人人文库网 > 教育资料 > 中学教育 > 九年级数学下册 第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质课件（打包7套） 华东师大版
九年级数学下册第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质3求二次函数的关系式课件华东师大版2020032718.ppt
九年级数学下册 第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质课件（打包7套） 华东师大版
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九年级数学下册
第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质课件（打包7套）
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1 二次函数y ax2的图象与性质 1 二次函数y ax2二次函数y ax2的图象是一条曲线 这样的曲线通常叫做 它有 对称轴 抛物线与它的 的交点叫做抛物线的 抛物线 一条 对称轴 顶点 2 二次函数y ax2的图象与性质 向上 向下 0 0 0 0 增大 减小 减小 增大 0 0 0 0 点拨 a的符号决定抛物线的开口方向 预习思考 函数y x2与y x2的图象形状是否相同 提示 它们的形状相同 只是开口方向不同 二次函数y ax2的图象 例1 在同一坐标系中 画出下列函数的图象 1 y 2 y 2x2 3 y 4 y 2x2 易错提醒 对于这类题目 解题的一般思路是什么呢 请在下面例题的探究中寻找解题的规律和方法吧 解题探究 1 画函数图象需要哪三个步骤 答 列表 描点 连线 2 对于函数y ax2 在取自变量x的一些数值时 一般以哪个数字为中心 答 以0为中心 左右各取一些数 3 列表 4 从上表可以看出函数y 2x2和y 2x2 当x 3或x 3时 y 的值较大 在描点时要求y轴画得较长 这样画出的坐标系就不太协调 因此可在描点时只描5个点 所以这四个函数在同一坐标系中画出的图象如下 互动探究 在选取自变量x的数值时应注意什么 提示 为了便于计算和描点 一般以0为中心左右各选取数目相同的若干数字 规律总结 画函数y ax2的图象的三点注意1 列表时自变量应以0为中心 左右两边要对应取值 2 画图时图象应越过端点 表示为向下或向上无限延伸 3 图象在两个象限内画出的曲线是对称的 顶点处不能化成尖形 应该平滑 跟踪训练 1 在同一坐标系中 抛物线y 4x2 的共同特点是 a 关于y轴对称 开口向上 b 关于y轴对称 y随x的增大而增大 c 关于y轴对称 y随x的增大而减小 d 关于y轴对称 顶点是原点 解析 选d 因为抛物线y 4x2 都符合抛物线的最简形式y ax2 其对称轴是y轴 顶点是原点 2 如图 o的半径为2 c1是函数的图象 c2是函数的图象 则阴影部分的面积是 解析 由图形观察可知 把x轴上方的阴影部分的面积对称到下方就得到一个半圆阴影面积 则阴影部分的面积答案 2 二次函数y ax2的性质的应用 例2 9分 已知函数y m 2 xm2 m 4是关于x的二次函数 1 求满足条件的m的值 2 当m为何值时 抛物线有最低点 求出这个最低点 当x为何值时 y随x的增大而增大 3 当m为何值时 函数有最大值 最大值是多少 当x为何值时 y随x的增大而减小 规范解答 1 由题意得 1分解得 当m 2或m 3时 该函数为二次函数 3分 2 若抛物线有最低点 则抛物线开口向上 m 2 0 即m 2 只能取m 2 5分 这个最低点为抛物线的顶点 则其坐标为 0 0 当x 0时 y随x的增大而增大 6分 3 若函数有最大值 则抛物线开口向下 m 2 0 m 2 只能取m 3 8分 抛物线的最大值为抛物线顶点的纵坐标且顶点坐标为 0 0 当m 3时 抛物线有最大值为0 当x 0时 y随x的增大而减小 9分 规律总结 二次函数y ax2图象的三条性质1 抛物线y ax2 a 0 是轴对称图形 2 抛物线y ax2 a 0 的形状是由 a 决定的 a 越大 抛物线开口越小 3 抛物线y ax2 a 0 当a 0时 开口向上 顶点是最低点 函数y有最小值 当a 0时 开口向下 顶点是最高点 函数y有最大值 跟踪训练 3 2011 广州中考 下列函数中 当x 0时 y值随x值的增大而减小的是 a y x2 b y x 1 c d 解析 选d 二次函数y x2的图象开口向上 关于y轴对称 当x 0时 y值随x值的增大而增大 一次函数y x 1和的k均大于0 当x 0时 y值随x值的增大而增大 而反比例函数的图象的两个分支分别位于第一 三象限 当x 0时 y值随x值的增大而减小 4 2011 玉林中考 已知二次函数y ax2的图象开口向上 则直线y ax 1经过的象限是 a 第一 二 三象限 b 第二 三 四象限 c 第一 二 四象限 d 第一 三 四象限 解析 选d 因为二次函数开口向上 所以a 0 所以直线经过一 三 四象限 5 函数y 7x2的图象在对称轴右边的部分 y随x的增大而 解析 a 7 0 函数y 7x2的图象在对称轴右边的部分 y随x的增大而减小 答案 减小 6 二次函数y 3m 6 x2的图象在三 四象限 求m的取值范围 并说明当x取何值时 y随x的增大而增大 解析 二次函数y 3m 6 x2的图象在三 四象限 3m 6 0 m 2 当x 0时 y随x的增大而增大 1 在同一坐标系中 二次函数y x2与反比例函数的图象的交点个数是 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 选b 二次函数y x2的图象在第三 四象限 开口向下 顶点在原点 y轴是对称轴 反比例函数的图象在第一 三象限 故两个函数的交点只有一个 在第三象限 2 2011 黔南州中考 下列函数 1 y x 2 y 2x 3 4 y x2 x 0 y随x的增大而减小的函数有 a 1个 b 2个 c 3个 d 4个 解析 选b 对于y x y随x的增大而减小 1 符合 对于y 2x y随x的增大而增大 2 不符合 对于 强调在每一个象限内 y随x的增大而减小 但不能笼统地说y随x的增大而减小 3 不符合 对于y x2 对称轴是y轴 当x 0时 y随x的增大而减小 4 符合 3 如图所示 四个二次函数的图象中 分别对应的是 y ax2 y bx2 y cx2 y dx2 则a b c d的大小关系为 解析 因为直线x 1与四条抛物线的交点从上到下依次为 1 a 1 b 1 d 1 c 所以 a b d c 答案 a b d c 4 函数y axa2 2a 6是二次函数 当a 时 其图象开口向上 当a 时 其图象开口向下 解析 根据题意 得 a2 2a 6 2 即a2 2a 8 0 解得a 4或 2 当a 0时 其图象开口向上 当a 0时 其图象开口向下 分别填4 2 答案 4 2 5 如图 一座抛物线形的拱桥 其形状可以用y x2来描述 1 当水面到桥拱顶部的距离为2米时 水面的宽为多少米 2 当水面宽为4米时 则水面到桥拱顶部的距离为多少米 解析 1 由题意得y 2 即 x2 2 解得x 水面的宽为 米 2 当水面宽为4米时 x 2或 2 此时y x2 4 此时水面到桥拱顶部的距离为4米 第1课时 1 二次函数y ax2 k的图象 1 通过在同一坐标系中画函数与的图象 可以得到 它们的对称轴都是 轴 直线 开口方向都是开口 顶点不同 函数的顶点坐标为 的顶点坐标为 y x 0 向上 0 0 0 1 2 通过观察二次函数与的图象还可以得到 当自变量x取同一数值时 函数的函数值都比的函数值 从图象位置上看 函数的图象上每一点都在函数的图象上相应点的上方 单位 函数的图象可以看成是将函数的图象向 平移 个单位得到的 大1 一个 上 一 2 二次函数y ax2 k的性质 向上 向下 0 k 0 k 增大 减小 减小 增大 0 k 0 k 点拨 k的符号决定抛物线的顶点在x轴的上方还是下方 y y 预习思考 函数y x2与y x2 1的图象形状是否相同 提示 它们的形状相同 只是开口方向不同 顶点坐标也不相同 二次函数y ax2 k的图象与性质 例1 已知下列函数 y 3x2 y 3x2 2 y 3x2 y 3x2 2 1 指出以上四个二次函数的开口方向 对称轴 顶点坐标及最值 2 函数y 3x2的图象分别与y 3x2 2 y 3x2 2的图象有怎样的联系 解题探究 1 将四个二次函数的图象在平面直角坐标系中分别画出 可得 y 3x2 y 3x2 2与y 3x2 2的开口向上 y 3x2的开口向下 四个二次函数图象的对称轴均为y轴 y 3x2和y 3x2的顶点坐标为 0 0 y 3x2 2的顶点坐标为 0 2 y 3x2 2的顶点坐标为 0 2 y 3x2 当x 0时 y最小值 0 y 3x2 2 当x 0时 y最小值 2 y 3x2 当x 0时 y最大值 0 y 3x2 2 当x 0时 y最小值 2 2 通过观察图象可得 y 3x2 2的图象是将y 3x2的图象向上平移2个单位得到的 y 3x2 2的图象是将y 3x2的图象向下平移2个单位得到的 互动探究 函数y 3x2 2的图象经过怎样的平移可得到函数y 3x2 2的图象 提示 函数y 3x2 2的图象沿y轴向下平移4个单位可得到函数y 3x2 2的图象 规律总结 函数y ax2 k的性质口诀a大于0 口向上 y轴左减右是增 x为0 k最小 a小于0 口向下 y轴左增右是减 x为0 k最大 跟踪训练 1 2012 兰州中考 抛物线y 2x2 1的对称轴是 a 直线 b 直线 c y轴 d 直线x 2 解析 选c 根据二次函数y ax2 k的性质可知y 2x2 1的对称轴是y轴 2 2011 佛山中考 下列函数的图象在每一个象限内 y值随x值的增大而增大的是 a y x 1 b y x2 1 c y d 解析 选d a 对于一次函数y x 1 k 0 函数的图象在每一个象限内 y值随x值的增大而减小 故本选项错误 b 对于二次函数y x2 1 当x 0时 y值随x值的增大而增大 当x 0时 y值随x值的增大而减小 故本选项错误 c 对于反比例函数 k 0 函数的图象在每一个象限内 y值随x值的增大而减小 故本选项错误 d 对于反比例函数 k 0 函数的图象在每一个象限内 y值随x值的增大而增大 故本选项正确 变式训练 若二次函数与y x2 k的图象的顶点重合 则下列结论不正确的是 a 这两个函数图象有相同的对称轴 b 这两个函数图象的开口方向相反 c 方程 x2 k 0没有实数根 d 二次函数y x2 k的最大值为 解析 选c 二次函数与y x2 k的图象的顶点重合 a b d正确 当时 方程 x2 k 0有实数根 故c不正确 3 2011 宁波中考 将抛物线y x2的图象向上平移1个单位 则平移后的抛物线的关系式为 解析 图象向上 下 平移 横坐标不变 由题意得 y x2 1 答案 y x2 1 二次函数y ax2 k的性质的应用 例2 7分 2012 武汉中考 如图 小河上有一拱桥 拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分acb和矩形的三边ae ed db组成 已知河底ed是水平的 ed 16m ae 8m 抛物线的顶点c到ed的距离是11m 以ed所在的直线为x轴 抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系 1 求抛物线的函数关系式 2 已知从某时刻开始的40h内 水面与河底ed的距离h 单位 m 随时间t 单位 h 的变化满足函数关系h 0 t 40 且当水面到顶点c的距离不大于5m时 需禁止船只通行 请通过计算说明 在这一时段内 需多少小时禁止船只通行 规范解答 1 设抛物线所对应的函数关系式为y ax2 11 由题意得b 8 8 2分 64a 11 8 解得a 3分 4分 2 水面到顶点c的距离不大于5m时 即水面与河底ed的距离h至少为6m 6 5分解得t1 35 t2 3 6分 需要35 3 32 h 答 需32小时禁止船只通行 7分 规律总结 利用y ax2 k的图象及性质解决生活中实际问题的步骤1 首先建立适当的坐标系 2 根据图象上的点确定函数关系式 3 利用抛物线的特点与性质解决具体问题 跟踪训练 4 赵州桥的桥拱是抛物线形 建立如图所示的坐标系 其对应的函数关系式为 当水位线在ab位置时 水面宽ab 30米 这时水面离桥顶的高度h是 a 5米 b 6米 c 8米 d 9米 解析 选d y 9 9 5 隧道的截面是抛物线 且抛物线所对应的函数关系式为 一辆车高3m 宽4m 该车 填写 能 或 不能 通过隧道 解析 在中 当y 3时 解得 x 所以宽是 4m 即不能通过 答案 不能 6 如图 某大学校门是一抛物线形水泥建筑物 大门的地面宽度为8m 两侧距地面4m高处各挂一个牌匾 且两牌匾顶部的水平距离为6m 则该大学校门的高度约是多少 精确到0 1 建筑厚度不计 解析 以校门所在地面线段的中点为原点建立平面直角坐标系 如图 设抛物线所对应的函数关系式为y ax2 k 由题意可知抛物线与x轴的两个交点坐标为 4 0 4 0 且经过点 3 4 由此三点可得抛物线的关系式为 当x 0时 9 1 故该大学校门的高度约为9 1m 1 下列关于二次函数y 3x2 2的图象和性质的说法正确的是 a 开口方向向下 顶点坐标为 0 0 b 开口方向向上 对称轴为y轴 c y随x的增大而增大 d 当x 0时 y随x的增大而减小 解析 选d 根据二次函数y ax2 k的图象和性质 由 30时 y随x的增大而减小 当x 0时 y随x的增大而增大 2 2011 湘潭中考 在同一坐标系中 一次函数y ax 1与二次函数y x2 a的图象可能是 解析 选c 本题考查函数的图象与性质 先根据一次函数y ax 1过 0 1 点排除d 再根据二次函数y x2 a开口向上 排除b 当a 0时 a c均不可能 当a 0时 a不可能 只有c可能 所以答案为c 3 抛物线y 3x2 1的顶点坐标为 对称轴是 解析 因为函数y ax2 k的顶点坐标为 0 k 对称轴为y轴 所以抛物线y 3x2 1的顶点坐标为 0 1 对称轴为 轴 答案 0 1 y轴 4 廊桥是我国古老的文化遗产 如图是某座抛物线形廊桥的示意图 已知抛物线的函数关系式为 为保护廊桥的安全 在该抛物线上距水面ab高为8米的点e f处要安装两盏警示灯 则这两盏灯的水平距离ef是 米 精确到1米 解析 由 在该抛物线上距水面ab高为8米的点 可知y 8 把y 8代入得 x 由此可求出ef 18 米 答案 18 5 若二次函数y ax2 2的图象经过点 2 10 求a的值 这个函数有最大值还是最小值 是多少 解析 把x 2 y 10代入y ax2 2 得4a 2 10 a 2 a 2 0 则抛物线开口向上 有最小值 该函数的最小值是2 第2课时 1 二次函数y a x h 2的图象探究 二次函数y a x h 2与y ax2的关系 比较y x2与y x 1 2的表格与图象 并填空 表格 图象 1 从表格可以看出 当函数值相等时 y x 1 2的自变量的值比y x2的自变量的值 2 从图象可以看出 只需要把y x2的图象向 平移 个单位就可得到y x 1 2的图象 3 二次函数y a x h 2的图象是 它与抛物线y ax2的 相同 只是 不同 二次函数y a x h 2的对称轴为直线 顶点坐标为 大1 右 1 抛物线 形状 位置 x h h 0 2 二次函数y a x h 2的性质 1 a 0 当x 时 函数值y随x的增大而减小 当x 时 函数值y随x的增大而增大 当x 时 函数取得最 值 最 值为y 2 a 0 当x 时 函数值y随x的增大而增大 当x 时 函数值y随x的增大而减小 当x 时 函数取得最 值 最 值为y h h 小 小 0 h h h 大 大 0 h 点拨 y ax2y a x h 2 预习思考 函数y x 3 2与函数y x 3 2的图象有怎样的联系 提示 函数y x 3 2的图象可由y x 3 2的图象向右平移6个单位得到 或函数y x 3 2的图象可由y x 3 2的图象向左平移6个单位得到 抛物线y a x h 2与y ax2的平移 例1 已知抛物线y a x h 2向左平移2个单位后 所得抛物线为y 2 x 5 2 试求a h的值 解题探究 1 抛物线左右平移对a的值有影响吗 a的值为多少 答 抛物线左右平移对a的值没有影响 a 2 2 对于抛物线平移的问题可以 填 可以 或 不可以 转化为抛物线顶点的平移 3 y a x h 2的顶点坐标为 h 0 y 2 x 5 2的顶点坐标为 5 0 将点 h 0 向左平移2个单位后为 h 2 0 所以h 2 5 得h 3 4 综上可知a 2 h 3 规律总结 函数y a x h 2图象的左右平移规律函数y a x h 2图象的左右平移中a是不变的 向左平移m个单位则为y a x h m 2 向右平移m个单位则为y a x h m 2 简记为 左加右减 跟踪训练 1 2011 乐山中考 将抛物线y x2向左平移2个单位后 得到的抛物线的关系式是 a y x 2 2 b y x2 2 c y x 2 2 d y x2 2 解析 选a 抛物线y a x h 2可以由y ax2经过适当的平移得到 自变量值加减左右移 函数值加减上下移 2 在平面直角坐标系中 函数y x 1与的图象大致是 解析 选a y x 1的图象过第二 三 四象限 的开口向下 顶点为点 1 0 同时符合上述条件的图象只有选项a 3 抛物线y 10 x 9 2由y 10 x2向 平移 个单位可以得到 解析 抛物线y 10 x 9 2的顶点坐标为 9 0 抛物线y 10 x2的顶点坐标为 0 0 由 0 0 到 9 0 是向左平移9个单位 所以抛物线y 10 x 9 2由y 10 x2向左平移9个单位可以得到 答案 左9 函数y a x h 2的图象和性质 例2 6分 已知函数y 6 x 4 2 1 直接写出它的顶点坐标及对称轴 2 直接写出向右平移3个单位后的关系式 顶点坐标及对称轴 3 平移后当x取何值时 y随x的增大而增大 当x取何值时 y随x的增大而减小 特别提醒 左右平移时注意h值的增减变化 规范解答 1 函数y 6 x 4 2的顶点坐标为 4 0 对称轴为直线x 4 2分 2 向右平移3个单位后的关系式为y 6 x 1 2 顶点坐标为 1 0 对称轴为直线x 1 4分 3 因为函数y 6 x 1 2的图象开口向上 所以当x 1时 y随x的增大而增大 当x 1时 y随x的增大而减小 6分 规律总结 检验平移后函数关系式是否正确的方法特殊点法 分别写出两函数的顶点坐标 观察它们的顶点是否也可以通过相同的平移方法得到 跟踪训练 4 抛物线y 3 x 5 2的对称轴是直线 顶点坐标为 有最 值为 解析 抛物线y 3 x 5 2的对称轴是直线x 5 顶点坐标为 5 0 有最大值为0 答案 x 5 5 0 大0 5 函数y 3 x 1 2 当x 时 函数值y随x的增大而减小 当x 时 函数有最 值 它是 解析 3 1时 y随x的增大而减小 因为抛物线开口向下 所以当x 1时 函数有最高点 即最大值 最大值是0 答案 1 1大0 变式训练 关于二次函数y x 2 2的图象 下列说法正确的是 a 是中心对称图形 b 开口向上 c 对称轴是直线x 2 d 最高点是 2 0 解析 选d 二次函数y x 2 2的图象开口向下 是轴对称图形 对称轴是x 2 顶点坐标 即最高点是 2 0 1 和抛物线y 2 x 10 2开口大小相等 方向相反 顶点为 3 0 的抛物线关系式为 a y 2 x 3 2 b y 2 x 3 2 c y 2 x 3 2 d y 2 x 3 2 解析 选b 因为其图象和抛物线y 2 x 10 2开口大小相等 方向相反 所以a 2 又因为抛物线顶点为 3 0 所以抛物线关系式为y 2 x 3 2 2 2011 兰州中考 抛物线y x2 2x 1的顶点坐标是 a 1 0 b 1 0 c 2 1 d 2 1 解析 选a 配方得y x 1 2 得顶点为 1 0 3 将抛物线y 2 x 3 2平移得到抛物线y 2 x 3 2 应该向 平移 个单位 解析 因为抛物线y 2 x 3 2的顶点坐标为 3 0 抛物线y 2 x 3 2的顶点坐标为 3 0 所以若将抛物线y 2 x 3 2平移得到抛物线y 2 x 3 2 应该向左平移6个单位 答案 左6 4 函数的图象是由的图象向 平移 个单位得到的 顶点坐标是 当x 时 函数值y随x的增大而减小 当x 时 函数值y随x的增大而增大 当x 时 函数取得 值 其值为 解析 函数的图象是由的图象向右平移3个单位得到的 顶点坐标是 3 0 当x 3时 函数值y随x的增大而减小 当x 3时 函数值y随x的增大而增大 当x 3时 函数取得最大值 其值为0 答案 右3 3 0 3 3 3大0 5 已知二次函数y 2x2 12x 18 1 求该函数图象的开口方向 对称轴以及图象与坐标轴的交点坐标 2 当x取何值时 y随x的增大而增大 当x取何值时 y随x的增大而减小 并求出函数的最大值或最小值 解析 1 y 2x2 12x 18 2 x2 6x 9 2 x 3 2 开口向上 对称轴是直线x 3 顶点为 3 0 当x 0时 y 2 x 3 2 2 0 3 2 18 当y 0时 0 2 x 3 2 解得x 3 二次函数y 2x2 12x 18与x轴的交点为 3 0 与y轴的交点为 0 18 2 当x 3时 y随x的增大而增大 当x 3时 y随x的增大而减小 当x 3时 有最小值为0 第4课时 1 二次函数y ax2 bx c的图象在坐标系中画出函数y x2 2x 3的图象由于y x2 2x 3可化为y x 1 2 2 所以y x2 2x 3的图象的开口向上 对称轴为x 1 顶点坐标为 1 2 列表 2 6 描点 连线 观察表格和图象 1 从图象可以看出函数y x 1 2 2的图象是一条 开口方向向 对称轴是x 顶点坐标为 2 2 当x 1时 函数值y随x的增大而 当x 1时 函数有最 值 最小值为y 抛物线 上 1 1 1 增大 小 2 2 二次函数y ax2 bx c的性质 1 把y ax2 bx c化为y a x h 2 k的形式 y ax2 bx c 由于y ax2 bx c可变形为 具有y a x h 2 k的形式 所以它的图象是 h k 抛物线 2 函数y ax2 bx c与函数y ax2的联系及它的对称轴和顶点坐标 函数y ax2 bx c的图象是一条抛物线 形状与y ax2相同 只是位置不同 函数y ax2 bx c a 0 的对称轴为直线 顶点坐标为 3 函数y ax2 bx c的性质 上 小 减小 下 大 增大 点拨 对于二次函数y ax2 bx c 它的顶点坐标和对称轴只与a b c有关 预习思考 二次函数y ax2 bx c中的c的值能决定它的抛物线的什么位置 提示 抛物线y ax2 bx c与y轴的交点坐标为 0 c 所以二次函数y ax2 bx c中的c的值能决定抛物线与y轴的交点的位置 抛物线y ax2 bx c的图象与性质 例1 已知抛物线y x2 2x 2 1 该抛物线的对称轴是 顶点坐标是 2 选取适当的数据填入下表 并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象 3 若该抛物线上两点a x1 y1 b x2 y2 的横坐标满足x1 x2 1 试比较y1与y2的大小 解题探究 1 把抛物线y x2 2x 2化成y a x h 2 k a 0 的形式为y x 1 2 3 所以抛物线y x2 2x 2的对称轴是x 1 顶点坐标是 1 3 2 由于抛物线y x2 2x 2的对称轴是x 1 所以选取适当的x值时要以1为中心 左右再各取两个值 最少取5个值 因此可填表如下 描点 连线 可得到如图所示的抛物线 3 因为抛物线上两点a x1 y1 b x2 y2 的横坐标满足x1 x2 1 所以这两点在对称轴x 1的右侧 由抛物线y x2 2x 2的性质可知 在对称轴x 1右侧 y随x的增大而减小 又因为x1 x2 1 所以y1 y2 规律总结 在画二次函数的图象及理解图象性质时应注意的问题1 画函数图象时 若抛物线与x轴有交点 最好选取交点描点 尤其是在作抛物线草图时应抓住以下五个关键点 开口方向 对称轴 顶点 与x轴的交点 与y轴的交点 2 列表时应以对称轴为中心选值 间距要适当 描点画图时要依据已知抛物线的特点 一般先找出特殊点 并用虚线画出对称轴 然后再对称描点连线 3 在理解和记忆二次函数的性质时 要结合图象 做到数形结合 跟踪训练 1 2012 巴中中考 对于二次函数y 2 x 1 x 3 下列说法正确的是 a 图象的开口向下 b 当x 1时 y随x的增大而减小 c 当x 1时 y随x的增大而减小 d 图象的对称轴是直线x 1 解析 选c 二次函数y 2 x 1 x 3 可化为y 2x2 4x 6的形式 可得二次函数的对称轴为 此二次函数中a 2 0 抛物线开口向上 故a选项错误 由二次函数的关系式可知 此抛物线开口向上 对称轴为x 1 当x 1时 y随x的增大而增大 故b选项错误 由二次函数的关系式可知 此抛物线开口向上 对称轴为x 1 当x 1时 y随x的增大而减小 故c选项正确 二次函数的对称轴为x 1 故d选项错误 2 2011 淮安中考 抛物线y x2 2x 3的顶点坐标是 解析 方法一 对于一般形式的抛物线方程 通过配方可化为顶点式y a x h 2 k的形式 从而得到顶点坐标 具体变形为y x 1 2 4 所以顶点坐标为 1 4 方法二 直接用抛物线的顶点坐标答案 1 4 3 已知二次函数y x2 6x m的最小值为1 那么m的值是 解析 函数的最小值即顶点的纵坐标 因为a 1 b 6 c m 所以即答案 10 抛物线y ax2 bx c与a b c的符号的关系 例2 8分 如图为二次函数y ax2 bx c的图象 试判断a b c及b2 4ac的正负 规范解答 抛物线开口向上 a 0 2分 对称轴 4分 抛物线与y轴交点在x轴下方 c0 8分 互动探究 1 通过观察抛物线y ax2 bx c在坐标系中的位置 当x 1时 可以确定的数值是什么 提示 通过观察抛物线y ax2 bx c在坐标系中的位置 当x 1时 可以确定a b c的值 2 通过观察抛物线y ax2 bx c在坐标系中的位置 当x 1时 可以确定的数值是什么 提示 通过观察抛物线y ax2 bx c在坐标系中的位置 当x 1时 可以确定a b c的值 规律总结 二次函数y ax2 bx c的图象的特征与a b c的符号之间的关系1 a决定开口方向和大小 1 a 0 开口向上 2 a 0 开口向下 3 a 相同时 抛物线形状相同 a 越大 抛物线开口越小 2 a b决定对称轴位置 1 b 0 对称轴为y轴 2 a b同号 对称轴在y轴左侧 3 a b异号 对称轴在y轴右侧 3 c决定抛物线与y轴的交点位置 1 c 0 过原点 2 c 0 交点在y轴的正半轴上 3 c 0 交点在y轴的负半轴上 跟踪训练 4 2011 重庆中考 已知抛物线y ax2 bx c a 0 在平面直角坐标系中的位置如图所示 则下列结论中正确的是 a a 0 b b0 解析 选d 因为抛物线开口向下 二次项系数a0 所以b项错误 因为抛物线与y轴的交点在x轴上方 所以c 0 所以c项错误 因为直线x 1与抛物线的交点在x轴上方 所以x 1时 函数值y a b c 0 所以d项正确 5 小强从如图所示的二次函数y ax2 bx c的图象中 观察得出了下面五条信息 1 a 0 2 c 1 3 b 0 4 a b c 0 5 a b c 0 你认为其中正确的信息有 a 2个 b 3个 c 4个 d 5个 解析 选c 1 由抛物线的开口向下知a 0 故正确 2 由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上且大于1 可推出c 1 故正确 3 由图可知对称轴为 可推出a b异号 又 a 0 b 0 故正确 4 由抛物线与x轴的交点可以看出 当x 1时 y 0 所以a b c 0 故正确 5 由抛物线与x轴的交点可以看出 当x 1时 y 0 所以a b c 0 故错误 变式训练 如图 抛物线y ax2 bx c的对称轴是x 小亮通过观察得出了下面四条信息 c 0 abc 0 a b c 0 2a 3b 0 你认为其中正确的有 a 1个 b 2个 c 3个 d 4个 解析 选b 由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上 可知c 0 正确 由抛物线的开口向上知 a 0 对称轴为 a b异号 即b 0 abc 0 错误 当x 1时 y a b c 0 正确 由对称轴为得2a 3b 0 错误 6 已知抛物线y ax2 bx c a 0 经过点 1 0 且顶点在第一象限 有下列三个结论 a 0 a b c 0 把正确结论的序号填在横线上 解析 由抛物线开口向下可推出a 0 因为对称轴在y轴右 对称轴为由图象可知 当x 1时 y 0 a b c 0 都正确 答案 1 2012 济南中考 如图 二次函数的图象经过 2 1 1 1 两点 则下列关于此二次函数的说法正确的是 a y的最大值小于0 b 当x 0时 y的值大于1 c 当x 1时 y的值大于1 d 当x 3时 y的值小于0 解析 选d 由图象知 点 1 1 在图象的对称轴的左边 所以y的最大值大于1 不小于0 故a项错误 由图象知 当x 0时 y的值就是函数图象与y轴的交点 而图象与y轴的交点在 1 1 点的左边 故y 1 故b项错误 对称轴在 1 1 的右边 在对称轴的左边y随x的增大而增大 1 1 x 1时 y的值小于1 故c项错误 当x 3时 函数图象上的点在点 2 1 的左边 所以y的值小于0 故d项正确 2 2011 陕西中考 若二次函数y x2 6x c的图象过a 1 y1 b 2 y2 c 3 y3 三点 则y1 y2 y3的大小关系正确的是 a y1 y2 y3 b y1 y3 y2 c y2 y1 y3 d y3 y1 y2 解析 选b 方法一 y x2 6x c x 3 2 9 c 对称轴为直线x 3 如图可得出y1 y3 y2 方法二 把a b c三点坐标分别代入关系式 化简得 y1 7 c y2 8 c y3 7 c 所以y1 y3 y2 故选b 3 2011 济宁中考 将二次函数y x2 4x 5化为y x h 2 k的形式 则y 解析 y x2 4x 5 x2 4x 4 4 5 x 2 2 1 答案 x 2 2 1 4 已知二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 则点p a bc 在第 象限 解析 抛物线的开口向下 a 0 对称轴在y轴左边 a b同号即b 0 抛物线与y轴的交点在正半轴 c 0 bc 0 点p a bc 在第三象限 答案 三 5 已知抛物线 1 确定此抛物线的顶点在第几象限 2 确定此抛物线的对称轴 3 假设抛物线经过原点 求抛物线的顶点坐标 解析 1 其顶点坐标为而所以顶点在第二象限 2 其对称轴为直线x 1 3 若抛物线过原点 0 0 则 顶点坐标为 1 1 第5课时 1 求二次函数最值的方法 1 配方法 y ax2 bx c化为y 的形式 当自变量x 时 函数y最大 小 如二次函数y 3x2 6x 4可化为y 3 因为a 3 0 所以函数y有最 值 所以当x 时 y的最 值为 a x h 2 k h k x 1 2 小 1 小 1 1 2 公式法 由二次函数y ax2 bx c的性质可得 当自变量x 时 函数y最大 小 如二次函数y 2x2 8x 6 因为a 2 0 所以函数y有最 值 当x 时 y的最 值为 大 2 大 2 实际问题中确定最值 问题 某网店以每件60元的价格购进一批商品 若以单价80元销售 每月可售出300件 调查表明 单价每上涨1元 该商品每月的销售量就减少10件 1 请写出每月销售该商品的利润y 元 与单价上涨x 元 间的函数关系式 2 单价定为多少元时 每月销售商品的利润最大 最大利润为多少 解题思路 1 单价上涨x元后每件商品的售价为 元 每件商品的利润为 元 每月的销售量为 件 每月销售该商品的利润y 元 与单价上涨x 元 间的函数关系式为y 80 x 80 x 60 20 x 300 10 x 20 x 300 10 x 10 x2 100 x 6000 2 若设单价定为m元 则每件商品的利润为 元 每月的销售量为 300 件 每月销售该商品的利润y 元 与单价m 元 间的函数关系式为y 即y 2 因为 0 所以当m 时 y有最 值 即单价定为 元时 每月销售商品的利润最大 最大利润为 元 m 60 10 m 80 1100 10m m 60 1100 10m 10m2 1700m 66000 10 m 85 6250 10 85 y最大值 6250 85 大 点拨 准确理解实际问题中的等量关系是求最值的前提 预习思考 求二次函数最值的配方法与解一元二次方程的配方法相同吗 提示 相同 求实际问题中的最值问题 例 10分 2012 青岛中考 在 母亲节 期间 某校部分团员参加社会公益活动 准备购进一批许愿瓶进行销售 并将所得利润捐给慈善机构 根据市场调查 这种许愿瓶一段时间内的销售量y 个 与销售单价x 元 个 之间的对应关系如图所示 1 试判断y与x之间的函数关系 并求出函数关系式 2 若许愿瓶的进价为6元 个 按照上述市场调查的销售规律 求销售利润 元 与销售单价x 元 个 之间的函数关系式 3 若许愿瓶的进货成本不超过900元 要想获得最大利润 试确定这种许愿瓶的销售单价 并求出此时的最大利润 规范解答 1 y是x的一次函数 设y kx b 图象过点 10 300 12 240 即可得解得 2分 y 30 x 600 3分当x 14时 y 180 当x 16时 y 120 即点 14 180 16 120 均在函数y 30 x 600的图象上 y与x之间的函数关系式为y 30 x 600 4分 2 x 6 30 x 600 30 x2 780 x 3600 即 与x之间的函数关系式为 30 x2 780 x 3600 7分 3 由题意得6 30 x 600 900 解得x 15 8分 30 x2 780 x 3600的图象的对称轴为x 13 a 30 0 抛物线开口向下 当x 13时 随x增大而减小 当x 13时 最大 1470 即以13元 个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1470元 10分 规律总结 利用二次函数求解实际问题 如最大利润等 时 需注意事项1 解答要全面 有时需要分类讨论 如涨价与降价 投入与产出等 2 分清每件的利润与销售量 理清价格与它们之间的关系 3 自变量取值范围的确定 需保证实际问题有意义 4 一般是利用二次函数的顶点坐标求最大值 但有时顶点坐标不在取值范围内 注意画图象分析 跟踪训练 1 2012 贵阳中考 已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 当 5 x 0时 下列说法正确的是 a 有最小值 5 最大值0 b 有最小值 3 最大值6 c 有最小值0 最大值6 d 有最小值2 最
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