辽宁北票高中数学第二章数列2.2等差数列的性质课件新人教B必修5

等差数列,知识回顾,等差数列,【说明】数列an为等差数列,an+1-an=d,或an+1=an+d,d,=an+1-an,公差是唯一的常数。,an=a1+(n-1)d,等差数列各项对应的点都在同一条直线上.,一、判定题：下列数列是否是等差数列？,.9，7，5，3，,-2n+11，；.-1，11，23，35，,12n-13，；.1，2，1，2，；.1，2，4，6，8，10，；.a,a,a,a,，a，；,复习巩固：,(1)等差数列8，5，2，的第5项是(2)等差数列-5，-9，-13，的第n项是,-4,an=-5+(n-1).(-4),10,二、填空题：,简言之“知三求一”,(3)已知an为等差数列，a1=3，d=2，an=21，则n=,【说明】在等差数列an的通项公式中a1、d、an、n任知三个，可求出另外一个,例1.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.,设这三个数分别为a-da，a+d，则3a=12，a2-d2=12,6，4，2或2，4，6,结论:三数成等差数列可设这三个数分别为a-da，a+d四数成等差数列可设这四个数分别为a-3da-d,a+d,a+3d,等差数列的性质,例2：已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数且p0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差分别是什么？,分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看是否是一个与n无关的常数,解：取数列an中任意相邻两项an与an-1,它是一个与n无关的常数，则这个数列是等差数列。且公差为p,a1=p+q,结论:数列的通项公式为an=pn+q，(其中p,q是常数)等价与这个数列是等差数列,关于n的一次函数,例3、已知数列an,bn都为等差数列，求证：数列an+bn为等差数列,证法1：设an=a1+(n-1)d1,bn=b1+(n-1)d2（其中a1、b1、d1、d2均为常数）所以an+bn=a1+(n-1)d1+b1+(n-1)d2=(a1+b1)+(n-1)(d1+d2),所以(an+1+bn+1)-(an+bn)=(a1+b1)+(n+1-1)(d1+d2)-(a1+b1)+(n-1)(d1+d2)=d1+d2（常数）故数列an+bn为等差数列,问题1：通过刚才的证明你能得出数列an+bn的首项和公差吗？它的首项和公差与数列an,bn的首项和公差有什么关系？,证法2：设an=A1n+B1，bn=A2n+B2(其中A1,A2,B1,B2为常数）所以an+bn=（A1n+B1）+（A2n+B2）=（A1+A2）n+（B1+B2）所以(an+1+bn+1)-(an+bn)=（A1+A2）(n+1)+（B1+B2）-（A1+A2）n-（B1+B2）=A1+A2（为常数）,例3、已知数列an,bn都为等差数列，求证：数列an+bn为等差数列,思考：（1）数列an-bn是否为等差数列？若是，首项、公差为多少？若不是，请说明理由。,（2）数列pan+qbn（其中p、q为常数）是否为等差数列？若是，首项、公差为多少？若不是，请说明理由。,性质1:若an、bn都是等差数列，且公差分别为d1,d2,(1).则anbn也是等差数列,且公差为d1d2。(2).则panqbn也是等差数列,且公差为pd1qd2,性质2.若an是等差数列,且p+q=m+n，(p,q,m,n为正整数），则ap+aq=am+an。即下标和相等，则相应项和也相等（两边项数一样）,证明：ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d,am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,又因为p+q=m+n，所以ap+aq=am+an,如：a2+a9=a5+a6,a6+a10=a8+a8=2a8,特别地,若,则,注意：上面的命题的逆命题是不一定成立的,例4.在等差数列an中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20,(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8,(3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.,分析：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10,分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，a6+a7+a8=（a3+a11）=15,分析：a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28又a4a7=187，解、得,或,d=_2或2,从而a14=_3或31,性质3:若an是等差数列,则从中抽取间隔相等的项也是等差数列,an=am+(n-m)d,an-am=(n-m)d,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,a11,a12,a1,a4,a7,a10,性质4:若an是等差数列,则长度相等的连续k项的和也是等差数列,如:,a1+a2+ak,ak+1+ak+2+.+a2k,a2k+1+.+a3k,