自动控制原理_根轨迹法ppt课件

.,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,1,第四章根轨迹法反馈控制系统的运动特征取决于其闭环传递函数：极点、比例系数、零极点分布等。1948年，伊凡思（W.R.Evans）根据反馈控制系统的开环传递函数与其闭环特征方程间的内在关系，确定闭环特征方程特征根的一种图解方法根轨迹法。将开环系统中的参数与闭环极点间的关系通过直观的方法确定出来，便于对系统稳定和综合性能的分析。,.,助是非常便利的！,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,电流,温度,电流/电压,扭矩/转速,阀门开度,缸位移被控对象都是简单的输入和输出间的开环关系，而最终是要闭环,的。如果能根据开环系统判断闭环系统的极点、零极点分布、开环增益等，那么对系统控制的帮W.R.Evans2,采用根轨迹解决！,.,=2,s1=+,s2=,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,3,一、根轨迹的基本概念,Ks+s+K,Ks(s+1)+K,(s)=,12,12,14K2,14K2,闭环特征方程为s2+s+K=0,解得闭环特征根表达式,1.根轨迹概念,Ks(s+1),R(s),-,C(s),-1,j,K=0,K=0.5,K=0.5,K=0.25,K=0,-0.5,-0.5,0.5,0,图4-2系统的根轨迹,.,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,4,根轨迹是指开环系统某个参数由0变化到，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。（1）系统为结构稳定系统。无论K为何值，其特征根始终位于复平面的左半平面。（2）当0时，上式可近似为,两侧开(n-m)次方,e,=K,j(2k+1)nm,1*nm,an1bm1nm,s,mi=1nj=1J.Z.Xiao,CEIE,HBU,nmji1j(2k+1)j=1i=1e即得渐近线的坐标与夹角。,.,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,15,规则6：根轨迹的分离点、汇合点与分离角定义一：两条或两条以上根轨迹分支在s平面上（通常为实轴）的交点称为根轨迹的分离点或汇合点；定义二：分离角定义为进入分离点的切线方向与离开分离点切线方向之间的夹角。,.,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,16,F(s)=D(s)K*N（s）0,基于根轨迹的分离点或汇合点实质上都是特征方程式的重根。设,=1,N(s)D(s),G(s)H(s)=K,闭环系统特征方程：,F(s)=D(s)K*N（s）0F(s)=D(s)K*N（s）0D(s)N（s）D(s)N（s）0确定分离点或汇合点的方法l条根轨迹进入并离开分离点时的分离角为：,(2k+1)/l,k=0,1,2,L,l1,.,=,+K,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,17,例4-3已知单位反馈控制系统，试求系统根轨迹的分离点。,ks(s+1)(s+2),C(s),R(s)解：易知闭环系统特征方程为：F(s)=D(s)K*N（s）=s(s+1)(s+2)=0,dD(s)dN(s)dsds=3s2+6s+2=0,dF(s)ds,解方程为：,Re,Im,0,1,2,s1=1.577,s2=0.423,！根据根轨迹在实轴上的分布，前者不属于根轨迹，故舍,去。所以后者为根轨迹的分离点。,.,pk=(2k+1)+(pkzj)(pkpi),zk=(2k+1)+(zkpi)(zkzj),设S1在根轨迹上，则,3,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,18,法则7:根轨迹在复极点的出射角和复零点的入射角,ikjk,1,P2,z1,S1,P4,jP341P104,2,mnj=1i=1nmi=1j=11（1234）(2k+1),入射角各开环极点指向该零点的矢量的方向角,其它各开环零点指向本零点的矢量的方向角反向,31（124）m(2k+1)出射角各开环零点指向该极点的矢量的方向角其它各开环极点指向本极点的矢量的方向角反向同理：,.,法则8:根轨迹与虚轴的交点方法一：应用劳斯判据当特征方程式存在有一对纯虚根时，应令劳斯表第一列中包含K*的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点处的K*值。利用劳斯表中s2行的系数构成辅助方程，必可解出纯虚根的数值。这一数值即对应于根轨迹与虚轴交点处的值。方法二：应用闭环特征方程直接计算,Re1+G(j)H(j)=0Im1+G(j)H(j)=019,1+G(j)H(j)=0s=jJ.Z.Xiao,CEIE,HBU,.,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,20,s33s22sk=0,例：原系统闭环特征方程为方法一：建立劳斯表如下,2k0,132-k/3k,S3S2S1S0,由劳斯表，令2-k/3=0，得k=6。由s2行的系数构成辅助方程，且令k=6，得,s1，2j2,3s2+6=0,.,21,由此根轨迹与虚轴的交点为,由上方程解得：1）0，k=0,p1=0,j2,k*=k=6,此为根轨迹的一起始点2）2，k=6,此时根轨迹增益为J.Z.Xiao,CEIE,HBU,方法二：令s=j代入闭环特征方程，得j3322jk=0令其实部和虚部分别为零，得32k=0,.,(sz),(sp),szis,z,+L+(1),snpjsn1+L+(1)npj,z,=pjK(1),p,=pj,p,spjs,m,+L+(1)pjKszis,+L(1)zi=0,p,)=spcjs,(sp,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,22,m,i=1,m,m1,nm,j=1i=1,n*,n1,nj=1,n,i,nm,cj,mi=1,*,nj=1,nj=1,规则9：闭环极点的和与积开环零极点表示的特征方程,闭环极点表示特征方程,*,*,=1,i,mmnn,i=1i=1j=1j=1,mm1m,mi=1nj=1,ij,=K,G(s)H(s)=K,=0,nj=1,cj,n,n1,nj=1,n,nj=1,cj,+L+(1),对应系数相等：,cj,nj=1,nj=1,nm2时,.,K(s+2),(,),s(s+3)s2+2s+2,P4,P2,P3,P10,要求绘制系统的根轨迹。,例1,n=4，m=1,开环零点：-2开环极点：0，-3，-1j1,4条根轨迹分别起始于开,环极点0，-3，-1j1,终止于开环零点-2和3个无穷远点。J.Z.Xiao,CEIE,HBU,-3,-,-,-1.0,1.0,j1.61,-1.6123,-1,zo-2,-,-,三、根轨迹绘制举例已知控制系统的开环传递函数为G0(s)=,.,3,pz,=,=,=1,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,24,P2,),K(s+2)s(s+3)(s2+2s+2,已知控制系统的开环传递函数为G0(s)=要求绘制系统的根轨迹。,例1,j,-,1.0,1.61,P10-1.0-1.61,-1P3,zo-2,-,-,渐近线的方向角为,(2K+1)nm,P4-3渐近线与实轴的交点为ijnm0+(3)+(1+j)+(1j)(2)41,.,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,P4,P2,P3,P10,要求绘制系统的根轨迹。,),K(s+2)s(s+3)(s2+2s+2,已知控制系统的开环传递函数为G0(s)=,例1,-3,-,-,-1.0,1.0,j1.61,-1.6125,-1,zo-2,-,-,实轴上根轨迹分布：,(,3,2,0,.,P4,P2,要求绘制系统的根轨迹。,),K(s+2)s(s+3)(s2+2s+2,已知控制系统的开环传递函数为G0(s)=,例1,-3,-,-,P10-1.0,1.0,j1.61,-1.6126,-1P3,zo-2,-,-,=45o(135o+90o+26.6o)+反向26.6oJ.Z.Xiao,CEIE,HBU,复极点p2处的出射角,.,8+2K=0,=0=1.61,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,已知控制系统的开环传递函数为,),K(s+2)s(s+3)(s2+2s+2,G0(s)=,例1,要求绘制系统的根轨迹。根轨迹与虚轴的交点：,解得,将s=j带入闭环特征方程S4+5S3+8S2+6S+k(S+2)=0,整理后得53+(6+K)=043,K=0K=7,;。,P4,P2,P3,P10,j,-3,-,1.0,1.61,-1.0-1.61,-1,zo-2,-,-,Kcr7,27THEEND,.,28,例2,的系统根轨迹。,绘制开环传递函数为G0(s)=,K(s+2)(s2+4s+9)2,j,0,P1,o-2,P2,P3,P4,n=4，m=1开环零点：-2,(注意:为二重极点,即各有两条根轨迹射出),4条根轨迹分别终止于开环零点-2及3个无穷远零点。渐近线有n-m=3条。J.Z.Xiao,CEIE,HBU,开环极点：2j5,.,(s+4s+9),3,pz,=,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,29,例2,K(s+2)22的系统根轨迹。,绘制开环传递函数为G0(s)=,0,P1,P2o-2,P3,P4,j渐近线的方向角为,(2K+1)nm,=2,=,(2j5)2+(2+j5)2(2)41,渐近线与实轴的交点为ijnm,.,30,例2,的系统根轨迹。,绘制开环传递函数为G0(s)=,K(s+2)(s2+4s+9)2,j,0,P1,o-2,P2,P3,P4,实轴上根轨迹分布为:J.Z.Xiao,CEIE,HBU,(,2,.,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,31,例2,的系统根轨迹。,绘制开环传递函数为G0(s)=,K(s+2)(s2+4s+9)2,j,0,P1,o-2,P2,P3,P4,-1350,450,确定复极点p1处的出射角2=90o(90o+90o)+反向90o或270o,=45或-135,由根轨迹的对称性：p3处出射角为：-45或135,.,d(s+4s+9)dK(s+2)22,32,例2,的系统根轨迹。,绘制开环传递函数为G0(s)=,K(s+2)(s2+4s+9)2,j,0,P1,P2,P3,P4,-1350o-2,450,求分离点和会合点：,2,K(s+2)解得,(s+4s+9)=0dsds,s1,s2=2j5,s3=0.17(舍弃),s4=3.29J.Z.Xiao,CEIE,HBU,.,(s+4s+9),34+81+2K=0,8+()=0,72+K,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,33,例2,K(s+2)22的系统根轨迹。,绘制开环传递函数为G0(s)=,j,0,P1,P2,o-2P3,P4,-1350,450,(s2+4s+9)2+K(s+2)=0,=21=4.58Kcr=96,根轨迹与虚轴的交点：,将s=j带入闭环特征方程,整理后得423解得有意义的解为,Kcr96,.,(j21)+(j21)+s3+s4=2(2+j5)+2(2j5)=8,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,例2,的系统根轨迹。,绘制开环传递函数为G0(s)=,K(s+2)(s2+4s+9)2,j,0,P1,o-2,P2,P3,P4,-1350,450,Kcr96,解得,Kcr=96时,系统另外两闭环极点s3,s4的位置,因为nm241(j21)(j21)(s3)(s4)=92+(1)(96)(2)=273,s3=2.27,s4=5.73,34THEEND,.,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,35,例3,要求绘制系统,系统的开环传递函数为G0(s)=的根轨迹。,K(s+0.125)s2(s+5)(s+20)(s+50),-50,-20,-5,-0.1250,Im,Re,n=5，m=1开环零点：-0.125开环极点：,0（二重），-5，-20，-50,5条根轨迹分别终止于开环零点-0.125及4个无穷远零点。渐近线有n-m=4条。,.,K(s+0.125),s()()(s+50),s+5s+20,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,36,例3,要求绘制系统,2,系统的开环传递函数为G0(s)=的根轨迹。,-50,-20,-5,-0.1250,Im,R,ee,渐近线的方向角为,渐近线与实轴的交点为,4,34,(2K+1)nm,=18.7,(5)+(20)+(50)(0.125)51,=,pizjnm,=,.,K(s+0.125),s()()(s+50),s+5s+20,37,例3,2,系统的开环传递函数为G0(s)=的根轨迹。,-50,-20,-5,-0.1250,要求绘制系统Im,R,ee,实轴上根轨迹分布在J.Z.Xiao,CEIE,HBU,50,20,5,0.125,.,K(s+0.125),s(s+5)(s+20)(s+50),要求绘制系统,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,38,例3,2,系统的开环传递函数为G0(s)=的根轨迹。,-50,-20,-5,-0.1250,Ree,求分离点和会合点：Im作如下简化：在绘制原点附近的根,轨迹曲线时，略去远离原点的极点的影响；,在绘制远离原点的根轨迹时，略去原点附近的一对相距很近的零、极点的影响,.,K(s+0.125),s()()(s+50),s+5s+20,s1=0.25,s2=0,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,39,例3,要求绘制系统,2,系统的开环传递函数为G0(s)=的根轨迹。,-50,-20,-5,-0.1250,Im,Ree,(1).求原点附近的根轨迹和会合点,求原点附近的根轨迹时，简化的传递函数为,开环极点：0（二重极点）：开环,得,K(s+0.125)s2,G0(s)=,14243会合点,重积分分离点,零点：-0.125。实轴上的根轨迹分布为(,0.125。会合点位置：由s22s(s+0.125)=0,.,K(s+0.125),s()()(s+50),s+5s+20,G0(s)=,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,-50,-20,-5,-0.1250,例3,要求绘制系统,2,系统的开环传递函数为G0(s)=的根轨迹。,Im,Ree,(2).求远离原点的根轨迹和分离点,求远离原点的根轨迹时，简化的传递函数为,分离点位置：由,Ks(s+5)(s+20)(s+50),s3+56.25s2+675s+1250=0得144424443分离点s3=13.7(舍弃),40THEEND,.,arg(sz)arg(sp,其它各开环零点指向本零点的矢量的方向角,41,例4,要求绘制起,已知系统的开环传递函数为G0(s)=该系统在正反馈情况下的根轨迹。,Ks(s+1)(s+2),分析：正反馈特征方程与1G0(s)=0即G0(s)=1同根。所以，角条件变为,j,mn,i,)=2k,i=1j=1,模条件不变。根据角条件的变化，正反馈绘制根轨迹需要修改的规则有(1)实轴上的根轨迹分布如果右边实轴上的开环零、极点个数之和为偶数，则该区域必属于根轨迹。2knm(3)从复极点出发的根轨迹的出射角以及趋向于复零点的根轨迹的入射角。出射角各开环零点指向该极点的矢量的方向角其它各开环极点指向本极点的矢量的方向角,入射角各开环极点指向该零点的矢量的方向角J.Z.Xiao,CEIE,HBU,.,Re42,Imn=3，m=0开环极点：0，-1，-2,3条根轨迹都终止于无穷远渐近线有n-m=3条。J.Z.Xiao,CEIE,HBU,例4,要求绘制起,已知系统的开环传递函数为G0(s)=该系统在正反馈情况下的根轨迹。,Ks(s+1)(s+2),.,=,0,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,43,Re,Im,渐近线与实轴的交点为,=1,01230,=,pizjnm,=,渐近线的方向角为,23,=,2knm,实轴上根轨迹分布：-2,-1，0,+）。,例4,要求绘制起,已知系统的开环传递函数为G0(s)=该系统在正反馈情况下的根轨迹。,Ks(s+1)(s+2),.,1s(s+1)(s+2)=0,Re44,Im实轴上分离点：,由,ds(s+1)(s+2)d1dsds,得分离点s1=0.423(舍)s2=1.577J.Z.Xiao,CEIE,HBU,例4,要求绘制起,已知系统的开环传递函数为G0(s)=该系统在正反馈情况下的根轨迹。,Ks(s+1)(s+2),.,例5,，要求绘制根轨迹,已知系统的开环传递函数为G0(s)=,K(s+1)s(s1)(s+4),开环极点：0，1，-43条根轨迹一条终止于零点-1，2条终止于无穷远。渐近线有n-m=2条。J.Z.Xiao,CEIE,HBU,Imn=3，m=1开环零点：-1,Re45,.,=,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,46,=1,(0+14)(1)31,=,pizjnm,=,12,=,(2k+1)nm,实轴上根轨迹分布：-4,-1，0,1。,Im渐近线的方向角为,Re渐近线与实轴的交点为,例5,，要求绘制根轨迹,已知系统的开环传递函数为G0(s)=,K(s+1)s(s1)(s+4),.,47,例5,，要求绘制根轨迹ImRe,K(s+1)s(s1)(s+4),已知系统的开环传递函数为G0(s)=实轴上分离点：由,得有意义的分离点为0.44。,ds(s1)(s+4)d(s+1)dsds,(s+1),s(s1)(s+4)=0,3,22,分离角：(2k+1)/l=J.Z.Xiao,CEIE,HBU,k=0,1,2,.,特征方程：s+3s+(K4)s+K=0,得J.Z.Xiao,CEIE,HBU：,48,Re,令(2K-12)30，得Kcr6,构造辅助方程,与虚轴的交点,K-4K,13(2K-12)3K,S3S2S1S0,3s2+6=0,j2,例5,，要求绘制根轨迹Im,已知系统的开环传递函数为G0(s)=根轨迹与虚轴的交点32Routh表为：,K(s+1)s(s1)(s+4),.,四、参量根轨迹的绘制,可变参数不是根轨迹增益K,.,Go(s)=1,J.Z.Xiao,CEIE,HBU,50,设带有测速发电机反馈的位置随动系