高三数学 函数的奇偶性课件新人教A

要点梳理1.奇函数、偶函数的概念一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f（x）就叫做偶函数.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f（x）就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.,函数的奇偶性,f（-x）=f（x）,f（-x）=-f（x）,基础知识自主学习,2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是:（1）考查定义域是否关于_对称；（2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）：若f（-x）=_，则f（x）为奇函数；若f（-x）=_，则f（x）为偶函数；若f（-x）=_且f（-x）=_,则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f（-x）-f（x）且f（-x）f（x），则f（x）既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数.,原点,-f（x）,f（x）,-f（x）,f（x）,3.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_(填“相同”、“相反”）.(2)在公共定义域内两个奇函数的和是_,两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积是_；一个奇函数，一个偶函数的积是_.,奇函数,偶函数,奇函数,相同,相反,基础自测1.对任意实数x,下列函数为奇函数的是（）A.y=2x-3B.y=-3x2C.y=ln5xD.y=-|x|cosx解析A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函数.设y=f(x)=ln5x=xln5,f（-x）=-xln5=-f（x）.,C,2.（2008全国理）函数的图象关于（）A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称解析f（x）是奇函数.f（x）的图象关于原点对称.,C,3.下列函数中既是奇函数,又在区间-1,1上单调递减的函数是()A.f(x)=sinxB.f(x)=-|x-1|C.D.解析函数是奇函数,排除B、C（B中函数是非奇非偶函数，C中是偶函数），-1，1f（x）=sinx在-1,1上是增函数,排除A,故选D.,D,4.已知f(x）=ax2+bx是定义在a-1，2a上的偶函数,那么a+b的值是（）A.B.C.D.解析依题意得,B,5.（2008福建理）函数f（x）=x3+sinx+1(xR),若f（a）=2，则f（-a）的值为（）A.3B.0C.-1D.-2解析设g(x)=x3+sinx,很明显g(x)是一个奇函数.f（x）=g（x）+1.f（a）=g（a）+1=2，g（a）=1，g（-a）=-1，f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0.,B,题型一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)(2)判断函数的奇偶性,应先检查定义域是否关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否相等或相反.,思维启迪,题型分类深度剖析,解(1)定义域关于原点对称.故原函数是奇函数.(2)0且1-x0-1x1,定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.,判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是有利的;二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.,探究提高,知能迁移1判断函数f(x)=的奇偶性.解-2x2且x0,函数f(x)的定义域关于原点对称.f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.,4-x20|x+3|3,题型二函数奇偶性的应用【例2】判断下面函数的奇偶性,并求函数的单调区间.求定义域判断奇偶性研究在(0,1)上的单调性.解所以函数f(x)的定义域为(-1,0)(0,1).f(x)的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意x,所以f(x)是奇函数.,思维启迪,任取x1,x2(0,1),且设x10，即f(x)在(0,1)内单调递减.由于f(x)是奇函数,所以f(x)在(-1,0)内单调递减.f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1).,探究提高根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间是常用的方法.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反.所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究,只需研究对称区间上的单调性即可.,知能迁移2已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0.从而判别式=4+12k0,解得k,题型三抽象函数的奇偶性与单调性【例3】(12分)已知函数f(x),当x,yR时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果x为正实数，f（x）0,并且f(1)=试求f(x)在区间-2，6上的最值.(1)根据函数的奇偶性的定义进行证明,只需证f(x)+f(-x)=0;(2)根据函数的单调性定义进行证明,并注意函数奇偶性的应用.,思维启迪,(1)证明函数定义域为R,其定义域关于原点对称.f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.4分（2）解方法一设x,yR+，f（x+y）=f（x）+f（y），f（x+y）-f（x）=f（y）.xR+，f（x）0,f(x+y)-f(x)0,f(x+y)x,f(x)在（0，+）上是减函数.8分又f（x）为奇函数，f（0）=0，f（x）在（-,+）上是减函数.f（-2）为最大值，f(6)为最小值.10分f(1)=f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2f（1）+f（2）=-3.所求f(x)在区间-2，6上的最大值为1，最小值为-3.12分,方法二设x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0.即f(x)在R上单调递减.f（-2）为最大值，f（6）为最小值.10分f（1）=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1f（6）=2f（3）=2f（1）+f（2）=-3.所求f(x)在区间-2，6上的最大值为1，最小值为-3.12分,探究提高（1）满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函数，只要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数.（2）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注.,知能迁移3函数f(x)的定义域为D=x|x0,且满足对于任意x1,x2D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).（1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；（3）如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)3,且f(x)在(0，+)上是增函数，求x的取值范围.解（1）对于任意x1,x2D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),f(1)=0.,(2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1).f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.（3）依题设有f(44)=f(4)+f(4)=2,f（164）=f（16）+f（4）=3，f(3x+1)+f(2x-6)3,f(3x+1)(2x-6)f(64)(*),f(x)在（0，+）上是增函数，(*)等价于不等式组x的取值范围为,1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=f(x)f(-x)f(x)=0=1(f(x)0).,方法与技巧,思想方法感悟提高,3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.,失误与防范,2.判断函数f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个x,均有f(-x)=-f(x).而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0).对于偶函数的判断以此类推.,一、选择题1.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1，2a上的偶函数，那么a+b的值是()A.B.C.D.解析依题意得,B,定时检测,2.若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-,0上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)0的取值范围是()A.(-,2)B.(2,+)C.(-,-2)(2,+)D.(-2,2)解析f（x）是偶函数且在(-,0上是减函数，且f（2）=f（-2）=0，可画示意图如图所示，由图知f(x)0的解集为（-2，2）.,D,3.（2009辽宁理，9）已知偶函数f(x)在区间0,+）上单调递增，则满足的x的取值范围是（）A.B.C.D.,解析方法一当2x-10,即x时，因为f(x)在0，+）上单调递增，故需满足当2x-10,即x时，由于f(x)是偶函数，故f(x)在（-,0上单调递减，此时需满足,方法二f(x)为偶函数,f(2x-1)=f(|2x-1|)又f(x)在区间（0，+）上为增函数,不等式等价于,4.(2009陕西文，10)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1,x20,+)(x1x2),有则（）A.f(3)f(-2)f(1)B.f(1)f(-2)f(3)C.f(-2)f(1)f(3)D.f(3)1,故有f(3)0与题意不符，当x0，f（-x）=1-2x，又f（x）为R上的奇函数，f（-x）=-f（x），-f（x）=1-2x，f（x）=2x-1，f（x）=2x-12xx-1,不等式f(x)的解集是（-，-1）.答案A,二、填空题7.已知函数y=f(x)为奇函数,若f(3)-f(2)=1,则f(-2)-f(-3)=_.解析f(x)为奇函数且f(3)-f(2)=1，f(-2)-f(-3)=f(3)-f(2)=1.,1,8.设奇函数f(x)的定义域为-5,5,当x0，5时,函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y0)在区间-8，8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1x2x3x4.由对称性知x1+x2=-12,x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.答案-8,三、解答题10.设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3x3),(1)证明f(x)是偶函数；(2)画出这个函数的图象；(3)指出函