概率论与数理统计 第六章

第六章数理统计的基本概念,前几章讨论的是概率论，从本章起讨论数理统计，数理统计和概率论一样，是研究随机现象规律性的数学分支学科，其任务主要研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，对所考察的问题作出推断或预测。数理统计主要研究两类问题：一类是研究怎样合理地收集到便于分析的数据，并对取得的数据进行分析；另外一类是研究怎样利用所获得的数据对所关心的问题做出尽可能可靠地判断或预测。从本章起将介绍数理统计最基本的知识。,第一节总体与样本,6.1.1总体与个体,6.1.2样本,6.1.3样本分布,1、总体,2、个体,6.1.1总体与个体,在数理统计中,把研究对象的全体称为总体或母体.,组成总体的每一个研究对象称为个体.,3、有限总体:,包括有限个个体的总体.,无限总体:,包括无限个个体的总体.,例1研究某批零件的抗拉强度.,总体:这批零件的全体,有限总体,个体:每一个零件,4、两点说明,（1）在实际问题中，总体和个体不是一成不变的，而是要看我们研究的任务来确定。,（2）有限总体与无限总体是相对的。,例2普查广州市大学生的身高.,总体:广州市全体大学生的身高,个体:每个学生身高,有限总体,例3测定一个育苗室各处的温度.,总体:育苗室各处温度的全体,个体:每一处的温度,无限总体,6.1.2样本,1、总体的分布,从总体中随机抽取一个个体的数量指标X，则X为一个随机变量，X的所有可能的取值的全体就是总体，X的分布也称为总体的分布。,2、样本,在总体X中，抽取n个个体，,总体X的一个样本或子样，n称为样本容量（样本的个数）。,这n个个体称为,3、样本值（样本观测值）,从总体X中随机抽取的样本是n个随机变量。,当它们被抽取出来后就是具体数值，常记为,称为,样本值或样本观测值。,4、两种常用抽取方法,（1）不重复抽样（不放回抽样）,每次抽取一个不放回去，再抽取第二个，连续抽取n次。,（2）重复抽样（有放回抽样）,每次抽取一个考察后放回去，再抽取第二个，连续抽取n次。,对于无限总体或总体中个体数目较大的有限总体，一个个体是否放回，对下一次抽取影响甚微，这时不重复抽取与重复抽取没什么区别。,说明：,在实际应用中，当总体数量较大（比如总体比样本容量大20倍以上或抽样比小于0.01）可将不重复抽样视为重复抽样。,5、样本的两个特征,（1）代表性：样本中每个分量与总体有相同的分布。,（2）独立性：n个样本相互独立。,具有上述两个特征的样本称为简单随机样本，简称为样本。,简单随机样本：独立同分布,6.1.3样本分布,设总体X的分布函数为为样本。,则样本的联合分布函数为,1、样本的联合分布函数,2、离散型,设总体X的分布律为,则样本的联合分布律为,利用样本的特征：独立同分布,6.1.3样本分布,设总体X的分布函数为为样本。,则样本的联合分布函数为,1、样本的联合分布函数,3、连续型：,则样本的联合,设总体X的密度函数为,密度函数为,利用样本的特征：独立同分布,例1设总体，求样本的联合分布律。,总体,解:,其分布律为,于是的联合分布律为,例2设总体,求样本的联合密度函数。,解:,由已知,总体X的密度函数为,于是的联合分布律为,例3设总体X的密度函数为,解:,样本的联合密度函数为,求样本的联合密度函数.,第二节统计量,6.2.1基本概念,6.2.2性质,6.2.1基本概念,1、统计量,为统计量。,设为来自总体X的一个样本，,为一连续函数，若g中不含有任何参数,则称,2、一点说明,统计量为随机变量.,当样本,为一常量或观察值.,取定观测值后，,例1设为来自正态总体的样本,其中未知,已知,问下列哪几个是统计量.,3、几个常用的统计量,（1）样本均值：,（2）样本方差：,样本均方差（样本标准差）：,（3）样本k阶原点矩：,（4）样本k阶中心矩：,6.2.2性质,(1),(2),证,(1),(2),6.2.2性质,(1),(2),证,(2),6.2.2性质,(1),(2),证,(2),于是,第三节抽样分布,在研究数理统计的问题时，往往需要知道所讨论的统计量的分布。,下面介绍几个与正态分布有关的统计量的分布。,何谓抽样分布?,统计量的分布称为抽样分布。,从理论上而言,只要知道了总体X的分布,统计量的分布即可求出,但实际操作起来并不容易.,1、定义,设相互独立且均服从标准正态分布,则随机变量,的分布称为自由度为n的分布.记为。,2、密度函数,其中,3、分布的性质,若，则,（1）数学期望与方差,证,由分布的定义，有,其中相互独立且均服从标准正态分布。,则,3、分布的性质,若，则,（1）数学期望与方差,证,由分布的定义，有,其中相互独立且均服从标准正态分布。,则,于是,若,且X与Y独立,则,（2）可加性,证,由分布的定义，有,于是,其中相互独立且均服从标准,正态分布。,一定要记住,例1设总体,为取自总体X的样本,令,求常数C，使,例1设总体,为取自总体X的样本,令,求常数C，使,解：,例1设总体,为取自总体X的样本,令,求常数C，使,解：,例2设,为来自正态总体,的简单随机样本，,，则当,，,时，,，其自由度为。,记,解：,于是,因此，当,时，X服从自由度为2的,分布。,1、定义,设且X,Y相互独立，则随机变量,所服从的分布称为自由度为n的t分布(或称学生氏分布),记为,2、密度函数,3、t分布的性质,（1）,（3）,（2）为偶函数。,例1设,相互独立，且都服从标准正态分布，,解(1):由于,已经服从,分布，所以,c=1,n=2.,例1设,相互独立，且都服从标准正态分布，,解,(2):由于,于是,要使该式服从t-分布，就必须有，即,1、定义,所服从的分布称为F分布。记为,设，且X与Y相互独立，则随机变量,2、密度函数,第一自由度,第二自由度,3、F分布的性质,（1）若，则,（2）若，则,设且X,Y相互独立，则,例1设随机变量,是取自总体X的简单,服从分布,，则,随机样本，已知统计量,于是,解:由于,要使服从分布，就必须有,设随机变量X的分布为已知。,在概率论中，常常需要计算对于给定x的概率,的x。,1、定义,给定，若数使得,则称为此概率分布的上侧分位点。,（或上分位数、临界值）,对给定的，使,设,或,成立的称为标准正态分布的上侧分位点（或上分位数）。,6.3.4.1标准正态分布的上侧分位点,如右图，,（1）,（2）,（3）,例1求（1），（2）。,解,（1）,（2）,对给定的，使,设,或,6.3.4.2分布的上侧分位点,成立的称为分布的上侧分位点（或上分位数）。,例1求（1），（2）。,解,例2求。,解,注:,当自由度大于45时，可用下面近似公式,对给定的，使,设,或,6.3.4.3t分布的上侧分位点,成立的称为分布的上侧分位点（或上分位数）。,对称性：,例1求（1），（2），（3）。,解,（1）,（2）,（3）,注:,当自由度大于45时，可用标准正态分布来近似,由t分布的性质：,例2求。,解,对给定的，使,设,或,6.3.4.4F分布的上侧分位点,成立的称为分布的上侧分位点。,（或上分位数）,证明,设,定理,则由F分布的分位数定义，有,故,例1求（1），（2）。,（2）,（1）,解,第四节抽样分布的几个定理,6.4.1单个正态总体的情况,6.4.2二个正态总体的情况,6.4.3关于一般非正态总体的情况,6.4.1单个正态总体的情况,定理5设总体，是X的一个样本，则,其中为样本均值。,证明,有,从而,定理6设总体，是X的一个样本，则,证明,与相互独立。,（1）,（2）,（3）,（1）,由已知有,从而有,即,定理7设总体，是X的一个样本，则,证明,由定理5，有,由定理6，有,且与相互独立，,从而U与V相互独立。,由t分布的定义，有,即,6.4.2二个正态总体的情况,设，且X与Y相互独立,为取自总体X的样本，,为取自总,体Y的样本，记,定理8在上述两个正态总体的条件下，有,（1）,（2）,（3）,证明,已知,有,从而有,于是,定理8在上述两个正态总体的条件下，有,（1）,定理8在上述两个正态总体的条件下，有,（2）,证明,已知总体,有,有,又两总体X与Y相互独立，,由F分布的定义即得结论（2）。,定理8在上述两个正态总体的条件下，有,（3）,证明,已知总体,有,又两总体X与Y相互独立，,由F分布的定义即得结论（3）。,（1）,（2）,定理9在定理8的条件下，若，则有,（定理中，的特殊情形）,定理9在定理8的条件下，若，则有,（1）,证明,由t分布的定义有,整理即得结论（1）。,6.4.关于一般非正态总体的情况,定理10设是取自总体X的一个样本，,当n较大时，近似地有,（1）,（2）,例1设,是取自总体X的样本，,为样本均值，,为样本方差，,是对,X的又一观测值，,服从t分布，自由度为,试证明统计量,证明：,结合服从分布，我们有：,服从t分布，自由度为,服从t分布，自由度为,例2设,为取自,的样本，样本均值为,，样本方差为,（A）,（B）,（C）,（D）,，则,解:(A）由于所以命题错误.,(B）由于所以命题错误.,因为和不可能只相差常数倍.,(C）由于所以命题错误.,例2设,为取自,的样本，样本均值为,，样本方差为