一道习题的变式与反思.doc

探 索 角例1 如图1所示，、分别是中和的平分线。图 1试说明。分析：可以先在中，得到，然后再将，代入，就可以用、表示，最后用代换，从而确定与的关系。解： 、分别平分和， ，在中， ，在中， 。图 2说明：（1）此题中与之间的关系并不明朗，解题过程中，要充分利用已知条件，步步转化，最终将与之间的间接关系转化为直接关系。（2）此题另一关键是将与看成一个整体进行变形，这种整体思想也是数学中基本思想方法。变式一：如图2 所示，、分别是的两外角平分线，试说明。图 3变式二：如图3所示，则；，则与是什么关系呢？例2 如图4所示，已知，请解答下列问题：（1）图（1）中、之间具有什么关系？并说明理由。（2）图（2）中的5个角具有什么关系？（3）图（3）中的7个角具有什么关系？你能得出什么一般性质结论。图 4（1）（2）（3）分析：（1）由，不能直接得到、之间的关系，因此需要添加辅助线，过点作，就可以运用两直线平行的性质。（2）可类似（1）的思路进行解答。（3）分析（1）、（2）两小题的结果，寻找一般规律，再归纳出一般结论。图 5解：（1）如图5所示，过点作， ， , ， ，即 （2）图4（2）5个角的关系是，同样可用作平行线的方法说明理由（请同学们自已动手解决）。（3）图4（3）中7个角的关系是。由此可得一般性结论：奇数号角之和等于偶数数号之和。例3 如图6所示，在中，平分，平分的外角，与交于点，（1），分别求的度数。（2）根据以上求解的过程，你发现与之间有什么关系？（3）如图7所示，在中，延长到，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是多少？图 6请同学们自己思考解决图 6参考答案：变式二：例3 （1）；。（2）。（3）。由一道习题所想到的解题是创造性的思维活动，因此，同学们不要小看每一个解题过程，在解答数学习题的时候要充分挖掘习题的可变性，从不同的层次、角度思考进行一题多变，这样对拓宽同学们的思维视野，培养大家学习数学的积极性和创造性、发展智力是大有裨益的例如：题目：已知，如图1，ABC与ACB的角平分线相交于点O，过O做DEBC交AB于D，交AC于E.求证：（1）BOC+A；（2）DE=BD+CE.解析：(1)因为，OB平分ABC，所以，2=ABC；123456ADBCEO图1因为，OC分ACB，所以，4=ACB .所以，2+4=ABC+ACB =（ABC+ACB） =（A）=A；BOC=（2+4）=（A）=+A.（2）因为，OB平分ABC，所以，1=2，因为，DEBC，所以，2=3，因此，1=3，所以，DB=DO.同理，EC=EO.所以，DE=DO+OE=BD+CE.解答完毕，我们不要草草收兵，要进行解题后的再反思，这样做可以提高大家的数学水平反思1：这里的BOC是ABC两内角平分线的交角，它和A的关系是BOC=+A如果是ABC两条外平分线的交角，还是否有这种关系呢？如果是ABC的一条内角平分线与一条外角平分线的交角，那么这种关系还是否成立呢？我们不妨简单证明一下：如图2、3中BOC与A的关系并不满足ABCEO12图2ABCDO12图3BOC=+A，图2中，BOC与A的关系是BOC=A，图3中，BOC与A的关系是BOC=A理由如下：如图2，因为，DBC是ABC的外角，所以，DBC=A+ACB，因为，ECB是ABC的外角，所以，ECB=A+ABC，DBC+ECB=A+ACB+A+ABC=A，因为，OB平分DBC，所以，DBC=21，因为，OC分ECB，所以，ECB=22，所以，21+22=A，所以，1+2=+A，BOC=（1+2）=（+A）=A（4）如图3，因为，ACD是ABC的外角，所以，ACD=A+ABC，ACDABC=A因为，OB平分ABC，ABC =21，OC分ACD，所以，ACD =22所以，2221=A，所以，21=A因为，2是BOC的外角，所以，2=1+BOC，所以，21=BOC，所以，BOC=A反思2：12345ABCEDEO图5如果将题目中的两条内角平分线改成两条外角平分线，或者改成一条内角平分线与一条外角平分线，其他的条件不变，那么DE、BD、CE这三条线段之间的关系是否还成立呢？如图4和5.123456ABCDOE图4观察图4，这种关系还是成立的，即,图5这种关系是不成立的，但图5中它们之间的关系是,理由如下：（5）如图4，因为OB平分DBC，所以，1=2，因为，DEBC，所以，2=3，所以，1=3，所以，DB=DO,同理可证，CE=OE所以，DE=DO+OE=DB+CE.（6）如图5因为，OB平分ABC，所以，1=2，因为，DEBC，所以，2=3，因此，1=3，所以，DB=DO.因为，OC分ACF，所以，4=5，因为，DEBC，所以，EOC=5，所以，4=EOC，所以，CE=EO，所以，数学的学习离不