简易逻辑反证法数学第一轮复习课件

简易逻辑,一、命题的有关概念,1.命题,可以判断真假的语句.,“非p”形式的复合命题与p的真假相反;,2.逻辑联结词,“或”、“且”、“非”.,3.简单命题,不含逻辑联结词的命题.,4.复合命题,含有逻辑联结词的命题.,5.复合命题真值表,“p或q”形式的复合命题当p与q同时为假时为假,其它情形为真;,“p且q”形式的复合命题当p与q同时为真时为真,其它情形为假.,二、命题的四种形式,逆否命题:若q,则p.,原命题:若p,则q;,逆命题:若q,则p;,否命题:若p,则q;,注:互为逆否命题的两个命题同真假.,三、反证法,1.一般步骤,反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;,归谬:从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;,结论:由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.,2.命题特点,结论本身以否定形式出现;,结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式;,结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式;,结论的反面比原结论更具体或更易于证明.,3.特殊结论的反设,4.引出矛盾的形式,由假设结论q不成立,得到条件p不成立;,由假设结论q不成立,得到结论q成立;,由假设结论q不成立,得到一个恒假命题;,分别由假设与条件推得的两个结论矛盾.,典型例题,用反证法证明下列各题:,1.某班有49位学生,证明:至少有5位学生的生日同月.,2.若p1p2=2(q1+q2),证明关于x的方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.,证:假设至多有4位学生的生日同月,即:,生日在1,2,12月的学生人数都不超过4人.,则该班学生总数m412=48人,与该班有49位学生的条件矛盾,假设不成立.,至少有5位学生的生日同月.,1.某班有49位学生,证明:至少有5位学生的生日同月.,证:假设这两个方程都没有实根,则10且20,从而有:,1+20.,又1+2=(p12-4q1)+(p22-4q2)=p12+p22-4(q1+q2),=p12+p22-2p1p2=(p1-p2)20,与1+20矛盾.,即1+20,假设不成立.,故这两个方程至少有一个有实根.,2.若p1p2=2(q1+q2),证明关于x的方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.,与式相加得-4a-2,与式相加得-6a-4,显然与矛盾,假设不成立.,a,b,c三数均小于1,证:假设a,b,c中至多有一个数不小于1,这包含两种情况:,即0a1,0b1,0c1,则:,与已知条件矛盾;,也与已知条件矛盾.,a,b,c中恰有两数小于1,不妨设0a1,0b1,而c1,假设不成立.,a,b,c中至少有两个不小于1.,课堂练习,3.方程x2-mx+4=0在-1,1上有解,求实数m的取值范围.,1.证:设三个方程的判别式分别为1,2,3,由1+2+3=b2-ac+c2-ba+a2-cb,即1+2+30.,故所述三个方程中至少有一个方程有实数根.,1,2,3中至少有一个非负.,即|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|2.,又|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|(1+a+b)-2b+(1-a+b)|=2,即|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|2,与式矛盾.,假设不成立.,3.方程x2-mx+4=0在-1,1上有解,求实数m的取值范围.,解:先考虑x2-mx+4=0在-1,1上无解时m的取值范围.,包含两种情况:方程x2-mx+4=0无实数解;,方程有实数解,但解不在-1,1上.,设f(x