素材：2012高中数学备课参考数学教学几种类型的方程的解法.doc

2数学教学 29年第12期几种类型的方程的解法 0561河北经贸大学数学与统计学学院王亚辉 0547河北石家庄铁道学院数理系王亚红文【1】根据俄罗斯中学11年级的数学教材代数与数学分析初步的内容，对近几年俄罗斯全国统考试题、训练题及大学入学试题中的几例解方程题目作出了论述严谨而简洁的解答本文从中摘译几例，供数学教师参考首先说明，每套统考题或训练题均分为三组A、B、C，其中C组综合性较强请见下述各例 1应用公式例1 (C2，全国统一考试，28年训练题)解方2+)2+：()程(x1+1101解：方程(1)的所有的根包含在满足不等式竺0的的集合中，也就是包含在集合 11 M=一一言I 0+，U(，)厶J1中=一去I=(，)在集合Ml 一，和 0+上解方程(1)在集合Mi上，显然一 0，由于一、一：21(x+)因此，方程(1)在集合M1上等价于方程 x(2x+1)一2vx(2x+1)+1=0，(x)=0(也即(Jx2+1一1 -2)方程(2)在上等价于 xx(2x+1)=1，解得Xl=-1，X2=去，Xl而X2 M1所以方程有唯一的根 1在M2上，由于方程(1)的左边各项均大于0，因此在集合上，方程(1)无根所以原方程只有一个根Xl=一1 2应用非负函数设方程F(x)=ox于函数F()的定义域中的z，F(x)是某些非负函数之和： Y(x)=fl()+f2()+一+，n()那么，方程F(x)=0等价于方程组 rfl()=0， 1I()0-=， 【，札()=0例2 (B7，全国统一考试，28年)解方程 25x2 20x+ 6 =T57(一s)(+rxs)co解：将原方程变形为 (5一2)2+COS25x：0 (3)因为(3)的左边是两个非负函数之和( R)，因此，方程(3)等价于方程组 J，5 2=0， c。s =o，方程组中的第1个方程有唯一的根Xl=这个根也适合第2个方程所以原方程有唯一的根1一： 0例3 (C2，全国统一考试，25年)解方程 1n。(23一9)+、二 =0解：因为在方程左边的函数的定义域中的每个，函数厂(z)=in x。一3x一9)与9(z)= x3Sx8均是非负的，故方程等价于方程组f。一3x一9=1， I 08x一8=0方程组中的第1个方程有两个根 1=一2，X2= 5 l满足第2个方程，而 2不满足所以原方程仅有一个根371= -2 3应用函数的有界性设函数f()9的定义域的公共部分是x与I()M，对于每个zM，不等式I厂()A与g(x)，那么方程，()=-等价其中A为某一数9()于方程组I，= 9()=A例4解方程29年第12期数学教学 12-45 4+ cos2T157rx= 解：设f(x)=Ji6一(5x+2)。与9(x)= 4+o21,-)J)夕 对于每个cs_5nx的定义域为D(厂n()，xD()J)9，6一(x)fn()有不等式415+2。 4， o217x4N4+cs5r因此原方程等价于方程组 fxi6一(5x+2)=4，一(4) l4CS5x45+O21=()方程(4)有唯一根 l：一；，它也满足方程 f(5)，所以原方程有唯一根3：1=一例5 (26年莫斯科大学机械系入学试题)解方程I12sinx+cosxI+2sin +l=cos2x解：原方程变形为 l12sinx+COSzI(1 2sin +COSX1=COS2X一2一COS应用余弦的倍角公式，上述方程可变形为 IsnO一( sn+CS)12ix+CSI12iO一 (兰)lcs)一sc+ox对于每个R，有f12sin +COSl一(1 2sin +COS)0，而一 2(墨一sc+ox)1cs)。因此方程(6)等价于方程组 f-sn+ox一12ixcs)02ixcs(sn+ox=， 3 cosx)(1+cosx 方程组的第2个方程的解集为南lXk=丌+ (上接第122页) 参考文献1】Fauvel，JGray,J eHistory Mathematics：A ReaderHampshire：Macmil 1anEducation，1987 f2Cajori，FAHistoryofMathematical Notations(VO11)LaSae：TheOpenCourt Publsnay)18ihigCompn92 I1eShynCetoh：ww3Thcoeocinpwscoeocincrmahhm#10hyncetoon tt89f4fRobson，EMathematicalcuneiform tabletsin theAshmoleanMuseum，Oxford 27rk，Z)，对于每个也满足第1个方程于是，原方程的解集为kxr7kkz)xlk=7+2r， 4应用函数的增、减性设函数f(x)的定义域为D(，)，函数9(x)的定义域为D(9)，在集合D(f)nD(g)上，f(x)是增函数，9(x)是减函数那么方程i(x)=9(x)的根不多于1个例6 (B6，全国统一考试，26年)解方程 (02)计 =x+5x解：设f(x)=(02)蚪，g(x)=、35+5x，两个函数的定义域的公共部分是区间D(f)A D(g)=【一7，+)，在这个区间上，f(x)是减函数，而9(x)是增函数，因此，原方程的根不多于1个因为f(-2)：9(-2)=5因此原方程有唯一的根x=一2例7解方程2=1一、一1解：设厂()=2，9()=1一二_r，在集合M =D(f)nD(g)=fl，+)上，f(x)是增函数，而9(x)是减函数，因此，如果原方程有根，那么只能有1个但是，在集合M =Il，+)上，对于每个M，均有f(x)f(1)=2；g(z) 9(1)=1可见，对于每个M，有f(x) 9()即没有任何 0，使得f(xo)=9(x0)所以原方程无根参考文献 1】 T丌BMK，B4Hoao山cI1HA6， 05 yHc5HHKH oPHHMFY KOIc JeAjlre6Pa H HaqaJia MaTOMaTHtIecKOrO AnaJI1Kjaa ecH3a兀只1 IccMaTMaTHlaBKole，2932835 SCIAMVS，2004，5：365【5Friberg，JUnexpectedLinksbetwn EgyptianandBabylonianMathematicsSin gaoe_rdSin2054pr：W0lcetfc01 2 f61lrctHMahmaia,toHipeh，V tetclMer logicalandChronologicalTabletsfrom the TelirrfNiprPhldlhampeLbayopu iae