第十二章+结构动力计算(1)ppt课件

.,教学内容：结构振动自由度的确定；单自由度体系无阻尼自由振动；阻尼对自由振动的影响；单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动；多自由度体系自由振动。教学要求：1、了解多自由度系统振频、振型计算一般理论；2、理解振动自由度的概念；3、掌握单自由度结构的自由振动和在简谐荷载作用下的受迫振动，多自由度体系自由振动。重点：单自由度结构的自由振动和在简谐荷载作用下的受迫振动。难点：多自由度体系的自由振动,第十二章结构动力计算,.,12-1概述,12-2运动方程的建立,12-3单自由度体系的自由振动,12-4阻尼对自由振动的影响,12-5简谐荷载作用下无阻尼单自由度体系的受迫振动,12-6多自由度体系的自振频率和振型计算,第十二章结构动力计算,.,一、动荷载及其分类动荷载是指其大小、方向和作用位置随时间变化的荷载。由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。,静荷载只与作用位置有关，而动荷载是坐标和时间的函数。,12-1概述,.,动荷载按其随时间的变化规律进行分类：,.,二、结构动力计算的目的,研究结构在动荷载作用下的反应规律，找出动荷载作用下结构的最大动内力和最大动位移，为结构的动力可靠性设计提供依据。,三、动力反应的特点在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位移等）都随时间变化，它除了与动荷载的变化规律有关外，还与结构的固有特性（自振频率、振型和阻尼）有关。不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特性能确定动荷载下的反应，故称之为结构的动力特性。,.,强迫振动：结构在动荷载作用下产生的振动。研究强迫振动，可得到结构的动力反应。,四、自由振动和强迫振动,自由振动：结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。,结构在强迫振动时各截面的最大内力、位移都与结构的自由振动的频率密切有关。,.,确定体系运动过程中任一时刻全部质点位置所需的独立几何参数数目，称为体系的自由度。根据自由度的数目，结构可分为单自由度体系，多自由度体系和无限自由度体系。,五、动力分析中的自由度,1自由度的定义,将连续分布的结构质量按一定的力学原则集中到若干几何点上，使结构只在这些点上有质量。从而把一个无限自由度问题简化为有限自由度问题。,2.实际结构自由度的简化方法,为分析计算方便，往往将具有无限自由度体系的实际结构简化为有限自由度。常用的简化方法有：,（1）集中质量法,.,不计轴向变形:W=1,平面:计轴向变形:W=2,.,3.确定体系振动自由度的方法,4个自由度,2个自由度,方法一:可以运用附加链杆法，使质量不发生线位移所施加的附加链杆数即为体系的计算自由度。,方法二:当忽略杆件的轴向变形时，可以运用几何构造分析中的铰接链杆法将所有质点和刚结点变为铰结点后，使铰接链杆体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为自由度数。,.,不计轴向变形：,W=1,W=2,.,W=3,W=1,.,结论：结构自由度数目与质点的个数无关结构自由度数目与超静定次数无关,考虑轴向变形后各计算简图的动力自由度数是多少？,思考：,.,描述体系振动时质点动位移的数学表达式，称为动力体系的运动方程（亦称振动方程）。,单自由度体系的动力分析能反映出振动的基本特性，是多个自由度体系分析的基础。本章只介绍微幅振动（线性振动）。,根据达朗贝尔原理建立运动方程的方法称为动静法（或惯性力法）。具体作法有两种：刚度法和柔度法。,12-2运动方程的建立,.,刚度法：将力写成位移的函数，按平衡条件列出外力（包括假想作用在质量上的惯性力和阻尼力）与结构抗力（弹性恢复力）的动力平衡方程（刚度方程），类似于位移法。,柔度法：将位移写成力的函数，按位移协调条件列出位移方程（柔度方程），类似于力法。,.,质量m所产生的水平位移，可视为由动力荷载P(t)和惯性力共同作用在悬臂梁顶端所产生的。根据叠加原理，得,一、按位移协调条件建立运动方程柔度法,.,11柔度系数。表示在质量的运动方向施加单位力时，在该运动方向所产生的静力位移。,式（B）可改写为：,.,1、单自由度体系的振动模型,二、按平衡条件建立运动方程刚度法,（1）动力荷载：,（2）弹性恢复力：,（3）惯性力：,2、取质量m为隔离体，其上作用有：,.,3、建立运动方程,根据达朗贝尔原理，由X0，得,代入，即得,K11刚度系数。表示在质量的运动方向产生单位位移所需施加的力。,刚度系数与柔度系数互为倒数：,.,例1：试用刚度法建立图示刚架受动力荷载P(t)作用的运动方程。,解：1)确定自由度（建模）：结构的质量m分布于刚性横梁，只能产生水平位移，属单自由度体系。,2)确定位移参数：设刚梁在任一时刻的位移为y(t)，向右为正。,.,3)绘隔离体受力图：取出隔离体。图中给出了惯性力、弹性恢复力。各力均设沿坐标正向为正。,4)列运动方程：按动静法列动力平衡方程，可得,.,式中：,代入整理，可得运动方程：,式中，刚度系数,k又称为楼层刚度，系指上下楼面发生单位相对位移（1）时，楼层中各柱剪力之和，如图所示）。,.,例3:试用柔度法建立图示静定刚架受动力荷载作用的运动方程。,解：本题为单自由度体系的振动。取质量m水平方向的位移y为坐标。,运动方程为:,.,绘出、图如图所示。由图乘法得,得运动方程,.,也可写作,为等效动力荷载,.,四、建立运动方程小结,1)判断动力自由度数目，标出质量未知位移正向。,2)沿所设位移正向加惯性力、阻尼力和弹性恢复力，并冠以负号。,3)根据是求柔度系数方便还是求刚度系数方便，确定是写柔度方程还是写刚度方程。,4)刚度方程几种写法的选择：,当结构给质体的反力亦即弹性恢复力FS容易求时，宜以质体为隔离体建立方程（方法二）；否则以结构为对象列方程（方法一）。,当用上述方法一和方法二有困难时，则宜用添加附加约束的方法列方程（方法三）。,.,1、刚度法：质点在惯性力与弹簧的恢复力作用下将处于一种虚拟平衡。,一、运动方程：,体系在没有外部动力荷载作用，而由初始位移y0和初始速度u0引起的振动，叫做自由振动,12-3单自由度体系的自由振动(不计阻尼),.,2、柔度法：,当质点振动时，把惯性力看作是一个静力荷载，则质点在其作用下结构在质点处的位移y(t)应等于：,.,二、运动方程的解：,初始条件定积分常数,当t=0时,则运动方程为：,设初始时刻有初位移y0和初速度v0,.,三、自由振动解的分析,1质点的运动规律简谐振动，质点作直线往复运动。,质点离平衡位置的位移随时间t变化的函数图,振幅:,初相位:,.,初相角a：标志着t=0时的位置。,频率f：每1秒间振动次数，,圆频率（简称频率）：表示2秒内的振动次数。,振幅A：振动过程中的质点的最大的位移。,周期T：,.,2自由振动中速度的改变规律,最大速度等于振幅A与频率w的乘积。,最大加速度等于振幅A与频率w平方的乘积,3自振中加速度和惯性力的变化规律：,惯性力幅值等于质量、振幅与频率平方的乘积,.,由于阻尼的作用，自振在几秒乃至百分之几秒内消失。但阻尼对自振频率的影响很小。,4自振的衰减,四、求自振频率的方法：,1用于柔度系数好求的体系。,2用于刚度系数好求的体系。,用于单质点的单自由度体系,.,3能量法求自振频率。,（用于多质点的单自由度体系、复杂体系）,4幅值方程求自振频率。,两者按同一规律改变。,由式（12-32）：,.,在达到振幅时，惯性力Z(t)达到其幅值，,惯性力与位移方向一致，位移A是惯性力幅值产生的。,故：,由柔度方程：,由刚度方程：,幅值方程求自振频率,.,例12-8：图示钢制悬臂梁，梁端部有一个质量为123kg的电机。已知梁跨为1m，弹性模量：,截面惯性矩I=78cm4。不计梁的自重，求自振频率和周期。,.,解：图示体系为单质点的单自由度体系,1）画单位力作用下的单位弯矩图。,2）图乘法计算柔度系数。,3）求自振频率,.,例12-9图示排架的横梁为刚性杆，质量为m，柱质量不计,求其自振频率。,解:,.,不考虑轴向变形，故为一单自由度体系。作图，求出刚度系数:,自振频率,例12-9图示排架的横梁为刚性杆，质量为m，柱质量不计,求其自振频率。,.,例3：求图示刚架的自振频率。各杆EI为常数。,解:1）作出单位力引起的弯矩图，,.,1）作出单位力引起的弯矩图，,3）求自振频率：,2）按图乘法求出柔度系数为：,.,例4：求图示刚架的自振频率。各杆EI为常数。,分析：图示体系有两个振质，均无竖向位移，仅有水平位移且相同，故是单自由度体系。由于两个质点上的惯性力共线，列方程时可以合并，所以可按一个质点的情况考虑。,解:（1）作出虚设位移方向的单位力引起的弯矩图,.,（1）作出单位力引起的弯矩图，,（3）求自振频率：,（2）按图乘法求出柔度系数为：,0,.,例5：求图刚架水平振动的自振频率，不计横梁的变形。,解：图示体系为单自由度体系:,1)在质量上沿位移方向加链杆，并令链杆沿位移方向发生单位位移，作出单位弯矩图。,.,2）求链杆反力，即为刚度系数,3）求自振频率：,EI,例5：求图刚架水平振动的自振频率，不计横梁的变形。,.,例6：求图示体系的自振频率。已知杆的刚度为无穷大，不计杆的质量，弹簧刚度系数为K。,解：图示体系为单自由度体系。由于两个质点的惯性力不共线，所以不能将质量合并。利用幅值方程求解。,.,方法一：利用幅值方程。,以质点C的位移作基本位移参数，其最大位移设为A，以A点为矩心列力矩方程，有,.,方法二：能量法,求体系的最大动能和最大势能。,振子的最大动能：,弹性势能：,令,.,思考：,图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量m。当不考虑的自重，试比较三者的自振频率。,.,思考：,图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量m。当不考虑的自重，试比较三者的自振频率。,.,MP图,st表示重力所产生的静位移,思考：,图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量m。当不考虑梁的自重，试比较三者的自振频率。,.,MP图,思考：,图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量m。当不考虑梁的自重，试比较三者的自振频率。,.,结构的自振频率只取决于它本身的质量、刚度，随着结构刚度的加大，其自振频率也相应增高。,思考：,图示三种支承情况的梁，跨度、刚度相等，在中点有一集中质量m。当不考虑梁的自重，试比较三者的自振频率。,.,作业：教材12-15、16,总结：,1、质点的运动规律简谐振动。,2、自由振动中速度、加速度、惯性力的改变规律,3、求自振频率的方法：,柔度法,刚度法,能量法,幅值法,单质点、单自由度体系,多质点单自由度体系、复杂体系,.,12-5简谐荷载作用下无阻尼单自由度体系的受迫振动,强迫振动结构在动荷载作用下的振动,单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示:,弹性力,惯性力,平衡方程,.,不同的动荷载作用，体系的动力反应不同。常见的几种动荷载作用下体系的动力反应：,或,式中,结构的自振频率,单自由度体系强迫振动方程,.,一、简谐荷载,1、运动方程及其解,二阶线性非齐次常微分方程,通解：,齐次解：,设特解：,.,运动方程的通解为：,由初始条件确定,故特解为：,代入方程，求得,式（12-61）第三项按扰频振动，称为纯受迫振动。前两项消逝后，只考虑稳态，即：,.,式（12-62）中振幅A等于：,其中：,由此可得：,叫静位移。是将扰力的幅值P作为静力加上去时产生的位移,令：,得振幅的表达式：,动力系数,.,得振幅的表达式：,求动位移、动内力最大值的计算步骤：,1）在扰力幅值P作用下求静位移及静内力；,2）求动力系数；,3）将静位移、静内力乘以动力系数即得动位移、动内力的幅值；,思考题:P70例题12-15,.,动力系数是频率比的函数,2、算式分析,它反映了干扰力对结构的动力作用。,振幅算式：,动力系数：,当时，,即动位移与干扰力指向一致；,当时，,即动位移与干扰力指向相反。,.,1）时，干扰力产生的动力作用不明显，因此可当作静荷载处理；极限情况，即或，则。意味着结构为刚体或荷载不随时间变化，因此不存在振动问题。,当时，为增函数。,2、算式分析,振幅算式：,动力系数：,.,2）当时，共振,为避开共振，可改变干扰力频率或改变结构的自振频率使或。,3）当时，为减函数当时，体系处于静止状态。,2、算式分析,振幅算式：,动力系数：,.,例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩.,已知：,.,解:,(1)计算动力系数,梁的自振频率：,荷载频率：,动力系数：,例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩.,.,(2)动荷载幅值作为静荷载作用时的位移和内力,(3)振幅和动弯矩幅值,振幅,动弯矩幅值,例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩.,.,(4)最大位移和最大弯矩,简支梁的最大位移和最大弯矩均在梁跨中点,跨中重量G产生的静位移:,跨中的最大位移:,跨中重量G产生的静弯矩:,跨中的最大弯矩:,例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩.,.,4.动荷载不作用在质点上时的动计算,振动方程,令,(a),(b),.,则,稳态解同式(12-62),(c),(d),(e),.,（1）、振幅,结论:,仍是位移的动力系数.,.,（2）、动内力幅值,三者同时达到幅值。,根据稳态振动的振幅，算出惯性力。然后，将惯性力幅值和干扰力幅值同时作用在体系上，按静力学计算方法便可求得动内力幅值。,.,例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图。已知：,(a),(b),(2)简支梁的振幅,(c),.,(d),(e),(3)作动弯矩的幅值图,惯性力幅值,动弯矩幅值图,(f),将动荷载幅值F和惯性力幅值I作用在梁上，按静力学方法作出弯矩图-动弯矩幅值图。,例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图。已知：,.,结论对于单自由度体系，当干扰力作用在质量上时，位移的动力系数和内力的动力系数是相同的；当干扰力不作用在质量上时，位移和内力各自的动力系数通常是不同的。对于位移和内力动力系数相同的情况，求结构的最大动力反应时，可将干扰力幅值当作静荷载作用计算结构的位移和内力，然后再乘以动力系数，便可得到稳态振动时结构的最大动位移和最大动内力。对于位移和内力动力系数不同的情况，则要从体系的运动方程出发，先求出稳态振动的位移幅值，再算出惯性力。最后，按静力计算方法求出结构在干扰力幅值和惯性力幅值共同作用下的内力，此即结构的最大动内力。,.,工程实例,1)多层房屋的侧向振动，2)不等高排架的振动，3)块式基础的水平回转振动，4)高耸结构(如烟囱)在地震作用下的振动，5)桥梁的振动，6)拱坝和水闸的振动等，一般均化为多自由度体系计算。,目的,1)计算自振频率，即，。,2)确定振型（振动形式），即，或振型常数r1，r2（仅适用于两个自由度体系）。并讨论振型的特性主振型的正交性。,12-7多自由度体系的自振频率和振型计算,.,方法,1)刚度法根据力的平衡条件建立运动微分方程。,2)柔度法根据位移协调条件建立运动微分方程。,对于多自由度体系自由振动分析一般不考虑阻尼。,.,一、两个自由度体系的自由振动,1.刚度法,(1)运动方程的建立,若不考虑阻尼，取质量m1和m2作隔离体，质点上作用惯性力和弹性恢复力，根据达朗伯原理，可列出平衡方程,.,结构所受的力、与结构的位移、之间应满足刚度方程,是结构的刚度系数,.,可得运动方程,也可用矩阵表示为,或缩写为,式中，为质量矩阵；为加速度列阵；为刚度矩阵；为位移列阵。,.,(2)运动方程的求解,设,1)在振动过程中，两个质点同频率（w）、同相位（a）。,上式所表明的运动具有以下特点：,2)在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但二者的比值始终保持不变，即,常数,结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型或振型。这样的振动称为按振型自振（单频振动，具有不变的振动形式），而实际的多自由度体系的自由振动是多频振动，振动形状随时间而变化，但可化为各个振型振动的叠加。,.,(3)求自振频率wi,将,代入运动方程,得,或,为了要求得A1、A2不全为零的解答，应使其系数行列式为零，即,由此式可确定体系的自振频率wi，因此称频率方程或特征方程。,.,将D展开，整理后，得,由此可以解出w2的两个根，即,由上式可见，w只与体系本身的刚度系数及其质量分布情形有关，而与