第二章多自由度模态分析理论

试验模态分析,第二章多自由度系统模态分析理论,1.11、多自由度系统频响函数以及与模态参数的关系,前面我们引出了模态坐标、模态参数以及模态正交性的概念。这些都是模态分析的基本概念。当我们知道物理空间中结构的质量、阻尼及刚度矩阵时，即知道，及时就可以用计算机分析其结构的动态特性以及求解其响应了。这就是所谓的正向求解方法。但对一个实际结构的和必须经简化以及离散化后才可以得，这里就有一定的误差。至于阻尼矩阵就更难确定了。,另外还有用试验的方法来测得结构的动态特性的方法。这就是所谓的逆向求解方法。即试验模态技术。所谓试验模态就是由试验测量激励和响应（或、）来获得结构的动态特性。这就与频响函数的概念有关。下面我们讨论频响函数（或传递函数）与模态参数之间的关系，即频响函数的各种表达式。,由振动分析理论知道，对线性时不变系统，系统的任一点响应均可表示为各阶模态响应的线性组合。对点的响应可表示为:,（231）,.,2.2多自由度系统模态参数,多自由度系统模态分析将主要用矩阵分析方法来进行。,我们以N个自由度的比例阻尼系统作为讨论的对象。然后将所分析的结果推广到其他阻尼形式的系统。,设所研究的系统为N个自由度的定常系统。其运动微分方程为：,（21）,式中M、C、K分别为系统的质量、阻尼及刚度矩阵。均为N-N阶矩阵。并且M及K矩阵为实系数对称矩阵，而其中质量M矩阵是正定矩阵，K刚度矩阵。,对于无刚体运动的约束系统是正定的；对于有刚体运动的自由系统则是半正定的。当阻尼为比例阻尼时，阻尼矩阵C对于无刚体运动的约束系统是正定的；对于有刚体运动的自由系统则是半正定的。,.,及分别为系统的位移响应向量及激励力向量，均为阶矩阵。即,（21）式是用系统的物理坐标描述的运动方程组。在其每一个方程中均包含系统各点的物理坐标，因此是一组耦合方程（请大家想象一下其展开式）。当系统的自由度数很大时，求解很困难。我们能否将上述耦合方程变成非耦合的独立的微分方程组，就是模态分析所要解决的主要任务。故所以模态分析的经典定义是：以无阻尼系统的各阶主振型所对应的模态坐标来代替物理坐标，使坐标耦合的微分方程组解耦为各个坐标独立的微分方程组，从而使求出系统的各阶模态参数。,.,对（21）式两边进行拉氏变换，可得,式中,（22）,（23）,为拉氏变换因子；,分别为位移响应与激励的拉氏变换（初试条件为零），即,及,（22）式又可写为：,（24）,式中,为位移阻抗；是,阶矩阵。,.,阻抗矩阵,的逆矩阵称为传递函数矩阵,（26a）,对时不变系统，其极点在复平面左半平面，因此可将,换成,，便可得出付氏域中的阻抗矩阵及频响函数矩阵：,（26b）,（27）,此时，系统的频域运动方程为：,（28）,.,由振动分析理论知道，对线性时不变系统，系统的任一点响应均可表示为各阶模态响应的线性组合。对点的响应可表示为,（29）,式中,为第,个测点、第,由N个测点的振型系数所组成的列向量为,（210）,阶模态的振型系数。,.,2.3多自由度系统模态分析,在上节讨论中，我们引出了模态坐标、模态参数以及模态正交性的概念。这些都是模态分析的基本概念。这里我们要讨论频响函数（或传递函数）与模态参数之间的关系，即频响函数的各种表达式。,按照模态参数（主模态频率及模态向量）是实数还是复数，模态可分为实模态与复模态两类。由于这两类模态的特性有一定的区别，故分别加以叙述。这里先讨论实模态,试验实模态分析,设系统的自由度为，阻尼为比例阻尼，由（231）式可得第阶模态坐标为：,式中:,结构上任意测点的响应为,（232）,（234）,（233）,我们讨论单点激励情况。设激励力作用于点，则激励力向量变为,模态力为,因此，模态坐标可表示为,将上式代入（232）式响应表达式得,（235）,（232）,（236）,因此，测量点与激励点之间的频响函数为,上式表示为点的响应是单独由点的激励力引起的。换言之的含意即为，点作用一单位正弦力，在点产生的复响应。由此可见，频响函数与激励力的大小无关。,（237）,等效刚度与等效质量之间存在如下关系：,（245）,在上面的讨论中，我们认为系统某点的响应及频响函数都是全部模态的叠加（见（234）式及（241）式中的加号上界为全部模态数），即我们采用的是完整的模态集。,但实际上并非所有的模态对响应的贡献都是相同的。对低频响应来说，高阶模态的影响较小。对实际结构而言，我们感兴趣的往往是他的前几阶或十几阶模态，更高阶的模态常常被抛弃。这样做尽管会造成一些误差，但频响函数的矩阵阶数将大大减小，使得计算工作量大为减小。实践证明这是完全可取的。这亦是模态分析的一大优点。这种处理方法称为模态截断法。,由（238）式可见，频响函数为复函数。对（238）式分子、分母同乘，则可得,（246）,式中,及,分别为频响函数的实部与虚部。,（247）,（248）,（249）,下面不讲,由复模态提取实模态,复模态并不是虚假的模态，实际上所测试得到的模态都是复模态。而所谓实模态则是理论上存在的模态。实际问题中不仅非比例阻尼的存在会产生复模态，其他因素，比如，材料非线性、陀螺效应、空气动力效应、液固偶合效应等也会产生复模态。由于在大多数工程问题中，两者相差不大，而实模态在计算上既节约时间，又节约空间，故实模态得到广泛的应用。,本节主要讨论如何由实验得到的复模态提取实模态。介绍三种方法第一中方法是传统的方法，即根据相位的符号确定实模态的相位。第二中方法是扩大模型法；第三中方法是从频响函数提取实模态。,图复模态近似为实模态,一、传统方法,实模态的相位或者是00或者1800。而复模态的相位可以是任意的。离开00或者1800，有正负90之多也是常有的。如图所示为一个复模态向量中的某一元素,近似地，相应于复模态的实模态向量中的分量的模近似为复模态的模,（250）,（251）,.,其中是噪声。由此可以构造状态向量方程是噪声。由此可以构造状态向量方程,或,在时间重复上面的方程次，可以得到,扩大的模型,或,（257）,（258）,（259）,（260）,由此可以解得矩阵,求得矩阵,后，即可以得到矩阵,从而可以从下面的式子得到实模态,（261）,（262）,三、从频响函数提取实模态,一个同时具有粘性阻尼和结构阻尼的系统，其系统方程为,式中：为粘性阻尼矩阵；为结构阻尼矩阵。系统在频率域中的运动方程为,（263）,（264）,是实数,是无阻尼系统的频率响应函数。两边乘，得,式中,式（66）式可以改写为,上式可以改写为,（265）,（266）,（267）,（268）,.,另一方面，系统的响应为,比较式（68）和（69），可以得到,将,分为实部和虚部并重新整理得到,比较上式两边,（269）,（270）,（271）,（272）,.,对单点激励，无阻尼系统，测试点,和激励点,之间的频率响应函数为（假设振型以质量矩阵规一化）：,（273）,在无阻尼固有频率处,奇异，因此,我们不能直接从式（72）解出,奇异。,而是首先在（72）右乘,的伴随矩阵，,或,是,的行列式值，在无阻尼固有频率处等于零。,（274）,（275）,.