北京理工大学08年研究生入学考试量子力学试题及答案(7)

.,1,北京理工大学08年,一、（20分）一个质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，t=0时刻的波函数为。问（1）在后来某一时刻粒子的波函数是什么？（2）体系在时的平均能量是多少？（3）时刻在势阱的左半部发现粒子的概率是多少？,解：,（1）,已经归一化。,.,2,（2）,（3）,.,3,.,4,二、（15分）对于的共同本征态，计算和的平均值。,解：,利用升降算符,在教案第四章习题课题目3中，得到,于是有,.,5,解：,.,6,同理,而,利用分离变量法可求得体系的波函数和能量本征值：,所以,基态波函数,.,7,.,8,四、（20分）一个沿x轴作一维运动的自由电子，波函数满足长度L(L足够大)的周期性边界条件。（1）试写出体系的定态波函数和相应的能量本征值。（2）若再加上微扰，（N是一个大的整数，为一个小常数），请计算波矢为的电子的一级近似能量和微扰后的零级近似波函数。,解：,（1）,此函数为自由粒子哈密顿的本征函数，本征值为,即,能量为二重简并。,.,9,（2）,先确定波矢为的波函数。,此时，对应的波函数为,能量一级修正满足的方程（久期方程）,.,10,所以,同理,.,11,久期方程化为,将代入零级近似波函数的系数所满足的方程,归一化,此即对应能量的零级近似波函数,.,12,同理可得对应能量的零级近似波函数为,其中,.,13,解：北京理工05考题三,.,14,六、（20分）预先建立一个Stern-Gerlach实验，使得一个电子自旋z分量为。在t=0时刻加入一个沿x方向的均匀磁场。问（1）经过时间T后测自旋z分量的结果是什么？（2）如果不是测z分量，而是x分量，则结果如何？,解：,与北京理工06年六题类似,为电子自旋磁距,不考虑轨道运动。由薛定谔方程解出自旋波函数,令,定解问题：,.,15,考虑到初始条件,即,.,16,（1）经过时间T后测自旋z分量的结果是什么？,的概率：,的概率：,.,17,（2）测自旋x分量的结果,所以，在T时刻，在态测自旋x分量,的概率：,的概率：,.,18,七、（20分）一个体系的哈密顿量与时间无关，而具有非简并本征值的本征矢，。设可观测量在同一个希尔伯特空间中同样地由非简并本征值问题来定义。设开始时体系处于状态，这时对此体系的可观测量进行测量。问（1）的期待值是多少？（2）这一测量给出的值为的几率多大？（3）如果测量给出值，并且在经过时间间隔t以后再重复测量，再次测得的几率是多少？,解：,（1）,（2）,（3）,.,19,八、（15分）一维势阱具有下列单粒子能量本征态：，对应能级。两个无相互作用的粒子置于该势阱中，对下列三种情形，请写出两粒子体系基态和第一激发态的：a）总能量值；b）简并度；c）所有可能的波函数（用表示空间部分，表示自旋部分，是总自旋）。情形（1）两个自旋为的可区分粒子；（2）两个自旋为的全同粒子；（3）两个自旋为0的全同粒子。,解：,（1）,两个自旋为的可区分粒子,（a）,(b),(c),基态能量四度简并；,其中,，,第一激发态能量八度简并。,.,20,第一激发态能量八度简并。,.,