高考数学函数应用题.pdf

函数应用题 【热点聚焦】 最近几年的高试题，加强了对函数应用题的考查，主要的是将实际 问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数 模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同 函数类型增长的含义等等 【基础知识】 运用函数概念建立模型研究解决某些实际问题的过程和方法： 1）建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函 数问题； 2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答； 3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解，从而解决实际问题 根据收集到的数据的特点建立函数模型，解决实际问题的基本过程： 【课前训练】 1老师今年用7200元买一台笔记本电子技术的飞速发展，计算机成 本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一三年后老师这台笔 记本还值（ ） A7200（）3元 B7200（）3元 C7200（）2元 D 7200（）2元 2化学上常用pH来表示溶液酸碱性的强弱，pH1gc（H ），其中f（H）表示溶液中H的浓度若一杯胡萝卜汁的c（H ）1105mol/L，则这杯胡萝卜汁的pH是（ ） A2 B3 C4 D5 3如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4，那么经过x 年可以增长到原来的y倍，则函数yf（x）的图象大致为图中的 （ ） 4邮局规定，邮寄包裹，在5千克内每千克5元，超过5千克按每千克3 元收费，邮费与邮寄包裹重量的函数关系式为_ 5某工厂八年来某种产品总产量C与时间t（年）的函数关系如图所 示，下列四种说法： （1）前三年中产量增长的速度越来越快； （2）前三年中产量增长的速度越来越慢； （3）三年后，这种产品停止生产了； （4）第三年后，年产量保持不变 其中说法正确的是_ 【试题精析】 图1 【例1】(2007年上海春季高考试题)某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如 图1所示）是边长为米的正方形，点E、F分别在边BC和CD上， 、 和四边形均由单一材料制成，制成、和四边形的三种材料的每平方 米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间 的深色阴影部分成四边形. (1) 求证：四边形是正方形； 图2 (2) 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 【例2】（2003北京春）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金 为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的 车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆 每月需要维护费50元. （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大 月收益是多少？ 【评述】本题贴近生活.要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型， 把实际问题转化为数学问题并加以解决. 【例3】（2000全国卷）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得 知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图2 10中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用 图210中（2）的抛物线表示. （1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式Pf（t）；写 出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Qg（t）； （2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收 益最大?（注：市场售价和种植成本的单位：元102 ，g，时间单 位：天） 【评述】本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问 题.考查运用所学知识解决实际问题的能力. 【例4】（2001上海卷）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药对用一定量 的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留 农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜 上设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗 前残留的农药量之比为函数f（x）. （1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义； （2）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质； （3）设f（x）=，现有a（a0）单位量的水，可以清洗一次，也 可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留 的农药量比较少?说明理由. 【评述】本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力 以及函数概念、性质和不等式证明的基本方法 【例5】据世界人口组织公布，地球上的人口在公元元年为2.5亿，1600 年为5亿，1830年为10亿，1930年为20亿，1960年为30亿，1974年为40 亿，1987年为50亿，到1999年底，地球上的人口数达到了60亿请你根 据20世纪人口增长规律推测，到哪年世界人口将达到100亿？到2100年 地球上将会有多少人口？ 【例6】(2007年襄樊市调研试题)通过研究学生的学习行为，专家发现， 学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴 趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的 注意力开始分散，设表示学生注意力随时间t (分钟)的变化规律(越大， 表明学生注意力越集中)，经过实验分析得知： (1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ (2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力 更集中？ (3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达 到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完 这道题目？ 【针对练习】 1(2007年襄樊市调研试题)用清水漂洗衣服，假定每次能洗去污垢的， 若要使存留的污垢不超过原有的1，则至少要漂洗( ) A3次 B4次 C5次 D6次 2某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，一个这样的 细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是 ( ) Ay=2x(xN*) B.y=2x(xN*) C.y=2x+1(xN*) D.y=log2x(xN*) 3对山东省某县农村抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率49%，电视机 拥有率85%，洗衣机拥有率44%，至少拥有上述三种家用电器中两种 以上的占63%，三种电器齐全的占25%，那么一种电器也没有的相对 贫困户所占比例为 ( ) A.35% B.10% C.15% D.资料不全，难以判断 4北京电视台每星期六晚播出东芝动物乐园，在这个节目中曾经 有这样一个抢答题：小蜥蜴体长15cm，体重15g，问：当小蜥蜴长到体 长为20cm时，它的体重大约是（ ） A20g B25g C35g D40g 5向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量y与水深入的函数关 系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（ ） 61999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为 20，即储蓄利息的20%由各银行储蓄点代扣代缴，某人在1999年11月l 日存入人民币1万元，存期2年，年利率为2.25，则到期可净得本金和 利息总计_元 7已知函数f（x）的图象如右图，试写出一个可能的解析式_ 8根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海 市完成GDP（GDP是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP预 期增长9，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在 0.08若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均（GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需_年（按1999年本市常住人口总 数约1300万计算） 9我国水资源相对贫乏，某市节水方法是：水费基本费超额费 损耗费若每月用水量不超过最低限量pm3时，只付基本费8元和每 户每月定额损耗费q元；若用水量超过pm3时，除了付上述的基本费和 损耗外，超过部分每m3付r元的超额费，已知每户每月的定额损耗不超 过5元，该市一家庭某季度的用水量支付如下表： 月份 用水量 （m3） 水费 （元） 199 21519 32233 （1）写出水费y（元）与用水量x（m3）的函数关系式（这里的 p，q，r可作为已知数）； （2）根据数据表，求p，q，r的值 10某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成 本为2500元，每件产品的售价为3500元. （1）分别求出总成本y1、单位成本y2、销售总收入y3、总利润y4与总产 量x的函数解析式； （2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益作出简单分析 第七节参考答案 【课前训练】 1答案：B 解析：此题关键是读懂每隔一年价格降低三分之一的 含义设原价为1，一年后降价为，再过一年降价为，三年后降 价为（）3，故选B 2答案：D 3答案：D 解析：y（10.104）x，如图D 4答案：f（x） 5答案：（2）（3）（4） 解析：从图形得知前三年的总产量增长趋 势是先快后慢，所以（2）是正确的；三年后总产量不变，说明没有新 的产量增加，所以（3）或（4）都是正确的 【试题精析】 【例1】 (1) 证明：图2是由四块图1所示地砖绕点按顺时针旋转后得 到，为等腰直角三角形， 四边形是正方形. (2) 解：设，则，每块地砖的费用为，制成、和四边形三种材料的 每平方米价格依次为3a、2a、a (元)，则 . 由，当时，有最小值，即总费用为最省. 答：当米时，总费用最省. 【例2】解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数 为： =12，所以这时租出了88辆车. （2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x） =（100）（x150）50，整理得：f（x）=+162x21000=（x 4050）2+307050.所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值 为f（4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月 收益最大，最大收益为307050元. 【例3】解：（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为f（t） 由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为g（t）（t150）2 100，0t300 （2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）f（t） g（t）， 即h（t） 当0t200时，配方整理得h（t）（t50）2100，所以，当t 50时，h（t）取得区间0，200上的最大值100； 当200t300时，配方整理得h（t）（t350）2100，所 以，当t300时，h（t）取得区间（200，300上的最大值87.5. 综上，由100875可知，h（t）在区间0，300上可以取得最 大值100，此时t50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯 收益最大. 【例4】解：（1）f（0）=1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持 原样 （2）函数f（x）应该满足的条件和具有的性质是：f（0） =1，f（1）=， 在0，）上f（x）单调递减，且0f（x）1 （3）设仅清洗一次，残留的农药量为f1，清洗两次后，残留的农 药量为 f2，则f1f2 于是，当a2时，f1f2；当a=2时，f1f2；当0a2时，f1f2 因此，当a2时，清洗两次后残留的农药量较少；当a=2时，两种 清洗方法具有相同的效果；当0a2时，一次清洗残留的农药量较 少 【例5】解：题目中的数据均为大致时间，粗略估计的量，带有较多的 误差因此寻找人口增长规律时不需要，也不应该过分强调规律与数据 完全吻合数据中20世纪以前的人口资料更加粗略，况且人口的预报准 确程度主要受到20世纪人口增长规律的影响，因而组建预报模型时，不 必考虑20世纪以前的数据资料，在20世纪人口增长速度是逐渐变快的， 因此用直线变化（匀速增长）建模做预报是不恰当的做为人口增长的 模型，一般可以使用指数关系N（t）ae，其中N（t）为t时人口 数，a、r为参数 将N（t）aen式取对数可得lnN（t）lnart，它是关于t的线性模型， 这里ln为以e为底的对数利用19301999年的数据可以得到lna 28.33，r0.0162，a4.971013 模型为N（t）4.971013（亿）（1930t1999） 模型的拟合效果如下表（人口单位：亿） 年代19301960197419871999 人口 数 2030405060 拟合 数 19.4931.7039.7849.1156.61 拟合效果较好，可用于预报 令N（t）100，可求出t2030.84，故可知如果照此规律大约在2031年 世界人口将达到100亿，而于2100年世界人口将达到307亿 【例6】(1)解：当0t10时，是增函数，且 当20t40时，是减函数，且 所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟 (2)解：，所以，讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟 更集中 (3)当0t10时，令得： 当20t40时，令得： 则学生注意力在180以上所持续的时间 所以,经过适当安排,老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道 题。 【针对练习】 1答案：B 2答案：B 解析：从第二年开始，每年的细胞数是前一年的2倍. 3答案B 解析：至少有一种家用电器的用户占49+85+44-(63+25) %=90%,故一种家用电器也没有的用户占10%. 4答案：C 解析：假设小蜥蜴从15cm长到20cm，体形是相似的这 时蜥蜴的体重正比于它的体积，而体积与体长的立方成正比记体长 为l的蜥蜴的体重为，因此有35.56（g），合理的答案应该是35g 5 B 解析：本题要求根据上边函数关系的大约图象（粗略的），对 图中四个形状容器可能相符的容器