数学分析复习

第一章实数集与函数,确界的定义P6，确界原理P7，函数的定义P10，复合函数P12，反函数P13，,第二章数列极限,给定一个数列，判断它是否收敛的方法：定义，是否有界，迫敛性，单调有界定理P35，柯西收敛准则P38,是否任何子列都收敛于同一极限（对判断发散特别有用）P33如何求数列的极限：定义，四则运算，迫敛性,收敛数列的性质P2830：唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性等。,第三章函数极限,函数极限的定义（6种类型）P42，44：,给定一个函数，判断它在一点（或趋于无穷时）是否收敛的方法：定义，是否有界，归结原则（海涅定理）P52，柯西收敛准则P54,对于单侧极限：可用单调有界定理P54,函数极限的性质P4849：唯一性，局部有界性，局部保号性，保不等式性，迫敛性等。,如何求函数在一点（或趋于无穷时）的极限：定义，四则运算，迫敛性，两个重要极限,无穷小量，无穷大量的定义P59，62-63，阶的比较P60-61如何求曲线的渐近线P65：斜渐近线，垂直渐近线,第四章函数的连续性,函数在一点的连续性的定义P67-68：连续，左连续，右连续,函数在区间上的连续性定义P72,给定一个函数，判断它是否在一点连续，若不连续，判断它属于哪类间断点P71-72连续函数的性质P74：局部性质：与函数极限类似，但注意“复合函数的连续性”P75(定理4.5)闭区间上连续函数的性质P76：最大、最小值定理，有界性定理，介值性定理，根的存在性定理,反函数的连续性P78，一致连续性的定义P79一致连续性定理P80求函数极限的一种新方法：利用初等函数的连续性（P84例题）,第五章导数和微分,定义：导数P88，单侧导数P89，导函数P90，高阶导数P106，高阶导函数，微分P111，高阶微分P113,给定一个函数，判断它在一点是否可导。求出函数在某点的导数（微分）：定义，基本初等函数导数公式P101，求导法则P101（四则运算，反函数，复合函数），对数求导法（例11）求出函数在某点的高阶导数（微分）：定义，莱布尼兹公式P108,费马定理P93：求函数极值利用导数概念求曲线的切线、法线P92求参变量函数的导数和高阶导数P104，109,第六章微分中值定理及其应用,利用微分中值定理证明各种类型的不等式及等式：罗尔P119，拉格朗日P120，柯西P125-126利用洛必达法则求不定式极限P127：,注意：并非所有不定式极限都可以用P130,给定一个函数：能利用导数判别它的单调区间能写出它在一点的泰勒多项式（公式），麦克劳林多项式（公式），佩亚诺型、拉格朗日型余项（注意不同类型的余项，对函数的要求不一样）P134，138能判断其极大、极小值P142、最大、最小值P145能判断其凸（凹）性区间和拐点P148152。利用上面的讨论和渐近线，画出函数图象,利用泰勒公式求不定式极限。P137例4（记住六个常用函数的麦克劳林多项式及其余项P136例1）,第七章实数的完备性,关于实数集完备性的基本定理：区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理的叙述与证明（书上的及习题）闭区间上连续函数性质的证明（书上的及习题）,第八章不定积分,原函数及不定积分的定义P177-178,求函数的不定积分：基本积分表P180，线性运算法则P181，（第一、第二）换元积分法P182，分部积分法P187u：对数，反三角，代数，三角，指数,能求出有理函数、三角函数有理式、某些无理根式的不定积分P190-198,定义：区间的分割和分割的模P201，积分和P202，定积分P202，计算定积分的方法：牛顿莱布尼兹公式P204，换元积分法P224，分部积分法P226，借助定积分的性质（P213性质1、2、4）特点：不求出原函数，仍然可能求出定积分的值P225例3,第九章定积分,常见的可积函数类：连续函数P209，只有有限个间断点的有界函数P210，单调函数P210。定积分的性质：线性性（P213性质1、2），两个可积函数的乘积函数是可积的（P213性质3），积分区间的可加性（P214性质4，P215规定1、2），积分不等式（P215性质5），积分第一、第二中值定理（P217，222），推广的积分第一中值定理（P218），原函数存在定理（微积分学基本定理）P221。,记住公式：平面图形的面积P239、立体的体积P243、旋转体的体积P245、曲线的弧长P247、旋转曲面的面积P254、静压力P255、引力P256、功P257,第十章定积分的应用,立体的体积P243：,旋转体的体积P245:,平面图形的面积P239：,