选修4-5 证明不等式的基本方法-综合法与分析法ppt课件

2020年4月22日星期三 不等式的证明 第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法 二 综合法与分析法 例1 已知a b c 0 且不全相等 求证 a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 6abc 分析 观察待证不等式的特点与重要不等式 a2 b2 2ab有关 所以证明可以从这个重要不等式出发 再结合不等式的性质推出 这就是综合法 综合法 一般地 从已知条件出发 利用定义 公理 定理 性质等 经过一系列的推理 论证而得出命题成立 这种证明方法叫综合法 综合法又叫顺推法或由因导果法 综合法的 入手处 是一些重要的不等式 例2 已知a1 a2 an R 且a1a2 an 1 求证 1 a1 1 a2 1 an 2n 分析 观察要证明的结论 可以联想到是由n个同向不等式相乘得到 由基本不等式得 再由条件 a1a2 an 1可得结论 例2 已知a1 a2 an R 且a1a2 an 1 求证 1 a1 1 a2 1 an 2n 变式练习 点评 瞄准目标进行拆分与组合 分析 观察不等式的特点 联想n维均值不等式 关键 将右边的1移至左边并进行 均分 再用均值不等式即可达到目标 课堂练习 1 已知a b c不全相等 且a b c 3 求证 a2 b2 c2 3 证 由已知得 a b c 2 9 即 a2 b2 c2 2 ab bc ca 9 a2 b2 2ab 由 和 得9 3 a2 b2 c2 即a2 b2 c2 3 又a b c不全相等 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca b2 c2 2bc a2 c2 2ca 以上三式相加得2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 小结 作业 P25 1 2 7 8 课堂练习 即综合法是 由因导果 分析法 证明命题时 我们还常常从要证的结论出发 逐步寻找使它成立的充分条件 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 定义 公理或已证明的定理 性质等 从而得出要证的命题成立 这种证明方法叫做分析法 这是一种执果索因的思考和证明方法 因为14 18成立 例2 已知a 0 b 0 2c a b 求证 分析 原不等式等价于 又a 0 所以 只需证 a 2c b 即 a b 2c 由题设知a b 2c成立 原不等式得证 课堂练习 2 证明 当周长相等时 圆的面积比正方形的面积大 这就证明了 如果周长相等 那么圆的面积比正方形的面积大 课堂练习 课堂练习 课堂练习 作业 P26 3 4 5 6 9 分析法的思路是 执果索因 未知 已知即从求证的不等式出发 不断地用充分条件来代替前面的不等式 直至找到已知的不等式为止 小结 1 法常用于比较法 综合法难于入手的题型 2 分析法的优点是利于思考 因为它方向明确思路自然 易于掌握 而综合法的优点是易于表述 条理清楚 形式简洁 因而证不等式时常常用分析法寻找解题思路 再用综合法写出证明过程 解 设f x 1 x n 1 nx 则f x n 1 x n 1 n n 1 x n 1 1 由f x 0得x 0 于是当x 1 0 时 f x 0 f x 在 0 上递增 当x 0时 f x 最小 最小值为0 即f x 0 1 x n 1 nx 例4 已知x 1 n 2且n N 比较 1 x n与1 nx的大小 例4 已知x 1 n 2且n N 比较 1 x n与1 nx的大小 解 设t 1 x 则t 0 1 x n 1 nx tn nt n 1 再设f t tn nt n 1 则f t ntn 1 n n tn 1 1 当t 0 1 时 f t 0 f t 在 1 上递增 当t 0时 f t 最小 最小值为