09-计算机的运算方法04

,系统总线,存储器,运算器,控制器,接口与通信,输入/输出设备,林楠办公室：211办公电话子邮件：linnan,计算机组成原理,第六章计算机的运算方法,第六章计算机的运算方法,3、定点乘法运算3.1、原码一位乘法3.2、补码一位乘法（重点：布斯乘法）3.3、补码两位乘法3.4、阵列乘法器,方法：充当计算机！严格按照运算法则去做，不加思考，态度认真，保证结果正确。,4、定点除法运算4.1、原码一位除法4.2、补码一位除法4.3、阵列除法器5、浮点四则运算5.1、浮点加减运算对阶、执行加减、规格化、舍入、判溢出5.2、浮点乘除运算阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入、判溢出,第六章计算机的运算方法,原码一位除法基本上是从手算演变过来，符号位单独处理。两个原码表示的数相除运算规则：商的符号位：两数的符号相异或商的数值部分：两数的绝对值相除。运算方法与普通的十进制小数除法相类似，设n位被乘数X和乘数Y用定点小数表示（定点整数同样）被除数：X原=Xf.Xn-1X1X0除数：Y原=Yf.Yn-1Y1Y0商Q原=(XfYf)+(0.Xn-1X1X0)/(0.Yn-1Y1Y0)于是原码与原码相除就变成如何进行两个正数相除的问题了。两种除法：恢复余数法不恢复余数法（加减交替法）,4.1、原码一位除法,两个数相除，上商时，人会心算，一看就知道够不够减。够减商1，不够减商0。但机器不会，必须先作减法。若余数为正，才知道够减；若余数为负，才知道不够减。不够减时，必须恢复原来的余数。顾名思义恢复余数法。,4.1、原码一位除法,1）恢复余数法,被除数X=0.1011除数Y=0.1101求X/Y。商精确到小数点后四位。手算方法计算步骤如下：,4.1、原码一位除法,0.11010.11010.1011-0.11011.1110+0.11010.10110.10110-0.011010.010010.010010-0.0011010.0001010.0001010-0.00011011.1111101+0.00011010.00010100.00010100-0.000011010.00000111,-Y得负数，不够减，商0,X低位补0-2-1Y得正数，够减，商1X低位补0,-2-2Y得正数，够减，商1X低位补0,-2-3Y得负数，不够减，商0+2-3Y，恢复余数,-2-4Y得正数，够减，商1,+Y，恢复余数,X低位补0,4.1、原码一位除法,1）恢复余数法,1、符号单独处理，Qf=(XfYf)，取绝对值相除；2、作减法，若不溢出，运算开始；3、-Y，若余数R为正（够减），商1，左移一位；-Y，若余数R为负（不够减），商0，恢复余数，左移一位；4、重复n步；5、若最后一步余数为负（不够减），应恢复余数（+Y补）。右移除数Y，可以通过左移余数来替代，左移出界的余数的高位都是无用的零，对运算不会产生任何影响。,如果，余数一共被左移了n次，最后需要校正。最终的余数再右移n次。,寄存器A存放被除数X=0.1011，后来可存放余数，累次参加运算。寄存器B存放除数Y=0.1101寄存器C存放商Q=X/Y另外设置计数器CR控制循环次数。X原-Y原运算可以用X补+-Y补取代；Y补=0.1101-Y补=1.0011,4.1、原码一位除法,分析：参加运算的数X,Y都是正数，正数的原码与补码表示相同。,被除数X（余数）商操作0.101100000+1.0011-Y（+-Y补）1.111000000负数：不够减，商0+0.1101+Y恢复余数，（+Y补）0.101100000余数和商同时左移一位1.011000000+1.0011-Y（+-Y补）0.100100001正数：够减，商11.001000010余数和商同时左移一位+1.0011-Y（+-Y补）0.010100011正数：够减，商10.101000110余数和商同时左移一位+1.0011-Y（+-Y补）1.110100110负数：不够减，商0+0.1101+Y恢复余数，（+Y补）0.101000110余数和商同时左移一位1.010001100+1.0011-Y（+-Y补）0.011101101正数：够减，商1,余数再右移四位得正确结果:0.00000111。,2）不恢复余数法（加减交替法）加减交替法是对恢复余数除法的一种修正。当余数为负时，不恢复，继续求下一位商，但用加上除数(+Y)的办法来取代(-Y)操作，其他操作不变。加减交替法的规则如下：余数为正，商1，左移一位，减除数（-Y）；余数为负，商0，左移一位，加除数（+Y）。此方法不用恢复余数，所以又叫不恢复余数法。但若最后一次上商为0，则仍需恢复余数（+Y补）。,4.1、原码一位除法,被除数（余数）商操作0.101100000+1.0011-Y（+-Y补）1.111000000负数：商01.110000000余数和商同时左移一位+0.1101+Y0.100100001正数：商11.001000010余数和商同时左移一位+1.0011-Y（+-Y补）0.010100011正数：商10.101000110余数和商同时左移一位+1.0011-Y（+-Y补）1.110100110负数：商01.101001100余数和商同时左移一位+0.1101+Y0.011101101正数：商1,4.1、原码一位除法,余数再右移四位得正确结果:0.00000111。,CPA,2.3、补码定点加法器,+X,-Y,设开关电路负数不送回,思考问题：恢复余数法在电路上实现其实更简单！,4、定点除法运算4.1、原码一位除法4.2、补码一位除法4.3、阵列除法器5、浮点四则运算5.1、浮点加减运算对阶、执行加减、规格化、舍入、判溢出5.2、浮点乘除运算阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入、判溢出,第六章计算机的运算方法,4.2、补码一位除法,补码加减交替法,法则如下：(Ri补为余数，数值部分共n位),1)比较2)上商3)求新余数,1)比较2)上商3)求新余数,由上式化简,方法：列表格,4）商的符号两种常见的做法：方法一：第一步比较XY同号做X补Y补；异号做X补+Y补；方法二：一开始就将被除数X当作初始余数R0，R0与Y同号商1，异号商0，得的假商最后求反进行校正。5）商的校正对于方法一，商符正确，商末位恒置1。对于方法二，商符取反，商末位恒置1。,4.2、补码一位除法,思考：由于方法一开始比较被除数与除数，后来比较余数与除数，控制部署不一样。所以采用方法二，硬件电路比较好实现，全部是比较余数与除数，便于计算机控制。,4.2、补码一位除法,被除数X（余数R）商Q操作0.101100000+1.0011XY同号：+-Y补1.111000000RY异号：商01.110000000余数R和商同时左移一位+0.1101+Y补0.100100001RY同号：商11.001000010余数R和商同时左移一位+1.0011+-Y补0.010100011RY同号：商10.101000110余数R和商同时左移一位+1.0011+-Y补1.110100110RY异号：商01.101001100余数R和商同时左移一位+0.1101+Y补0.011101101商的末位恒置1,使用方法一：X补=0.1011Y补=0.1101-Y补=1.0011,余数再右移四位得正确结果，前面补符号位。,4.2、补码一位除法,被除数X（余数R）商Q操作0.101100001RY同号：商11.011000010余数R和商同时左移一位+1.0011+-Y补0.100100011RY同号：商11.001000110余数R和商同时左移一位+1.0011+-Y补0.010100111RY同号：商10.101001110余数R和商同时左移一位+1.0011+-Y补1.110101110RY异号：商01.101011100余数R和商同时左移一位+0.1101+Y补0.01111110001101校正：商符取反，商末位置1,使用方法二：X补=0.1011Y补=0.1101-Y补=1.0011,余数再右移四位得正确结果，前面补符号位。,4.2、补码一位除法,被除数X（余数R）商Q操作0.010000000RY异号：商00.100000000余数R和商同时左移一位+1.1000+Y补0.000000000RY异号：商00.000000000余数R和商同时左移一位+1.1000+Y补1.100000001RY同号：商11.000000010余数R和商同时左移一位+0.1000+-Y补1.100000011RY同号：商11.000000110余数R和商同时左移一位+0.1000+-Y补1.10000011010111校正：商符取反，商末位置1,使用方法二：X补=0.0100Y补=1.1000-Y补=0.1000,余数再右移四位得正确结果:1.11111000,4、定点除法运算4.1、原码一位除法4.2、补码一位除法4.3、阵列除法器5、浮点四则运算5.1、浮点加减运算对阶、执行加减、规格化、舍入、判溢出5.2、浮点乘除运算阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入、判溢出,第六章计算机的运算方法,和阵列乘法器相比，阵列除法器也是一种并行运算部件，采用大规模集成电路制造。它比早期的串行除法器的控制线路少，并提供较高的运算速度。,4.3、阵列除法器P297,可控加/减法单元(CAS),4、定点除法运算4.1、原码一位除法4.2、补码一位除法4.3、阵列除法器5、浮点四则运算5.1、浮点加减运算对阶、执行加减、规格化、舍入、判溢出5.2、浮点乘除运算阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入、判溢出,第六章计算机的运算方法,浮点数的表示形式(以2为底)：X=S2j=定点小数*2定点整数S尾数，定点小数，用补码表示，决定数的有效精度。j阶码，定点整数，用移码或补码表示，决定数的表示范围。2基数,5、浮点四则运算,IEEE754国际标准：符号位数阶码j位数尾数S位数总位数短浮点数182332长浮点数1115264临时浮点数1156480,0.8125*105,浮点数的阶码为什么用移码表示呢？1）正数的移码大于负数的移码：X移-X移原码、补码、反码都不具备。2）如果：XY则X移Y移所以，在浮点运算中，可以方便地通过比较移码的大小来实现阶码真值大小的比较，其他三种码都不具备这一特性。,移码：补码符号位取反（1表示正号，0表示负号）,数据0有唯一的编码，即+0移=-0移=10000。,5、浮点四则运算,移码运算特点：1）最高位符号位，1表示正号，0表示负号。如果是双符号位，最高位保持0：01正数，00负数。溢出判断：最高位为1，10上溢，11下溢。2）在计算机中，移码只执行加减法运算，且运算结果+2n修正；（即结果的符号位取反）得到X移。例如：X=+1010Y=+0011,则X移=11010Y移=10011X移+Y移=11010+10011=01101,修正：X+Y移=11101运算法则：X+Y移=X移+Y补X-Y移=X移+-Y补,5、浮点四则运算,X+Y移=X移+Y补=11010+00011=11101,4、定点除法运算4.1、原码一位除法4.2、补码一位除法4.3、阵列除法器5、浮点四则运算5.1、浮点加减运算对阶、执行加减、规格化、舍入、判溢出5.2、浮点乘除运算阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入、判溢出,第六章计算机的运算方法,X=104=01101000=0.1101000*27=00111；0.1101000Y=40=00101000=0.1010000*26=00110；0.1010000,5.1、浮点加减运算,思考1：X和Y的尾数可以直接相加减吗？,思考2：对齐阶码后，尾数才能进行加减运算。阶码大的向小的看齐？还是小的向大的看齐？,思考3：对齐阶码是不是等于小数点对齐了？,思考4：对齐阶码后，尾数应该做什么相应的改变？,Y=40=00101000=0.01010000*27=00111；0.01010000,800=0.8103=0.8103=0.08104+9000=0.9104=90103=0.91049800=0.98104,设有两浮点数X，Y，其中：X=SX*2jXY=SY*2jYXY运算执行以下五步：1)阶码对齐（对大阶）：使两数的阶码值相等，对齐小数点。求阶码差j，j0时，小阶码的尾数右移j位：阶码+j，2)尾数相加减：两尾数进行加/减运算。3)尾数规格化：尾数符号01或10：尾数溢出。右规：尾数（带符号）右移1位，前补符号位。同时阶码+1。尾数符号00或11：尾数不溢出。但如符号位和最高数值位相同:000或111左规：尾数数值部分左移直到最高数值位与符号位不同为止（001，110）。同时阶码减去左移位数。,5.1、浮点加减运算,4)尾数舍入（处理多余位）在执行右规或对阶时，尾数低位上的数值会移掉，使数值的精度受到影响，常用“0”舍“1”入法。（三种舍去法：恒舍去，末位恒置1，0舍1入；一般取其精度受影响最小的方法：0舍1入）5)阶码判溢出若阶码符号00或11，不溢出。若阶码符号10为下溢，置运算结果为零，若阶码符号01为上溢，置溢出标志。,5.1、浮点加减运算,X=011100.1101000jXSXY=011000.1010000jYSY,SYjY+1,SXjX+1,SXjX+1,No,No,Yes,jX=jY？,SX+-SYSXjX(orjY)jX,Xf1Xf2=1,Xf1Xf2X1+Xf1Xf2X1=1?,SXjX-1,输出,Yes,Yes,No,3）尾数规格化,00.1101000SX+00.0101000SY01.0010000右规：011100.10010000,左规,右规,2）尾数加减,1）阶码对齐,4）尾数舍入5）阶码判溢出,jXjY？,No,Yes,例:已知X=0.11011011*2010,Y=-0.10101100*2100求X+Y解:阶码对齐：jX补=000010jY补=000100-jY补=111100求阶差j=jX补+-jY补=000010+111100=111110（-2）X的阶码小：X阶码+2（jX补=jY补=000100）X的尾数右移2位，前面补符号位SX补=000011011011（此时保留右移数据，不丢不舍）尾数相加：SX补=SX补+SY补=000011011011+1101010100=111000101011尾数规格化：左规:数值位左移1位=11000101011阶码-1（jX补=000011）尾数舍入：舍去的附加位最高位为1，结果最低位+1：Sx补=1100010110S=-0.11101010阶码判溢出：阶码符号为00，不溢出。最终结果为：X+Y=-0.11101010*2011,实际运算时，先确定位数！（阶码、尾数最好都取双符号位参加运算。）假设机器字长16位，采用浮点表示数，其中阶符2位，阶码4位，尾符2位，尾数8位，都用补码表示。,4、定点除法运算4.1、原码一位除法4.2、补码一位除法4.3、阵列除法器5、浮点四则运算5.1、浮点加减运算对阶、执行加减、规格化、舍入、判溢出5.2、浮点乘除运算阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入、判溢出,第六章计算机的运算方法,X=SX2jXY=SY2jYX*Y=（SX*SY）2jX+jYX/Y=（SX/SY）2jX-jY,5.2、浮点乘除运算,1）阶码加减：乘法：jX+jY，除法：jX-jY2）尾数乘除：乘法：SX*S