第三讲：复合材料层合板的刚度与强度分析优秀课件

第三讲层合板的刚度与强度,11,层合板,层合板是指由两层或两层以上的单层板粘合在一起成为整体的结构元件层合板可以由不同材质的单层板构成，也可以由不同纤维铺设方向上相同材质的各向异性单层板构成。,主要内容,层合板的表示方法经典层合板理论单层板的刚度层合板的刚度分析层合板的强度分析,层合板的几何标志,层合板的表示方法,03/902/45/-453S,层合板的表示方法,一般层合板0/45/90/-45/0对称层合板偶数层0/90S奇数层0/45/90S具有连续重复铺层02/90S具有连续正负铺层0/45/90有多个子层合板构成的层合板0/902织物构成的层合板(45)/(0,90)混杂纤维层合板0C/45K/90G夹层板0/90/C5S,层合板分类-按单层板相对于中面的位置,对称层合板：铺设角相同材料相同非对称层合板反对称层合板一般层合板夹芯层合板,经典层合板理论,经典层合板理论的基本假设层合板的应力和应变关系层合板的合力及合力矩,层合板的限制条件,层合板为薄板层合板各单层粘接良好，变形连续整个层合板等厚度,经典层合板的基本假设,直法线假设：等法线假设：平面应力假设：忽略正应力假设：,经典层合板理论,由N层任意铺设的单层板构成取XOY坐标面与中面重合板厚为t,经典层合板理论,板中任意一点的位移分量和可表达为：,经典层合板理论,由直法线和等法线假设：,经典层合板理论,将上面三式分别对积分得到：式中的表示中面的位移分量，并且只是坐标的函数，其中为挠度函数,经典层合板理论,将上面得到的表达式代入几何方程得到：,经典层合板理论,上式可以用矩阵形式来表达：等号右边第一项表示层合板中面应变等号右边第二项表示层合板中面曲率,经典层合板理论,中面的应变为：,中面的曲率为：其中为中面扭曲率,经典层合板理论,第层应力为：虽然沿层合板厚度的应变是线性变化的，但由于层合板每层的可以不同，故应力变化一般不是线性的,经典层合板理论,经典层合板理论-层合板的合力,层合板上的合力及合力矩（都是指单位长度上的力或力矩）,经典层合板理论,合力及合力矩的定义式为：,经典层合板理论,上式中的可由下图确定：,经典层合板理论,由于每个单层的刚度矩阵在单层内不变，因此可以从每一层的积分号中提出：,经典层合板理论,注意到和不是的函数，而是中面值，因此可以从求和记号中移出得到：,经典层合板理论,式中：其中为第层的厚度，是第层中心的坐标值,经典层合板理论,上式中的依次称为拉伸刚度，耦合刚度及弯曲刚度由于耦合刚度的存在，层合板面内内力会引起弯曲变形（弯曲和扭曲），而弯曲内力（弯矩和扭矩）会引起面内变形，此现象被称为拉弯耦合效应,经典层合板理论,层合板的合力及合力矩可用块矩阵表达：式中的为层合板的中面应变列阵，为曲率列阵。上式即为用应变表示内力的一般层合板的物理方程,经典层合板理论,对层合板的物理方程进行矩阵运算得到：式中：,经典层合板理论,上式中的子矩阵分别称为面内柔度矩阵，耦合柔度矩阵和弯曲柔度矩阵。矩阵与矩阵是相互转置的，但未必对称一般层合板的物理关系很复杂，这是由于耦合刚度阵的存在所产生的耦合效应引起，即拉弯耦合，此外，由于的存在产生拉剪耦合，由于的存在产生弯扭耦合,2.单层板的刚度,各向同性单层板特殊正交各向异性单层板一般正交各向异性单层板,单层板的刚度,（1）各向同性单层板各向同性材料有两个独立的弹性常数，各方向的弹性性质相同。设弹性模量和泊松比分别为：根据折减刚度矩阵计算公式,单层板的刚度,将弹性模量和泊松比代入上式中可得：设板厚为，代入下式：,单层板的刚度,得：,单层板的刚度,可得各向同性单层板的内力-应变关系：显然，各向同性单层板无拉弯耦合效应,单层板的刚度,（2）特殊正交各向异性单层板这种材料的自然坐标轴与材料主向一致，折减刚度矩阵中元素的计算结果为：,单层板的刚度,计算拉伸刚度，耦合刚度及弯曲刚度得：,单层板的刚度,内力-应变关系为：这种单层板也无拉弯耦合，但独立的拉伸刚度和弯曲刚度都各增加到4个,单层板的刚度,（3）一般正交各向异性单层板这种单层板的材料主向与自然坐标轴不一致，拉伸刚度，耦合刚度及弯曲刚度为：,单层板的刚度,因此内力-应变关系为：这种单层板也不发生拉弯耦合，但是发生拉剪耦合和弯扭耦合。虽然刚度矩阵是满秩的，但独立的拉伸刚度和弯曲刚度都仍然是4个,3.层合板的刚度分析,对称层合板反对称层合板不对称层合板双向铺设层合板,对称层合板的刚度分析,在几何和材料性能上都对称于中面的层合板称为对称层合板这种层合板的及具有对称性。而耦合刚度的计算公式为：因此对于对称层合板，耦合刚度矩阵为零,对称层合板的刚度分析,由于耦合刚度矩阵为零，可知对称层合板的合力及合力矩为：,对称层合板的刚度分析,（1）各向同性层组成的对称层合板这种层合板的特点是板面内方向具有相同的力学性质，当然不会发生拉剪耦合及弯扭耦合这种层合板对应的内力-应变关系为：,对称层合板的刚度分析,（2）特殊正交各向异性层组成的对称层合板这种层合板由材料主向与坐标轴一致的正交各向异性单层板组成这种层合板可以消除及等刚度。这样如果单层板的厚度，位置及其材料对称于层合板的中面，则弯曲与拉伸之间无耦合效应,对称层合板的刚度分析,这种层合板的第层的刚度系数为：将刚度系数代入与的计算公式，可知与等刚度为零,对称层合板的刚度分析,这类特殊正交各向异性层合板可以整体地视为特殊正交异性单层板。它的合力及合力矩表达式为：,对称层合板的刚度分析,（3）角铺设对称层合板这种层合板是由等厚且材料性能相同的奇数层单层板与坐标轴交替成角对称铺设而成由于这种层合板对称于中面排列，故不存在拉弯耦合效应。但是都存在，即存在拉剪耦合与弯扭耦合,对称层合板的刚度分析,角铺设对称层合板的内力-应变关系为：,反对称层合板的刚度分析,反对称层合板是由偶数层的单层一层一层交错定向而成，例如。这种层合板存在拉弯耦合效应，即：因为即反对称层合板不存在拉剪耦合及弯扭耦合,反对称层合板的刚度分析,反对称层合板合力及合力矩的表达式：,反对称层合板的刚度分析,（1）反对称正交铺设层合板这种层合板是由材料主向与层合板坐标轴相互交错和布置的偶数层正交各向异性单层板组成的，典型反对称层合板的例子可见下页表格,反对称层合板的刚度分析,反对称层合板的刚度分析,计算拉伸刚度和弯曲刚度得到：同理可得：,反对称层合板的刚度分析,计算耦合刚度得到：,反对称层合板的刚度分析,对于反对称正交铺设层合板，结论，以及具有普遍性。考虑到这种层合板没有和。因此它的合力及合力矩表达式为：,反对称层合板的刚度分析,（2）反对称角铺设层合板这种层合板是由在中面一侧与层合板坐标轴成和在另一侧与坐标轴方向成的相应等厚度层所组成,反对称层合板的刚度分析,由于是关于的奇函数，显然有，同理得到因为：而且及是关于的偶函数，所以得到：,反对称层合板的刚度分析,结合以上条件，得到反对称角铺设层合板的合力及合力矩表达式为：,不对称层合板的刚度分析,（1）特殊正交各向异性层组成的层合板特殊正交各向异性层组成的层合板有：因此：所以这种层合板有拉弯耦合效应，但没有拉剪耦合以及弯扭耦合,不对称层合板的刚度分析,这种层合板的合力及合力矩的表达式为：,不对称层合板的刚度分析,（2）一般正交各向异性层组成的层合板这种层合板各单层的排列没有什么规律可言，所以全部的刚度都出现，既存在拉弯耦合又存在拉剪耦合和弯扭耦合合力及合力矩的表达式为：,双向铺设层合板的刚度分析,双向铺设层合板是指层合板的各层铺设同种，同样数量的双向纤维，它们与层合板的轴成及角。,双向铺设层合板的刚度分析,因为及是的奇函数，因此各单层有：由于不全为零，故双向铺设层合板存在拉弯耦合，由于，所以这种层合板没有拉剪耦合与弯扭耦合,双向铺设层合板的刚度分析,双向铺设层合板的合力及合力矩表达式为：,层合板的刚度分析,层合板的刚度分析,层合板的强度分析,层合板的强度分析分为两类：（1）确定层合板所能承受的最大载荷（2）设计承受给定载荷所必须的层合板特性以单层板的强度分析作为基础，并把单层板的强度作为已知因素与金属材料不同，某一单层的破坏未必导致整块层合板的破坏，有时层合板还可以承担更大的载荷，仅是层合板的刚度下降了，从而造成载荷-变形曲线上出现拐点,层合板的强度分析,层合板载荷-变形曲线上的拐点：,层合板的强度分析,（1）层合板各层的应力应变分析,层合板的强度分析,由于层合板只受到面内拉力的作用，所以这是无矩层合板强度问题，此层合板的内力-应变关系为：或写成：式中的可以用柔度矩阵来表示,层合板的强度分析,当时，上式变为：也可以写成：,层合板的强度分析,将应变表达代入下式得到层合板中每一单层的应力：将各单层的应力代入强度准则，可确定任何单层不破坏时的最大值,层合板的强度分析,（2）层合板强度分析实例例：如下图所示的三层正交层合板，里层的厚度是外层的10倍，承受面内拉力作用：,层合板的强度分析,构成层合板的材料是玻璃/环氧，其性能为：层合板的总厚度为，要求确定的极限值,层合板的强度分析,第一步：初始层合板的性能（1）单层板的折减刚度：根据上式可以求得材料的各主向刚度,层合板的强度分析,由于本例是正交铺设层合板，可以直接判断出在自然坐标下的转换折算刚度系数本例的计算结果为：,层合板的强度分析,（2）层合板的拉伸刚度矩阵根据下式：可以求得拉伸刚度矩阵：,层合板的强度分析,（3）层合板拉伸刚度矩阵的逆阵，即对拉伸刚度矩阵求逆得到：,层合板的强度分析,（4）层合板的应变矩阵根据下式：可以求得应变列阵：,层合板的强度分析,（5）各单层板的应力根据公式：可以求得层合板外，内层的应力：这些也是外，内层材料的主向应力,层合板的强度分析,第二步：内外层的破坏载荷将各层应力代入Tsai-Hill破坏准则，分别计算出各单层破坏时的载荷，其中最小的值对应的单层板就是首先破坏的单层本例中内，外层的，且材料主向与自然坐标轴一致，故Tsai-Hill准则简化为：,层合板的强度分析,将第一步中得到的各单层板的应力值代入破坏判别式中，可以得到求破坏载荷的方程式，可以从方程中解出本例中外层：内层：通过比较可断定内层首先发生破坏，破坏载荷为：（下标1表示层合板的第一次降级）,层合板的强度分析,将破坏载荷代入各单层板材料主向应力表达式得到第一次降级时各单层内的应力：从结果中可以看出十分接近横向拉伸强度，故断定内层的破坏是横向拉伸破坏（注意到内层的方向是垂直于纤维方向的）,层合板的强度分析,将第一次降级时的破坏载荷代入下式：得到层合板第一次降级时的应变：这里层合板第一次降级时的破坏载荷就对应于层合板载荷-变形曲线中的第一个拐点值，对应的轴向应变为,层合板的强度分析,第三步：第一次降级后层合板的性能（1）一次降级后各单层板的刚度外层未发生破坏，刚度不变，仍为：,层合板的强度分析,（1）一次降级后各单层的刚度内层虽然在横向（方向）破坏了，但是还能承受纵向（方向）的应力，因此内层的刚度发生变化：,层合板的强度分析,（2）一次降级后层合板的拉伸刚度求得一次降级后层合板的拉伸刚度：,层合板的强度分析,（3）一次降级后层合板拉伸刚度矩阵的逆阵,层合板的强度分析,（4）检查在情况下外层是否破坏首先求外层材料的主向应力：再继续求得内层材料的主向应力：,层合板的强度分析,（4）检查在情况下外层是否破坏将外层应力代入Tsai-Hill准则判别式中，可以验证，在的情况下外层未破坏所以层合板可以继续加载，设增量为：,层合板的强度分析,（5）在载荷增量作用下层合板的应变增量根据下式：可以得到层合板的应变增量：,层合板的强度分析,（6）一次降级后，各单层板的应力增量参考（4）中求出的外层，内层应力表达式可以得到各单层的应力增量：,层合板的强度分析,（7）一次降级后，未破坏的外层应力在第一次降级时外层应力的基础上加上应力增量就得到了未破坏的外层应力：,层合板的强度分析,第四步：确定外层发生破坏时的首先将刚才得到的未破坏时外层应力表达式代入Tsai-Hill破坏准则中可以解得：将解回代入外层应力表达式中可以得到二次降级时的外层应力：,层合板的强度分析,从二次降级时外层应力的值中可以看出很接近，而尚远小于，所以可以断定外层的破坏是横向拉伸破坏（方向）将解代入层合板应变增量表达式中可以得到第二次降级时的应变增量：与第一次的应变求和得到二次降级后总应变：,层合板的强度分析,根据总应变值得到相应的总载荷值：在第二次降级时，外层沿横向(方向)，内层也沿横向（方向）破坏。但是层合板仍未破坏，因为外层沿方向，内层沿方向还可以承载。不过对来说，内层已经不起作用了。这时增加的载荷全由外层来承受,层合板的强度分析,第五步：第二次降级后层合板的性能（1）二次降级后各单层的刚度此时仅有的非零刚度为：（2）二次降级后层合板的拉伸刚度计算得到：,层合板的强度分析,（3）二次降级后层合板拉伸刚度的逆阵对刚度矩阵求逆得到：（4）二次降级后，在内力增量作用下的应变增量由计算得到：,层合板的强度分析,（5）二次降级后外层的应力增量参考下式：可以得到应力增量：,层合板的强度分析,第六步：确定外层发生纵向（向）断裂时的内力增量，并确定极限强度因为外层横向（向）已经破坏，不能承受应力，所以令，外层成为单向应力状态由于：所以：,层合板的强度分析,当应力值达到时，外层纵向断裂，即：当载荷增量达到上式的给定值时，外层纵向发生破坏，从而层合板破坏，此时相应的应变增量为：,层合板的强度分析,极限载荷为：破坏时的纵向总应变为：,层合板的强度分析,现将本例中的主要结果列入下表：,层合板的强度分析,本例的载荷-