数学人教必修1B函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性,1.若对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数.,一、函数的奇偶性,2.若对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数.,二、简单性质,研究半个区间！,1.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.,反之成立！,2.单调性:,3.奇函数:f(0)=0(0在定义域中),偶函数:f(x)=f(|x|).,3.若函数f(x)不具有上述性质,则称f(x)不具有奇偶性;若函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数.,例:函数f(x)=0(xD,D关于原点对称)是既奇又偶函数.,三、函数奇偶性的判定方法,1.根据定义判定:,首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称,则函数是非奇非偶函数;,若对称,再判定f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).,2.利用定理,借助函数的图象判定:,3.性质法判定:,在公共定义域内,两奇函数之积(商)为偶函数;,两偶函数之积(商)也为偶函数;,一奇一偶函数之积(商)为奇函数.,(注意取商时分母不为零!),四、函数的周期性,如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x),则称函数f(x)为周期函数,T为函数的一个周期.若f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为函数的最小正周期.,五、典型例题,1.判断下列函数的奇偶性：,偶函数,奇函数,既奇又偶函数,非奇非偶函数,奇函数,偶函数,(2)试将函数y=2x表示为一个奇函数与一个偶函数的和.,f(1)g(0)g(-2),偶函数,奇函数,f(4a+x)=f(x).,5.已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)是偶函数,当x0,2时,f(x)=2x-1,求x-4,0时f(x)的表达式.,6.若对任意的xR,都有f(a+x)=f(a-x),且f(b+x)=f(b-x),其中ba.则f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数.,8.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,bR都满足:f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0),f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论.,9.已知f(x)是定义在R上的函数,且对于任意的a,bR都满足:f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)且f(0)0.(1)求证:f(x)是偶函数;(2)若存在正数m,使f(m)=0,求满足f(x+T)=f(x)的一个T(T0)的值.,0,0,f(-1)=0,f(-b)=-f(b),奇函数,(1)f(0)=1,f(-b)=f(b),(2)考虑f(a+m),f(a+2m),f(a+4m).,7.若对任意的xR,都有f(x)=f(2a-x),且f(x)+f(2b-x)=2c,其中ab.则f(x)是以4(a-b)为周期的周期函数.,课堂练习,D,B,C,A,5.奇函数f(x)在3,7上是增函数,在3,6上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)的值为()A.5B.-5C.-13D.-15,6.奇函数f(x)在-1,0上是减函数,是锐角三角形的两个内角,且,则下列不等式中正确的是()A.f(cos)f(cos)B.f(sin)f(sin)C.f(cos)f(cos)D.f(sin)f(cos),D,D,7.已知f(x)的图象关于直线x=a对称,又关于点(m,n)对称,其中ma.求证f(x)是以4(a-m)为周期的周期函数.,证:由已知,f(x)=f(2a-x),且f(x)+f(2m-x)=2n,f4(a-m)+x=f2a-(4m-2a-x),=f(4m-2a-x)=f2m-(2a+x-2m