】解：（1）由ac=bc，acm=bcn，cm=cn，可证acmbcn，bn=am，a=cbn=45，abn=90，即bnam.（2）bnam，bn=am；理由如下：abc是等腰直角三角形，ac=bc，a=abc=45，acb=90，同理，ncm=90，nc=mc,acm=bcn，acmbcn，bn=am，a=cbn=45，abn=90，即bnam.(3)过c作cgbc交ba的延长线于g，过c作chab于h，如图所示，易证gcmbcn，由（2）知，bnab，chmmbp，,即,设bm=x，则bp=，当bm=2时，bp取最小值，最小值为1.【例2】（2018洛阳三模）在正方形abcd中，动点e、f分别从d、c两点出发，以相同的速度在直线dc，cb上移动.（1）如图1，当点e在边cd上自d向c移动，同时点f在边cb上自c向b移动时，连接ae和df交于点p，请你写出ae与df的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当e，f分别在边cd，bc的延长线上移动时，连接ae，df，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接ac，请你直接写出ace为等腰三角形时ce：cd的值；（3）如图3，当e，f分别在直线dc，cb上移动时，连接ae和df交于点p，由于点e，f的移动，使得点p也随之运动，请你画出点p运动路径的草图若ad=2，试求出线段cp的最大值【答案】见解析.【解析】解：（1）ae=df，aedf，理由如下：四边形abcd是正方形，ad=dc，ade=dcf=90，由题意知：de=cf，adedcf，ae=df，dae=fdc，ade=90，adp+cdf=90，adp+dae=90，apd=18090=90，aedf；（2）（1）中的结论还成立，ce：cd=或2，理由如下：如图，当ac=ce时，设正方形abcd的边长为a，由勾股定理得：ac=ce=a，则ce：cd=a：a=；如图，当ae=ac时，设正方形abcd的边长为a，由勾股定理得：ac=ae=a，四边形abcd是正方形，adc=90，即adce，de=cd=a，ce：cd=2a：a=2；故，ce：cd=或2；（3）点p在运动中apd=90，点p的路径是以ad为直径的圆，如图，设ad的中点为q，连接cq并延长交圆q于点p，此时cp的长度最大，在rtqdc中，由勾股定理得：qc=，cp=qc+qp=+1，即线段cp的最大值是+1【变式2-1】（2019西华县一模）如图1，在正方形abcd中，点e，f分别是边bc，ab上的点，且ce=bf连接de，过点e作egde，使eg=de，连接fg，fc（1）请判断：fg与ce的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，若点e，f分别是边cb，ba延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点e，f分别是边bc，ab延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断图1 图2 图3【答案】（1）fg=ce，fgce；（2）（3）见解析【解析】解：（1）fg=ce，fgce；bf=ce，bc=cd，fbc=dce=90，bcfcde，dec=cfb，cfb+fcb=90，dec +fcb=90，即cfde，deeg，egcf，eg=de=cf，四边形fceg是平行四边形，fg=ce，fgce；（2）bf=ce，bc=cd，fbc=dce=90，bcfcde，dec=cfb，cf=de，cfb+fcb=90，dec +fcb=90，即cfde，deeg，egcf，eg=de=cf，四边形fceg是平行四边形，fg=ce，fgce；（3）成立由上可证：cbfdce，得：bcf=cde，cf=de，eg=de，cf=eg，deegdec+ceg=90cde+dec=90cde=ceg，bcf=ceg，cfeg，四边形cegf平行四边形，fgce，fg=ce1.（2019河南南阳一模）我们定义：如图1，在abc中，把ab绕点a顺时针旋转（0180）得到ab，把ac绕点a逆时针旋转得到ac，连接bc，当+=180时，我们称abc是abc的“旋补三角形”，abc边bc上的中线ad是abc的旋补中线，点a叫旋补中心.特例感知：（1）在图2，图3中，abc是abc的“旋补三角形”，abc边bc上的中线ad是abc的旋补中线，如图2，当abc是等边三角形时，ad与bc的数量关系是如图3，当bac=90，bc=8时，则ad的长为猜想论证：（2）如图1，当abc是任意三角形时，猜想ad与bc的数量关系，并给予证明.【分析】（1）由abc是等边三角形，得ab=bc=ac=ab=ac，bac=60，bac+bac=180，得b=c=30，即bc=2ad；可利用“直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”，证得：bc=2ad，ad=4；（2）bc=2ad，利用倍长中线构造全等三角形，延长ad至m使dm=ad，连接bm，cm，证得abcbam，得bc=am，bc=2ad.【解析】解：（1）abc是等边三角形，ab=bc=ac=ab=ac，bac=60，db=dc，adbc，bac+bac=180，bac=120，b=c=30，bc=2ad，即：答案为bc=2ad.bac=90，bac+bac=180，bac=bac=90ab=ab，ac=ac，bacbac，bc=bc，bd=dc，bc=2ad，bc=8，ad=4；（2）结论：bc=2ad，理由如下：如图，延长长ad至m使dm=ad，连接bm，cm，ad=dm，bd=dc，四边形acmb是平行四边形，ac=bm=ac，bac+bac=180，abm+bac=180，bac=abm，ab=ab，bacabm，bc=am，即bc=2ad.2.（2019郑州外国语测试）已知如图1所示，在abc中，acb=90，ac=bc，点d在ab上，deab交bc于e，点f是ae的中点，（1）写出线段fd与线段fc的关系并证明；（2）如图2所示，将bde绕点b逆时针旋转（090），其它条件不变，线段fd与线段fc的关系是否变化，写出结论并证明；（3）将bde绕点b逆时针旋转一周，如果bc=4，be=2，直接写出线段bf的范围.【答案】见解析.【解析】解：（1）fd=fc，fdfc，理由如下：由题意知：ade=ace=90，af=ef，df=af=ef=cf，fad=fda，fac=fca，dfe=fda+fad=2fad，efc=2fac，ca=cb，acb=90，bac=b=45，dfc=efd+efc=2（fad+fac）=90，fd=fc，fdfc.（2）结论不变，理由如下：延长ac至m使得cm=ac，延长ed至n，使dn=de，连接bn、bm、em、an，延长me交an于h，交ab于o，如图所示，bcam，ac=cm，ab=bm，同理得：be=bn，abm=ebn，nba=ebm，abnmbe，an=em，ban=bme，af=fe，ac=cm，cf=em，cfem，同理，fd=an，fdan，fd=fc，bme+bom=90，bom=aoh，ban+aoh=90，aho=90，即anmh，fdfc.（3）由题意知，当点e落在线段ab上时，bf的长最大，如图所示， 此时bf=3，当点e落在ab的延长线上时，bf的长最小，如图所示，此时，bf=，bf3.3.（2019偃师一模）特殊：（1）如图 1，在等腰直角三角形 abc 中，acb=90作 cm平分acb 交 ab 于点 m，点 d 为射线 cm 上一点，以点 c 为旋转中心将线段 cd 逆时针旋转 90得到线段 ce，连接 de 交射线 cb 于点 f，连接 bd， be填空：线段 bd，be 的数量关系为 ；线段 bc，de 的位置关系为 一般：（2）如图 2，在等腰三角形 abc 中，acb=，作 cm 平分acb 交ab 于点 m，点 d 为abc 外部射线 cm 上一点，以点 c 为旋转中心将线段cd 逆时针旋转 度得到线段 ce，连接 de，bd，be请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由特殊：（3）如图 3，在等边三角形 abc 中，作 bm 平分abc 交 ac 于点 m，点 d 为射线 bm 上一点，以点 b 为旋转中心将线段 bd 逆时针旋转 60得到线段 be，连接 de 交射线 ba 于点 f，连接 ad，ae若 ab=4，当adm 与afd 全等时，请直接写出 de 的值图1 图2 图3【答案】（1）bd=be，bcde；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）由题意知：acm=bcm=45，由旋转知，dce=90，cd=ce，ecb=dcb=45，bc=bc，bcdbce，bd=be，cd=ce，bc是线段de的垂直平分线，bcde，（2）成立，理由如下，cm平分acb，acb=，acm=bcm=，由旋转知，dce=，cd=ce，bcd=bce=又bc=bc，bcdbce，bd=be，cd=ce，bc是线段de的垂直平分线，bcde.（3）如图3，可证得：abe=abd =30，abde，由admadf，得：fad=mad=30，af=bf=2，de=2df，在rtadf中，df=aftandaf=，即de=.如下图所示，同理，得fbd=30，ab=ad=4，adf=adm=30，de=2df=4，综上所述，de的长为：，4.4.（2019省实验一模）观察猜想（1）如图，在rtabc中，bac90，abac3，点d与点a重合，点e在边bc上，连接de，将线段de绕点d顺时针旋转90得到线段df，连接bf，be与bf的位置关系是 ，be+bf ；探究证明（2）在（1）中，如果将点d沿ab方向移动，使ad1，其余条件不变，如图，判断be与bf的位置关系，并求be+bf的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图，在abc中，abac，baca，点d在边ba的延长线上，bdn，连接de，将线段de绕着点d顺时针旋转，旋转角edfa，连接bf，则be+bf的值是多少？请用含有n，a的式子直接写出结论图1 图2 图3【答案】（1）bfbe；bc；（2）（3）见解析. 【解析】解：（1）eafbac90，eafbaebacbae,bafcae，afae，abac，bafcae，abfc，bfce，abac，bac90，abcc45，fbeabf+abc90，bcbe+ecbe+bf，故答案为: bfbe，bc（2）过d作dhac交bc于h， dhac，bdha90，dbh是等腰直角三角形，由（1）可证得：bfbe，bf+bebh，abac3，ad1，bddh2，bh2，bf+bebh2；（3）过d作dhac交bc的延长线于h，作dmbc于m acdh，achh，bdhbac，abac，abcacbdbhh，dbdh，edfbdh，bdfhde，dfde，dbdh，bdfhde，bfeh，bf+beeh+bebh，dbdh，dmbh，bmmh，bdmhdm，bmmhbdsinbf+bebh2nsin5.（2019濮阳二模）在abc中，acbc，acb，点d为直线bc上一动点，过点d作dfac交ab于点f，将ad绕点d顺时针旋转得到ed，连接be（1）特例猜想如图1，当90时，试猜想：af与be的数量关系是 ；abe ；（2）拓展探究如图（2），当090时，请判断af与be的数量关系及abe的度数，并说明理由（3）解决问题如图（3），在abc中，acbc，ab8，acb，点d在射线bc上，将ad绕点d顺时针旋转得到ed，连接be，当bd3cd时，请直接写出be的长度图1 图2 图3【答案】（1）afbf，90；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）设ab交de于oacb90，acbc，abc45，dfac，fdbc90，dfbdbf45，dfdb，adefdb90，adfedb，dade，adfedb，afbe，dafe，aodeob，abeado90，所以答案为afbf，90（2）结论：afbe，abe理由如下：dfacacbfdb，cabdfb，acbc，abccab，abcdfb，dbdf，adfadefde，edbfdbfde，即adfedb，adde，adfedb，afbe，afdebdafdabc+fdb，dbeabd+abe，abefdb（3）分两种情况讨论：当点d在线段bc上时，由（2）可知：beaf，dfac，ab8，af2，beaf2，当点d在bc的延长线上时，acdf，ab8，af4，即be=4，综上所述，be的长度为2或46.（2019开封二模）问题发现如图1，abc是等边三角形，点d是边ad上的一点，过点d作deac交ac于e，则线段bd与ce有何数量关系？拓展探究如图2，将ade绕点a逆时针旋转角（0360），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明问题解决如果abc的边长等于2，ad2，直接写出当ade旋转到de与ac所在的直线垂直时bd的长图1 图2 备用图【答案】见解析【解析】解：（1）如图1，bdce，理由是：abc是等边三角形，abac，debc，ade是等边三角形，即ad=ae，bdce；（2）结论仍然成立，由图1得：adae，由旋转性质得：badcae，ab=ac，badcae，bdce；（3）分两种情况讨论，如图所示，过d作dgab，垂足为g，afde，ad=ae，dafeaf30，bad30，由ad2，得：dg1，ag，由ab2，得：bg，由勾股定理得：bd2如图，由（2）中证明可知：badcae，bdce，adae，deac，ade60eaffad30，effdad1，af，cfac+cf3，在rtefc中，由勾股定理得：ec2，bdec2，综上所述，bd的长为2或27.（2019安阳二模）（1）问题发现：如图1，在四边形abcd中，abdc，e是bc的中点，若ae是bad的平分线，则ab，ad，dc之间的数量关系为 （2）问题探究：如图2，在四边形abcd中，abdc，e是bc的中点，点f是dc的延长线上一点，若ae是baf的平分线，试探究ab，af，cf之间的数量关系，并证明你的结论（3）问题解决：如图3，abcd，点e在线段bc上，且be：ec3：4点f在线段ae上，且efdeab，直接写出ab，df，cd之间的数量关系图1 图2 图3【答案】（1）adab+cd；（2）（3）见解析【解析】解：（1）结论：adab+cd理由：abcf，cfeeab，ceeb，cefaeb，cefbea ，abcfaf平分dab，dafeab，eabcfe，dafdfa，addf，dfdc+cfcd+ab，adab+cd（2）结论：abaf+cf理由：延长ae、dc交于g，abdg，geab，ceeb，cegbea，cegbea，abcg，geab，ae平分fab，fageab，geab，fagg，fafg，cgcf+fgcf+af，abaf+cf（3）结论：ab（cd+df）延长ae、cd交于gcgab，ga，abcg，dfea，dfgg，dfdg，cd+dfcd+dgcg，ab（cd+df）8.（2019中原名校大联考）如图1，在rtabc中，bac90，abac，点d，e分别在边ab，ac上，adae，连接dc，be，点p为dc的中点，（1）【观察猜想】图1中，线段ap与be的数量关系是 ，位置关系是 （2）【探究证明】把ade绕点a逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；（3）【拓展延伸】把ade绕点a在平面内自由旋转，若ad4，ab10，请直接写出线段ap长度的最大值和最小值图1 图2【答案】（1）apbe，pabe；（2）（3）见解析【解析】解：（1）设pa交be于点o adae，acab，daceab，daceab，becd，acdabe，dac90，dppc，pacdpcpd，pabe，cpae，cap+bao90，abo+bao90，aob90，pabe，（2）结论成立理由：延长ap至m，使pmpa，连接mc，延长pa交be于opapm，pdpc，apdcpm，apdmpc，adcm，adpmcp，adcm，dac+acm180，bacead90，eabacm，abac，aecm，eabmca，bebm，camabe，paam，pabe，cam+bao90，abe+bao90，aob90，pabe（3）ac10，cm4，104am10+4，6am14，am2ap，3pa7pa的最大值为7，最小值为39.（2018新乡一模）如图1，在abc与ade中，ab=ac，ad=ae，a是公共角.（1）bd与ce的数量关系是： ；（2）把图1的abc绕点a旋转一定的角度，得到如图2所示的图形.求证：bdce；bd与ce所在直线的夹角与dae的数量关系是什么？说明理由.（3）若ad=10，ab=6，把