平形四边形周长和面积.doc

服务热线：400-888-4653平行四边形（2）平行四边形中有关周长和面积的问题四边形是日常生活中应用较广的一种几何基本图形，平行四边形等特殊四边形的用处更多，平行四边形中有关周长和面积的计算问题是一类常见问题，它主要用到平行四边形“对边相等” 、“对角线互相平分”及“等底等高的平行四边形面积相等”等知识。一、 平行四边形中有关周长的计算方法1、如图，在平行四边形ABCD中，ABCD，CBAD所以，平行四边形ABCD的周长=2两邻边之和2、如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，OAOC，OBOD所以，AOB（或COD或BOC或AOD）的周长都等于两条对角线和的一半与一条边长之和如，AOB的周长= OA+ OB+AB 即，AOB的周长=（AC+BD）+AB二、 平行四边形中有关面积的计算方法1、在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的平行四边形的高这里所说的“底”是相对高而言的平行四边形的面积等于它的底和高的积，即ah其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高，如图（1）要避免发生如图（2）的错误2、如图（1），ab ，若ABCD，四边形ABDC是平行四边形，则AB=CD，所以有结论“夹在两条平行线间的平行线段相等”； 图（2）是其特殊情况GH=EF（1） （2） （3）（注意：必须是“平行线”间的“平行”线段才相等，不能在图（3）中出现写成AB= EF的情况）如图（4），根据“夹在两条平行线间的平行线段相等”，在直线a上任取一点P，PBC的面积都与ABC的面积相等（4）3、在平行四边形中，一条对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形；两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形三、例题讲解例1 平行四边形ABCD的周长等于48，已知AB=2BC，求各边的长解：由平行四边形对边相等，得 AB+BC=24，已知AB=2BC，所以3 BC=24，BC=8，AB=16例2 平行四边形ABCD中，周长等于34，对角线AC、BD交于点O，AOD与AOB的周长的差是10，求各边的长解：平行四边形ABCD中，OAOC，OBODAOD与AOB的周长的差是10，即ADAB=10由平行四边形对边相等，得AD+AB =34解由、组成的二元一次方程组，得AD=22，AB=12例3 平行四边形一内角的平分线与边相交并把这条边分成，的两条线段，求平行四边形的周长分析：题目中没有给出图形，所以有图（1）和图（2）两种情况，解答本题时首先要根据题意画出图形，并结合图形写出条件和结论，再解答。解：在ABCD中，BE平分ABC交AD于E，将AD分成，的两条线段，求ABCD的周长如图（1），当AE=，ED=时，AD=AE+ED=12cm在ABCD中，AEBC，2=3 （1）BE平分ABC ，1=2 1=3 AB=AE=ABCD的周长=2（AD+ AB）=38cm如图（2），当AE=，ED=时，同理可求得AB=AE=，ABCD的周长=2（AD+ AB）=34cm （2）例4 如图，ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AEBD于E，EAD=60，AE=2cm，AC+BD=14cm，求OBC的周长提示：在RtADE中，根据“30角所对直角边等于斜边一般”得ADBC=4 cmOBC的周长=BC+BO+OC= BC+（AC+BD）=11 cm 例5 公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图， AB15，AD12，ACBC，求小路BC、CD、OC的长，并算出绿地的面积提示：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在RtABC中，由勾股定理可得AC的长再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式（注意：平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了）AC=5，平行四边形ABCD面积=60例5变式练习 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，ACBC，BC=4，且四边形ABCD的面积为12，求BD的长分析：BC=4，且四边形ABCD的面积为12，所以AC=3，在RtABC中，由勾股定理可得AB=5过点D作DEBC交BC 延长线于点E，易证四边形ABED是平行四边形，有AD=BC=4，DE=AC=3，所以BE=8在RtBDE中，BD=说明：平行四边形周长或面积的题目，会遇到需要应用勾股定理来求边，要掌握其方法；还有学会添加辅助线例6 （1）如图，如果ab ，那么ABC的面积与DBC的面积相等吗？为什么？（2）如图，ABCD与ABCD有一条公共边AD，BC 与BC在同一直线上，这两个平行四边形的面积相等吗？为什么？分析：相等 理由：等底等高的三角形面积相等；等底等高的平行四边形面积相等例7 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，AE与CF交于点O，连接OB求证：AOB=COB证明：连接BE，BF， 又AE=CF点B到AE、CF的距离相等过点B作BGAE于G，BHFG于H即BG= BHBGOBHOAOB=CO