第6章-刚体力学ppt课件

第6章 刚体力学 1 1 刚体运动的描述 刚体运动学 2 刚体的质心运动 3 刚体定轴转动的转动定律 4 角动量守恒定律 5 刚体定轴转动的功和能 2 第6章刚体力学 刚体运动的描述 研究方法 刚体可以被看成由无数质点所组成的一个特殊的质点系 每个质点称为刚体的一个质量元 因此有关质点系的基本定理也适用于刚体 6 1刚体的运动 刚体 rigidbody 在外力作用下 形状和大小都不发生变化的物体 称为刚体 是特殊质点系的理想模型 一般的固体可近似地看作刚体 3 第二节 刚体运动的分类 刚体有两类基本的运动形式 平动和转动 任何复杂的刚体运动为两者的叠加 1 刚体的平动和转动 转动是物体运动的基本形式 角坐标 位置矢量r与x轴之间的夹角 也称角位置 角位移d 角度 的微小变化 角速度 方向 右手螺旋方向 单位 弧度 秒 rad s 2 刚体的角速度和角加速度 5 角加速度 单位 rad s2 匀角加速度运动方程 类似匀加速直线运动 匀角加速度定轴转动的运动方程可类比得到 6 刚体内各质点的位置 速度 加速度在转动过程中可能不一样 但在相同的时间内转过的角度 角速度 角加速度都相同 7 角量与线量的关系 1 刚体运动的描述 刚体运动学 2 刚体的质心运动 3 刚体定轴转动的转动定律 角动量守恒定律 5 刚体定轴转动的功和能 2 刚体的质心运动 8 第6章刚体力学 质心 质点系的质量中心 质心质量 等于质点系中各质点质量的总和 m mi 质心位置 质点系内各质点的质量加权平均位置 设质心位矢为rc 定义 直角坐标系中质心坐标的分量式 1 质心 6 2刚体的质心运动 9 刚体的质量是连续分布的 可看成由许多质量元dm组成的质点系 刚体的质心矢径定义为 分量式为 质量连续分布的物体 10 当质点系中各质点的位置改变时 质心的位置也发生变化 对质心位矢求时间导数得速度 表明 质点系总动量等于质心的动量 2 质心运动定理 将上式改写为 亦即 11 质心运动定理 质心速度 作用于物体的外力等于物体质量乘以质心加速度 例1 均匀细棒弯成如图所示的直角形 则它的质心位置 复习题二 二 1 解 由对称性 均匀性可知 两直角边各自的质心位置在中点 由质心定义 12 解 由质心定义 得 例2试求非均匀棒的质心位置 设棒长为L 棒的单位长度质量 与x的函数关系为 式中 为常数 坐标轴如图所示 在棒x处取一线元dx 其质量元为dm 13 例3如图所示 一质量均匀分布的细杆弯成半圆形 其半径为R 求其质心的位置 练习四 5 解 由质心坐标公式 有 如图取坐标 设细杆的线密度为 取一线元dl 其质量元 14 例4求一半径为R的半圆均匀簿板的质心位置 解 取坐标如图所示 在处取宽为的条状 其质量为 由质心坐标公式 有 则质量元 15 设薄板面密度为 由于半圆对轴对称 即yC 0 质心位置一定在x轴上 只需求质心的横坐标xC 1 刚体运动的描述 刚体运动学 2 刚体的质心运动 3 刚体定轴转动的转动定律 4 角动量守恒定律 5 刚体定轴转动的功和能 3 刚体定轴转动的转动定律 16 第6章刚体力学 定轴转动 刚体各质点均绕同一固定不动的直线 称为转轴 转动 特点 刚体上各点都绕固定轴作圆周运动 注意与定点转动的区别 6 3刚体的定轴转动 刚体定轴转动时 可用正负号来表示力矩的方向 设力F作用于刚体中的P点 且在转动平面内 1 对轴的力矩 17 在刚体内任取一质点i 质量为 mi 离转轴距离为ri 受到外力Fi和内力fi的作用 设Fi和fi均在转动平面内 力矩 合外力矩 合内力矩为零 牛顿第二定律 大小 2 刚体定轴转动定律 18 合力矩 合外力矩 合内力矩为零 令 称为转动惯量 转动定律 刚体转动快慢的变化与作用于刚体的外力矩有关 也就是说刚体转动角加速度 正比于外力矩M 与刚体转动惯量I成反比 定律的物理意义 19 转动定律与牛顿运动定律比较 牛顿运动定律 描述质点运动规律 加速度a与受力F的关系 具有瞬时性 矢量性 F为合外力 线量 转动定律 描述刚体转动规律 角加速度 与力矩M的关系 具有瞬时性 矢量性 M为合外力矩 角量 描述转动 描述平动 20 转动惯量 刚体转动惯性大小的量度 质量 平动中惯性大小的量度 质点系 质量连续分布 3 转动惯量 线分布 面分布 体分布 其中 分别为质量的线密度 面密度和体密度 质量密度与dm的选取 21 例1求一质量为m 长为l的均匀细棒的转动惯量 1 轴通过棒的中心并与棒垂直 2 轴通过棒的一端并与棒垂直 解 取坐标 如图所示 在x处取一质量元dm 写出其绕转轴的转动惯量表式 然后积分 22 一些常见刚体的转动惯量 23 平行轴定理 例1利用平行轴定理计算细杆转动惯量 IC 刚体绕过质心转轴转动的转动惯量 h 两平行轴间距 3 刚体转动惯量的二条定理 24 解 例2求证垂直轴定理 薄板 证明 所以 证毕 因为 25 例3利用平行轴定理 垂直轴定理计算薄板圆盘沿不同转轴的转动惯量 转轴 过圆心 垂直盘面 转轴 与盘面相切 垂直盘面 转轴 盘直径 与盘面共面 转轴 与盘面相切 且与盘面共面 26 解 例4一细杆长L 5米 其质量线密度 2x kg m 1 可绕水平光滑轴O在竖直平面内转动 如图所示 求 1 该细杆的质量m 2 质心的位置xC 3 细杆对轴O的转动惯量IO 练习四 3 解 1 求质量 取坐标 如图所示 在x处取一质量元dm 2 求质心位置 27 3 求对转轴O的转动惯量 先写出质量元dm的转动惯量表式 细杆的转动惯量 28 转动惯量 另 求T型系统的质心位置 两细棒的质心位置在各自捧的中间位置 再由该两位置求T型系统的质心坐标yc 为 解 例5两细棒质量均为m 长度均为l 制成T型 且可绕O轴自由转动 如图所示 求该T型系统对O轴的转动惯量 习题四 5 利用转动惯量的可加性 29 例6一复摆由一根质量为m 长为l的均匀细杆和一质量为m 半径为R l 4的均匀圆盘组成 O为转轴 则该摆的转动惯量I 该系统的质心位置 先计算细杆的质心 杆的中点 和园盘的质心 盘心 然后再求两者组成的系统质心位置 解 利用转动惯量可迭加性 30 例7如图 四个质点安装在质量忽略不计的轻质圆形框架上 求 1 此系统对通过圆心并垂直纸面轴的转动惯量 2 绕通过此系统质心并垂直纸面轴的转动惯量 练习四 4 解 质心位置 对称性知水平方向的两质点的质心在O点 只需确定竖直方向两质点的质心位置 即距0点上方0 25R 1 利用转动惯量定义 2 先求系统质心位置 再求转动惯量 31 求绕此系统质心并垂直纸面轴的转动惯量 由平行轴定理有 解 1 由质心定义 得 2 利用转动惯量定义 得 例8四个质点用质量不计的刚性细轩连接起来 构成一质点系统 如图建立坐标系 坐标原点位于长方形中心 若该质点系绕过O点且与xy平面垂直的z轴以角速度6 0rad s转动 求 该系统 1 质心位置坐标和 2 绕z轴的转动惯量 3 绕z轴的转动动能 习题三 8 3 转动动能 32 1 确定研究对象 进行受力分析 画出隔离体受力图 2 建立坐标系 假设a 的正方向 并尽可能使两者在运动方向保持一致 3 对刚体的平动用牛顿第二定律 对刚体的转动用转动定律 列联立方程 4 由物体之间的连接关系及角量与线量的对应关系 列出补充方程 5 求解方程 并分析结果的合理性与物理意义 解题步骤 4 转动定律及其应用 33 例1一转动惯量为I的圆盘绕一固定轴转动 起初角速度为 0 设它所受阻力矩与转动角速度成正比 即M k k为正的常数 则圆盘的角速度从 0变为 0 2时所需的时间 练习五1 解 或由将要学的角动量定理微分形式Mdt J 直接求解 34 例2一轻绳缠绕在定滑轮上 绳的一端系有质量为m1的重物 滑轮是一个半径为R的均匀圆盘 质量为m2 开始时 重物离地面高度为h 然后由静止开始下落 设绳与滑轮之间无相对滑动 绳不可伸长 不计轴上摩擦 求重物刚到达地面时的速率 解I 分别对重物m1 滑轮m2作受力分析 对重物应用牛顿运动定律 对圆盘应用转动定律 解以上方程 得 35 又 由机械能守恒定律求解 把重物 滑轮 地球看为一系统 系统不受外力 内力中无耗散力 故系统机械能守恒 设地面为重力势能为零参考点 解以上三个联立方程 得 36 解II 例3如图 A B两物块和滑轮C的质量分别为mA mB和mC 滑轮半径为R 对轴的转动惯量为 设桌面和转轴光滑 绳不可伸长且质量不计 绳在滑轮上不打滑 求物块A的加速度aA 练习三 13 解 分别对物体A B 滑轮C作受力分析 对A B应用牛顿运动定律 对滑轮应用转动定律 又 37 例4如图所示 一个组合轮由两个匀质的圆盘固接而成 大盘质量M1 6kg 半径R 0 10m 小盘的质量M2 4kg 半径r 0 05m 两盘边缘上分别绕有细绳 细绳的下端各悬挂质量为m1 m2 2kg的物体 求 两物体m1 m2的加速度大小 两绳子中的张力 解 分别对大小圆盘 物体作受力分析 对物体应用牛顿运动定律 对圆盘应用转动定律 38 39 例5如图所示 将一根质量为m 长为l的均匀细杆悬挂于通过其一端的光滑水平轴o上 今在悬点下方距离x处施以水平冲力F 使杆开始摆动 要使在悬点处杆与轴之间不产生水平方向的作用力 则施力F的位置x应等于多少 由质心运动定理 解 以细杆为对象 其受重力mg 轴处支持力 水平方向受支持力分量 冲力 40 即 令Ny 0 解得 作业练习四1 2 7 8 9练习五3 4 5 41 1 刚体运动的描述 刚体运动学 2 刚体的质心运动 3 刚体定轴转动的转动定律 4 角动量守恒定律 5 刚体定轴转动的功和能 4 角动量守恒定律 42 第6章刚体力学 第四节 定轴转动刚体的角动量 定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加 1刚体的角动量 2刚体的角动量定理 44 3刚体的角动量守恒定律 45 解 子弹射入棒与穿出捧的过程 子弹和棒组成的系统角动量守恒 棒从竖直位置摆至水平位置 此过程以棒和地球组成的系统机械能守恒 解得 而 46 解 剪断瞬间 A端可认为静止点 例2一长为l质量为m的均匀细棒 其两端用绳子自天花板竖直吊住 棒处于水平 若一端突然剪断 求此时另一端绳的张力T 47 例3如图所示 有一质量为M 长为l的均匀细杆静止在光滑的水平桌面上 可绕通过细杆一端的竖直光滑钢钉转动 有一质量为m的小球以垂直于杆的水平速度v0与杆的另一端碰撞 碰撞后小球以速度v反向弹回 设碰撞时间很短 求碰撞后细杆转动的角速度 问 碰撞过程中 由小球和杆构成的系统的动量是否守恒 不守恒 48 解 由于质点与有转轴的细杆碰撞时 轴对杆有冲力 故动量不守恒 但该冲力对于O点的力矩为零 因此对O点的角动量守恒 L 49 花样滑冰 L 50 例1 恒星晚期在一定条件下 会发生超新星爆发 这时星体中有大量物质喷入星际空间 同时星的内核却向内坍缩 成为体积很小的中子星 中子星是一种异常致密的星体 一汤匙中子星物体就有几亿吨质量 设某恒星绕自转轴每45天转一周 它的内核半径R0约为2 107m 坍缩成半径R仅为6 103m的中子星 试求中子星的角速度 坍缩前后的星体内核均看作是匀质圆球 解 在星际空间中 恒星不会受到显著的外力矩 因此恒星的角动量应该守恒 则其内核在坍缩前后的角动量I0 0和I 应相等 因 代入I0 0 I 中 整理后得 51 1 刚体运动的描述 刚体运动学 2 刚体的质心运动 3 刚体定轴转动的转动定律 4 角动量守恒定律 5 刚体定轴转动的功和能 5 刚体定轴转动的功和能 52 第6章刚体力学 6 5刚体定轴转动的功和能 1 力矩的功 设力F在转动平面内 作用在刚体中p点上 dt时间内 位移dr dr rd 力F在dr上的投影为切向力F Fsin 则F所作的元功 53 刚体的转动动能是刚体所有质点的动能之和 类似 转动定律 分离变量Md I d 积分 合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 刚体转动的动能定理 2 刚体的转动动能 54 包括刚体转动动能和平动动能在内的系统功能原理同样适用 同样 若W外 W内非 0 只有保守内力作功 则包含刚体转动的系统的机械能守恒 说明 55 直线运动与定轴转动规律对照 56 例1如图 已知滑轮的质量为M 半径为R 物体的质量为m 弹簧的劲度系数为k 斜面的倾角为 物体与斜面间光滑 物体从静止释放 释放时弹簧无形变 设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动 忽略轴间摩擦阻力矩 求物体沿斜面下滑x米时的速度为多大 滑轮视作薄圆盘 解 选取m M k和地球为系统 重力和弹性力均为系统保守内力 外力和非保守内力均不做功 系统机械能守恒 57 设m未释放时为初态 此时重力势能为零 当m下滑x后为终态 初态能量 终态能量 由机械能守恒得 由角量和线量的关系得 联立式 1 2 3 得 58 例2如图所示 一根长 为质量为3m的均匀细棒 顶端悬挂在O点的水平轴上 今有质量为m的子弹以水平速度V0射入棒的下端里面 然后 棒上摆至下端高度h处的位置 求 1 子弹和棒刚开始转动时的角速度 2 棒下端达到的高度h 子弹 棒为系统 子弹射入棒过程中 系统所受的外力对O轴不产生力矩 故系统对O轴角动量守恒 解 1 59 棒 子弹 地球为系统 上摆过程中只有重力做功 系统机械