高数多元函数复习题PPT课件

总复习多元函数微分学 1 提示 例1求函数的定义域 并作图 例2设 且 求 解 令 1 提示 0 例3填空题 3 提示 0 4 设 则 则 即 提示 令 5 设 则 提示 6 f x y 在点 处偏导数 存在是f x y 在该点连续 A 充分条件但非必要 B 必要条件但非充分 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 D 1 选择题 6 8 7 设f x y 在点 a b 偏导数存在 则 B 提示 因为只要写结果 可直接用罗必塔法则找答案 原式 8 提示 利用 令 即 则原式 当m 3时 当m 4时 A A 不存在 例4 证明 判断下列极限存在与否 2 3 提示 1 有 有 有 表明上式中极限均不存在 例5 证明 函数点连续 所以在点连续 所以在点偏导数都存在 偏导数存在 但不可微 例6 所以在点不可微 体会二元函数的一些基本概念之间的关系 1 函数可微 偏导数不一定连续 2 当 和 不存在时 也不能断定 和 不存在 这只能说明偏导数在点 0 0 处不连续 在点 处四个基本概念之间的关系 连续性 偏导数 方向导数 可微性 可微性条件增强 由它可以推出其它 三个概念 反之不 一定存在 例7 求下列函数的偏导数和全微分 1 设 解 求 可先代入部分值 再求导数 求 2 设 解 设 求 解法一 例8 解法二 例9 设 其中 求 解 例9 设 其中 具有二阶连续偏导 求 解 令 例10设 由方程 确定 其中F可微 求 解 得 例11求曲线 上在点A 1 1 1 处的 切线方程和法平面方程 解 方程组两边对x求导得 将点A 1 1 1 代入 切线方程 法平面方程 解 例12 依题意 两平面平行 例13 解 令 求曲面 平行于平面 的各切平面方程 设 为曲面上的切点 满足方程 切点为 切平面方程 1 切平面方程 2 例14求曲线 绕y轴旋转一周生成 的曲面在点 上的切平面与 平面的夹角 解旋转曲面 在点 平面上 证明曲面在任意点 解 令 则曲面在点M的法向量为 而 故 的法线与向量垂直 例15 设曲面的方程为 求最大长方体 解设长方体的一个顶点在锥面 则长方体 例16 锥体内作底面与 面平行的长方体 的体积 的体积 将 式乘以x与 式乘以y相比较得 将代入 式并由 式得 所以得唯一驻点为 依题意必有最大值 从而长方体的最大体积为 例17 求点 1 2 0 到曲面 的最短距离 解 问题为 条件 设 令 解得 此两点到曲面的距离为 故 为最短 解 例18 例19 例20 在曲面 上求出一点M 使 沿着点 的方向导数具有最大值 解 其方向余弦为 则问题为 条件 设 到 解得 经验证 为最大值 令 例21设曲面方程为 证明曲面上 任一点处的切平面在三坐标轴上的截距之和为常数 证明 曲面在任一点 处的法向量为 即 则在坐标轴上的截距之和为 切平面方程为 例22 设函数 具有连续偏导数 且对任意实数t有 试 上任一点处的切平面交于一定点 证 曲面上任一点 处的切平面方程为 对等式 两边关于t求导 为切点 切平面方程为 显然