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6 7多元函数的微分中值定理与泰勒公式 一 二元函数的微分中值定理 二 二元函数的泰勒公式 二元函数的泰勒公式 拉格朗日余项 匹亚诺余项 问题的提出 一元函数的泰勒公式 能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数 并能具体地估算出误差的大小 问题 一 二元函数的微分中值定理 定理1 二元函数的拉格朗日中值公式 或写成 记则上式又可写成为 证考虑点 由定理假定可知 在区域D内可微 记 由连锁法则 则 由一元函数的拉格朗日中值定理 有 0 1 使得 即 证毕 推论 证在区域D内任意取定一点P0 对D内任意点P 若连线P0P0P都在D内 则由拉格朗日中值定理 有 P0 P1 P2 Pn P 0 于是 于是 由上面的讨论 我们有 由于P为D内任意点 命题证毕 记号 二 二元函数的泰勒公式 一般地 在一点的阶微分为 定理2 其中 拉格朗日余项 称为f在点 x0 y0 的n阶泰勒公式 证 则 利用多元复合函数求导法则可得 令 证明的思路是归结到一元函数的泰勒展开式 一般地 由 的麦克劳林公式 再将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式 证毕 其中 则 定理2在多元函数的计算上有重要价值 其中拉格朗日余项 可用偏导数来估计 令 所以 我们得到二元函数的带皮亚诺型余项的泰勒公式 由高阶微分的定义 不难看出 其系数为f在点 x0 y0 的偏导数 这个多项式称为泰勒多项式 例1求函数在点 1 1 的二阶泰勒多项式 及带匹亚诺余项的泰勒公式 解先求各阶导数 因此 若令 也即 例2 求函数 解 的三阶泰 勒公式 因此 其中 多元函数的泰勒多项式的唯一性定理 因此 求一个函数的泰勒展开式 可以用其它途径 而不一定非 计算各阶导数 例3在点 0 0 的邻域内 将函数按匹亚诺 余项的泰勒公式展开至二次项 解由常用的一元函数的泰
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