浅谈对初等数学建模的探究新课标人教

浅谈对初等数学建模的探究,什么是数学建模数学建模的一般步骤在教学中如何引导学生建立数学模型对数学建模的一点认识数学建模教学建议,目录,中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中数学课程标准中明确指出：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。”,什么是数学建模,“数学建模是运用数学思想方法和知识解决实际问题的过程”。高中数学课程标准数学建模的分类：广义地说，一切数学概念、数学理论体系、方程式和算法系统都可以成为数学模型，各种数学分支也可以看作数学模型。,从狭义的含义出发，包括以下三个说法：,数学模型是解决实际问题是所用的一种数学框架。数学模型是指对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据其特有的内在规律作出一些必要的简化假设，并运用适当的数学工具得到的一个数学结构。数学模型不同于一般的模型，它是用数学语言模拟现实的一种模型，即把一个实际问题中某些事物的主要特征、主要关系抽象成数学语言，近似地反映客观事物的内在联系与变化过程。,按照不同的分类标准，数学模型有如下分类：,按模型的应用领域来分，可分为：人口模型，交通模型，环境模型，生态模型，水资源模型，城市规划模型，生产过程模型等。按建立模型所采用的方法分，可分为：初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型等。还可以按模型的目的来分和对模型结构和参数的了解程度来分。（从略）,数学建模的一般步骤,准备阶段：对所要解决的问题，首先了解其实际背景，明确问题的实际意义，然后再用数学语言来描述问题。这样做可以明确建模目的，必要时还需亲自设计试验，以获取原始数据资料。假设化简：明确了问题以后，根据对象的特征、建模目的，进一步对问题作必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。,建模：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻化各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构，即建立数学模型。求解：利用获取的数据资料，求出解答，并对模型中所有参数作出分析。检验：将求出的参数代回模型中，对模拟结果与实际情形相比较，以此验证模型的准确性。应用：对建立的数学模型给出其适用范围。,在教学中如何引导学生建立数学模型,函数模型数列模型规划模型计数与初等概率模型,函数模型,用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系（数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。,正比例、反比例函数问题,例1：某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是_。,分析：欲求货物数x与按新价让利总额y之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。若设新价为b，则售价为b（120%），因为原价为a，所以进价为a（125）,解：依题意，有化简得即应填：,一次函数问题,例2：某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的路x（km）表示为时间t（h）的函数，并画出函数的图像。,分析：根据路程速度时间，可得出路程x和时间t得函数关系式x（t）；同样，可列出的关系式。要注意是一个矢量，从B地返回时速度为负值，重点应注意如何画这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。,解：汽车离开A地的距离xkm与时间th之间的关系式是：它的图像如下：x(km)（2.5，150）（3.5，150）（6.5，0）t(h),速度km/h与时间th的函数关系式是：它的图像如下：v(km/h)t(h),二次函数问题,例3：有L米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等小矩形组成的矩形，试问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体标出窗框面积的最大值。,解：设小矩形长为x，宽为y，则由图形条件可得：要使窗所通过的光线最多，即要窗框面积最大，则：,当时即：（实际上当时1：1），此时窗框面积S有最大值：,可见，一般的设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其它相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，也就是建立数学模型。,数列模型,等比数列的递推公式是：数列模型有增长率问题和银行中的储蓄与贷款问题。在高一年级教材中就有这类数学问题，下面以一个例题来分析银行中的数学建模问题。,例4：某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息，如果贷款10000元，两年还清，月利率为0.4575，那么每月应还多少钱呢？,分析与假设：按照规定，偿还贷款既要偿还本金，还要支付利息。在上述问题中，到贷款两年（即24个月）付清时，10000元贷款的本金与它的利息之和是多少呢？引导学生通过填表来回答：,设每月还x元，各月所付款到贷款全部付清时也会产生利息（同样按月以复利计算），每月所付款额与它的利息之和是多少呢？又引导学生通过填表来回答：,元,建立模型教师提问：到期偿还贷款意味着什么？你能根据1.2中的结果计算每月所付的款额么？通过对例子的分析，与学生交流使学生认识到：到期偿还贷款的含义即各月所付款连同到贷款付清时所生利息之和，等于贷款本金及到贷款付清时的利息之和，计算每月应付款额。也就是说：,可以发现，上述等式是一个关于x的一次方程，且等号左边括号内是一个首项为1，公比为1.004575的等比数列的前24项的和，于是：解之得即每月应还440.91元。由此例，引导学生探究，建立模型。,提出问题：如果采用上述分期付款方式贷款a元，m个月将款全部付清，月利率为r，那么每月付款款额的计算公式是什么？显然问题转化为建立关于x的方程。设采用分期付款方式贷a元，m个月将款全部付清，月利率为r，每月付款x元，那么：把右边求和，得所以：万元,规划模型,线性规划模型可应用于许多实际问题中，从解决技术问题最优设计到国民经济各个领域以及军事领域和管理决策领域，线性规划模型都发挥着重要的作用，它是现代科学管理的一种重要方法和手段。线性规划模型：模型的变量受到线性方程或线性不等式的限制，在限制条件下去求一个线性函数的最大值或最小值。,建立线性规划模型的步骤,设立决策变量：如同列方程解应用题一样，要建立数学模型，必须首先设未知数即未知变量，由于这些变量取一定的数值对应某一决策方案，故称之为决策变量。在线性规划模型中，设立决策变量是至关重要的，因为只有明确了决策变量，才有可能将决策目标限制条件数学化。,明确决策目标：在解决实际问题时往往会有一些目标，这些目标通常是成本最小或利润、产值最大之类的最值问题，我们称为叫目标函数。寻找限制条件：一些生产问题常常受到客观条件的限制，必须找出这些约束条件，才能构造出符合实际要求的模型。,例5：某化工厂生产甲、乙两种产品，根据市场需求，每种产品月产量不得少于15吨，已知生产甲种产品1吨，需要劳动力90个，用电4千瓦；生产乙种产品1吨，需要劳动力300个，用电5千瓦，甲产品每吨产值7万元，乙产品每吨产值12万元。全厂每月劳动力仅为9000个，用电量不得超过200千瓦，问如何安排才能取得最高产值。,解：上述问题描述得十分简洁，因此此题重点应放在“如何建立模型”，应有三个步骤：设立决策变量：在此题中，设甲、乙产品每月分别生产x吨、y吨，这就是本题的决策变量。明确决策目标：此题中的决策目标是使总产值最高，所以产值函数z就是目标函数，它可以表示为：；决策目标就是求函数的最大值，简记为：,寻找限制条件：此题如甲、乙两种产品的生产数量x、y受到诸如劳动力、用电量等的限制，因此x、y应满足下列限制条件：,即：上述模型即被称为线性规划模型。,总之，线性规划模型中有三个不可缺少的要素：设立决策变量、明确决策目标、寻找限制条件。设立决策变量是关键，它直接关系到模型构成的成败；目标通常为求一个函数的最大值或最小值；在寻找限制条件时，必须同时考虑主客观条件，而且往往决策变量均为非负数。从这三个要素出发，就能方便地建立线性规划模型。,计数与初等概率模型,分类计数与分步计数是计数的两个基本原理，其应用十分广泛，生活中的计数问题随处可见。排列、组合式有关计算完成某项工作的方法总数的重要概念，概率则是研究现实世界中某些事件发生的可能性大小的一门学问。,古典概率不仅要求基本实践的出现具有等可能性，而且要求样本空间为有限集，但实际问题中却经常会碰到无限样本空间的情形，对于无限样本空间的情形，常可转化为几何概率来解决。,例6：将n个球随机地放入n个盒子中去，求每个盒子恰有一个球的概率。分析与求解：因为每一个球都可以放进n个盒子中的任一个盒子，共有n种不同的放法，n个球放进n个盒子就有nnn=种不同的放法，而每种放法就是样本空间中的一个元素，所以样本空间中元素的总数为个。现在来求每个盒子恰有一个球时，球的不同放法的种数。,第一个球可以放进n个盒子之一，有n种放法；第二个球只能放进余下的（n-1）个盒子之一，有（n-1）种放法，最后一个球只可以放进唯一余下的盒子，所以n个球放进n个盒子中要使每个盒子中都恰有一个球，共有种不同的放法，因而所求得概率为：类似地，我们容易解决如下生日问题的概率：参加某次集合的n（n365）个人中没有两个人生日相同的概率为：,几何概率所描述的随机试验满足：,试验的样本空间是一个可度量的几何区域（这个区域可以是一维、二维甚至n维）；试验中每个基本事件发生的可能性都一样，即样本点落入某一个可度量的子集A的可能性与A的几何测度成正比，而与A的形状及位置无关。如下面的例子“会面问题”是几何概率的典型例子。,例7：两位网友相约见面，约定在下午4:00到5:00之间在某一街角相会，他们约好当其中一人先到后，一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则离去，试问这两位朋友能相遇的概率为多少？（假定他们到达约定地点的时间是随机的，且都在约定的一小时内）,解：以x、y分别表示两人到达的时刻，则两人相遇必须满足下列条件：xy20，两人到达时刻的所有可能结果可用边长为60的正方形区域上的任意点（x，y）表示，该正方形上的所有点的集合构成了样本空间。如下图的阴影部分（满足不等式xy20的点的集合）表示“两人能相遇”这一事件的概率应等于图中阴影部分的面积与正方形的面积之比。,一般情况下，如果一个随即试验A的任意结果都可以用试验的样本空间，时间m则事n的一个子区域，则事件A的概率是,对数学建模的一点认识,学习数学建模是中学课程改革的需要每章的引言阅读材料专门的应用问