高等代数第五版(下)重点习题解.doc

第 9 页 共 9 页唐大源Page216向量空间7. 证明对于任意正整数n和任意向量，都有 （提示）利用数学归纳法4.设V是一个向量空间，且V0.证明：V不可能表示成它的两个真子空间的并集。证：设 1、2都是的真子集，且，则至少有一个的非零向量1且至少有一个的非零向量2 , (1)若2 则 因为1 12 命题得证(2) 若则 因为2 ，12命题得证(3)若2 ，而，在这种情况下，我们考虑向量以下证明，且()若，则有，因为是子空间，这与1矛盾，所以，()若，则有，因为是子空间，这与2矛盾所以，于是有，但12综上表明5.设W，W1，W2都是向量空间V的子空间，其中W1W2，且WW1=WW2,W+W1=W+W2.证明W1=W2。证：因为21 ，所以，（，）那么，又因为，故，所以，因而，即，又，故Page2276.3 向量的线性相关性3.令证明线性相关必要且只要行列 证：线性相关有不全为零的数使齐次有非零解系数行列式5.设线性无关.证明也线性无关.证：令得齐次线性方程组 而它只有零解6.设向量组线性无关.任取证明,向量组线性无关.证：令把的表示代入上式，用的线性相关证明6.4 基和维数2求下列子空间的维数：(i) (ii) (iii) 提示：的维数为的极大无关组所含向量的个数()维数为2，因为，即它们线性相关，而其中任意两个都线性无关()维数为2()维数为33把向量组扩充为的一个基 提示：线性无关（不成比例）而，是的一个基，所以，可由，表示，而，线性无关，故，是的一个基4令是数域上一切数满足条件的阶矩阵所成的向量空间求的维数提示：因为是数域上一切满足的解矩阵所称的向量空间令表示第行第列交叉处是1 而其它元素全为零的解方阵，=， 的一组基为: ,;,;,; ,故5证明，复数域作为实数域上向量空间，维数是2如果看成它本身上的向量空间的话，维数是几？提示：在实数域上线性无关，且中任意复数均可由它们线性表示，故作为上的向量空间，维数为2作为上的向量空间，维数为1（任一非零复数均为它的基）6.5坐标设是的一个基求由这个基到的过渡矩阵结果： （提示：线性表示可得）2证明，是（数域上一切次数的多项式及零）的一个基求下列多项式关于这个基的坐标： (i) ; (ii) (iii) 4; (iv) .结果：(i) (0,0,1,2); (ii) (1,0,0,0); (iii) (4,-4,0,4); (iv) (0,0,1,1) (提示：利用公式（6）（取的基）即得由到的过渡矩阵)4设证明和都是的基，求前者到后者的过渡矩阵结果：提示：取的标准基，且求出，并都可逆，即证得，都是的基，从而有，即为由到的过渡矩阵5设是上维向量空间的一个基是上一个矩阵令.证明：秩A 证：设 秩，则存在上阶可逆矩阵和，使（为单位矩阵），即线性无关于是有，从而与等价，故有=秩6.6向量空间2设是向量空间V到W的一个同构映射，是的一个子空间证明是的一个子空间证,而，是的一个非空子集设，所以存在，使得， ， 有 ， ，故是的子空间6.7矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间1证明：行列式等于零的充分且必要条件是它的行（或列）线性相关证：设，秩行（列）空间的维数的行（列）线性相关2证明，秩秩秩 提示：，是的子空间，由维数公式知，+）=秩+秩，令=的行空间，=的行空间，比较维数，结论得证3设是一个行的矩阵，秩，从中任取出行，作一个行的矩阵证明，秩证明：（为的第行），据第2题，得，秩秩秩，即秩+秩，因秩+，所以秩秩5求齐次线性方程组的一个基础解系 解：对系数矩阵施行初等行变换后，得，基础解系为， 6证明定理6.7.3的逆命题：的任意一个子空间都是某一含个未知量的齐次线性方程组的解空间证明：设是的任一子空间，而且，令是的一个基，以为行构成矩阵，经初等行变换（必要时交换列）将化为，因此是的基础解系，而正是 （）的基础解系，所以（）的解空间为第七章 线性变换7.1线性映射2.设是数域上一个一维向量空间,证明到自身的一个映射是线性映射的充要条件是:对于任意,都有，这里是中一个定数.证： 必要性：设是的一个基，由是到自身的线性映射，有设（是中的一个定数）所以，有，而（是中的任意数），则有=充分性是中的一个定数，都有唯一确定的中的向量，使得=及，=+ 是到自身的线性映像.令表示数域上四元列空间.取对于,令.求线性映射的核和像的维数.解：先求的维数，由核的定义，有即，因此，就是齐次线性方程组的解空间，由解空间的维数定理，得解空间的维数秩，再求的维数，取的标准基有: =(=, (是的第列)，故秩=27.2线性变换的运算3.设是数域上一个有限维向量空间.证明,对于的线性变换来说,下列三个条件是等价的:(i)是满射;(ii);(iii)非奇异.当不是有限维时,(i),(ii)是否等价?提示：参照7.1习题第6题中充分性的证明7.3线性变换和矩阵1.令表示一切次数不大于的多项式连同零多项式所成的向量空间，.求关于以下两个基的矩阵:(1) ,(2) .解（1），关于基的矩阵为（它的阶数为）（2）同理，关于基的矩阵为2.设上三维向量空间的线性变换关于基的矩阵是求关于基的矩阵.设求关于基的坐标.解：已知关于基的矩阵为，由基到基的过渡矩阵为，设关于基的矩阵为，则有，设关于的坐标为，关于的坐标为，则有，关于的坐标为，所以，所以3.设是维向量空间的一个基并且线性无关,又设是的一个线性变换,使得.求关于基的矩阵.解 ：由已知，有（A可逆）， =，