几个抽象函数问题的粗浅分析.doc

几个抽象函数问题的粗浅分析 抽象函数是一种重要的数学概念.我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f(x)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数.由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身.这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力. 解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高.所以近几年来高考题中不断出现，在xx年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花.但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心.下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法. 一、抽象函数的定义域 例1已知函数f(x)的定义域为1,3，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)(a0)的定义域. 解析：由由a0知只有当0 点评：1.已知f(x)的定义域为a,b，则fg(x)的定义域由ag(x)b，解出x即可得解; 2.已知fg(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域即是g(x)在xa,b上的值域. 二、抽象函数的值域 解决抽象函数的值域问题由定义域与对应法则决定. 例2若函数y=f(x+1)的值域为-1，1求y=(3x+2)的值域. 解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为-1，1. 三、抽象函数的奇偶性 例3若y=f(x)是偶函数,y=f(x-1)是奇函数，求f(xx)=? 解析：因为y=f(x-1)是奇函数,所以y=f(-x-1)=-f(x-1)为什么?;因为y=f(x)是偶函数，所以f(-x-1)=f(x+1)为什么?;因为f(x+1)=-f(x-1),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x);因为y=f(x-1)是奇函数,所以f(0)=0=f(-1)=f(xx) 四、抽象函数的对称性 例4已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+g(-x)的值为() A、2B、0C、1D、不能确定 解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=f(x)-1/2，y=f(2x+1)是奇函数， y=f(x)-1/2也是奇函数，f(x)-1/2+f(-x)-1/2=0f(x)+f(-x)=2，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)故选A. 五、抽象函数的周期性 例5、(xx全国卷理)函数的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则() (A)f(x)是偶函数(B)f(x)是奇函数 (C)f(x)=f(x+2)(D)f(x+3)是奇函数 解:f(x+1)与f(x-1)都是奇函数， 函数关于(-1,0)点，及点(1,0)对称，函数是周期为4的周期函数.，所以f(x+3)=f(x-1)，即f(x+3)是奇函数.故选D 关于抽象函数的周期性有如下的几个定理和性质，由于篇幅问题，推导就省略了. 定理1.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(x+a)=f(x-b)，则y=f(x)是以T=a+b为周期的周期函数. 定理2.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(x+a)=-f(x-b)，则y=f(x)是以T=2(a+b)为周期的周期函数. 定理3.若函数y=f(x)的图像关于直线x=a与x=b(ab)对称，则y=f(x)是以T=2(b-a)为周期的周期函数.转贴于中国论文下载中 et定理4.若函数y=f(x)的图像关于点(a,0)与点(b,0),(ab)对称，则y=f(x)是以T=2(b-a)为周期的周期函数. 定理5.若函数y=f(x)的图像关于直线x=a与点(b,0),(ab)对称，则y=f(x)是以T=4(b-a)为周期的周期函数. 性质1：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)=f(b+x)(ab,ab0),则函数f(x)有周期2(a-b); 性质2：若函数f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)及f(b-x)=-f(b+x)，(ab,ab0),则函数有周期2(a-b). 特别：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)(a0)且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a. 性质3：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)=-f(b+x)(ab,ab0)，则函数有周期4(a-b). 特别：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a