同济大学线性代数__第三章[1]ppt课件

24 04 2020 1 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 24 04 2020 2 1矩阵的初等变换 引例求解线性方程组 24 04 2020 3 用消元法 24 04 2020 4 24 04 2020 5 令 代入方程组 得解 24 04 2020 6 消元法的三类变换 1 对调二个方程的次序 2 以非零的数k乘某个方程 3 一个方程加上另一个方程的k倍 由于三类变换都是可逆的 因此变换前的方程组与变换后是同解的 24 04 2020 7 定义1 下面三类变换称为矩阵的初等行变换 同样可定义矩阵的初等列变换 把 r 换成 c 初等行变换和初等列变换统称初等变换 24 04 2020 8 三类初等变换都是可逆的 并且其逆变换是同一类的初等变换 24 04 2020 9 若矩阵A经过有限次初等变换变成B 则称A与B等价 记作A B 矩阵的等价关系满足 反身性A A 对称性若A B 则B A 传递性若A B B C 则A C 24 04 2020 10 1 的增广矩阵 线性方程组 24 04 2020 11 24 04 2020 12 行阶梯形 24 04 2020 13 行最简形 令 24 04 2020 14 等价标准形 24 04 2020 15 任一m n矩阵A都等价于一个如下的矩阵 称为A的等价标准形 24 04 2020 16 2初等矩阵 定义2 由单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵 三类初等变换与三类初等方阵相对应 24 04 2020 17 24 04 2020 18 24 04 2020 19 24 04 2020 20 三类初等矩阵 其中 24 04 2020 21 三类初等矩阵都是可逆的 并且其逆矩阵 转置矩阵都是同一类的初等矩阵 24 04 2020 22 定理1 设A为m n矩阵 则 24 04 2020 23 24 04 2020 24 方阵A可逆的充要条件是A可以表示为若干个初等矩阵的乘积 定理2 证明 充分性 必要性 24 04 2020 25 方阵A可逆的充要条件是A E 推论1 推论2 m n阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q 使得PAQ B 注意到可逆阵可表示为若干个初等阵的乘积 24 04 2020 26 例 24 04 2020 27 即 24 04 2020 28 解 例 24 04 2020 29 24 04 2020 30 24 04 2020 31 例 解 初等行变换 24 04 2020 32 24 04 2020 33 24 04 2020 34 3矩阵的秩 定义3 在矩阵A中 任取k行 k列所得的k2个元素不改变它们的相对位置而得的k阶行列式 称为A的一个k阶子式 A的一个2阶子式 24 04 2020 35 定义4 矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为A的秩 记作R A 例4 求矩阵A和B的秩 其中 24 04 2020 36 2阶子式 3阶子式 A 0 3阶子式 4阶子式都 0 R A 2 R B 3 24 04 2020 37 定理3若A B 则R A R B 事实上 若A经过一次初等变换变为B A的k阶子式全等于零 则B的k阶子式也全等于零 24 04 2020 38 性质1 若A的所有r阶子式 如果有 全等于零 则阶数大于r的所有子式全等于零 若A的所有k阶子式全等于零 则R A k 2 若A有一个k阶子式非零 则R A k 3 若A为m n矩阵 则0 R A min m n 4 24 04 2020 39 5 R PAQ R A 其中P Q为可逆矩阵 6 7 8 24 04 2020 40 故 24 04 2020 41 注意到 从一个矩阵中划去一行或一列 它的秩至多减少一 将C1看成一个n阶矩阵划去了n r1行 n r2列 于是有 24 04 2020 42 3线性方程组的解 24 04 2020 43 化为行最简形矩阵 不妨假定 24 04 2020 44 24 04 2020 45 1 若 则 无解 24 04 2020 46 非齐次性线性方程组解的条件 24 04 2020 47 例10 求解线性方程组 解 24 04 2020 48 可知方程组无解 24 04 2020 49 例11 求解线性方程组 解 24 04 2020 50 24 04 2020 51 得 令 故 24 04 2020 52 24 04 2020 53 齐次性线性方程组解的条件 定理6 齐次线性方程组有非零解的 充要条件是 24 04 2020 54 例9 求解齐次线性方程组 解 24 04 2020 55 24 04 2020 56 24 04 2020 57 矩阵方程有解的条件 定理6 矩阵方程 有解的