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文档简介

常微分方程,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,例1求解微分方程,解,分离变量,两端积分,典型例题,齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,例1求解微分方程,微分方程的解为,解,例2求解微分方程,解,微分方程的解为,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2.线性非齐次方程,常数变易法,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例1,伯努利方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,二、伯努利方程,解法:需经过变量代换化为线性微分方程.,求出通解后，将代入即得,代入上式,解,例,解,分离变量法得,所求通解为,整体代换法,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,线性微分方程的解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,问题:,例如,线性无关,线性相关,特别地:,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,解的叠加原理,二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,特征方程,特征根,有两个不相等的实根,特征根为,得齐次方程的通解为,有两个相等的实根,得齐次方程的通解为,特征根为,有一对共轭复根,特征根为,得齐次方程的通解为,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,三、n阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,注意,n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,例3,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程通解为,例,例,解,特征方程,特征根,对应的齐方的通解为,设原方程的特解为,解得,故原方程的通解为,即,一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解,二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解,一阶常系数线性差分方程,一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式,一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式,一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解,解,特征方程,特征根,解,解,二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解,1.,(1),(2),综上讨论,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程通解为,解,对应齐次方程通解,代入方程,得,解,2.,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,
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