数学一轮单元复习第38讲空间中的垂直关系课件

第38讲空间中的垂直关系,第38讲空间中的垂直关系,第38讲知识梳理,1两条直线互相垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且夹角为，则称这两条直线互相垂直2直线与平面垂直(1)定义如果直线a与平面内的直线都垂直，我们就说直线a与平面互相垂直，记作a.直线a叫做平面的，平面叫做直线a的，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做,直角,任意一条,垂线,垂面,垂足,(2)直线和平面所成的角一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的，斜线和平面的交点A叫做过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的平面的一条斜线和它在这个平面上的射影所成的，叫做一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是的角直线和平面所成角的范围是.,第38讲知识梳理,斜足,斜线,射影,锐角,直角,0,(3)直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号表示为(4)直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行符号表示为,第38讲知识梳理,两条相交,3平面与平面垂直(1)二面角和二面角的平面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面棱为AB、面分别为，的二面角记作二面角，如果棱为l，那么这个二面角记作.在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的,第38讲知识梳理,AB,l,平面角,二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度二面角的取值范围是0，平面角是直角的二面角叫做(2)平面与平面垂直的定义一般的，两个平面和相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直记做.(3)平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直符号表示为,第38讲知识梳理,直二面角,直二面角,垂线,第38讲知识梳理,(4)平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内直线与另一个平面垂直符号表示为,垂直于交线的,探究点1线面垂直的证明,第38讲要点探究,例1RtABC所在平面外一点S，且SASBSC，D为斜边AC的中点，如图391所示(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.,第38讲要点探究,【思路】(1)要证线面垂直，就要利用判定定理(2)利用判定定理，证明BD与平面SAC内的两条相交的直线都垂直来解决问题,【解答】(1)取AB中点E，连接SE，DE.在RtABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DEBC，且DEAB，SASB，SAB为等腰三角形，SEAB.DEAB，SEDEE，AB面SDE.,第38讲要点探究,而SD面SDE，ABSD.在SAC中，SASC，D为AC的中点，SDAC.又SDAB，ACABA，SD平面ABC.,第38讲要点探究,(2)若ABBC，则BDAC.由(1)可知，SD面ABC，而BD面ABC，SDBD.SDACD，BD平面SAC.,【点评】线面垂直就是证明直线与平面内两条相交直线垂直，本题利用等腰三角形来证明线线垂直，进而证明线面垂直证明线线垂直还可以利用勾股定理，菱形的对角线互相垂直，直径所对的圆周角是直角及线面垂直的性质等方法，如变式题：,第38讲要点探究,变式题如图393所示，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，AEPC于E，求证：AE平面PBC.,第38讲要点探究,【思路】在平面PBC内寻找两条相交直线与AE垂直,【解答】设O所在平面为，由已知条件知PA，而BC在内，所以PABC.因为点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是O的直径，所以BCA是直角，即BCAC.又因为PA与AC是PAC所在平面内的两条相交直线，所以BC平面PAC，故BCAE.又AEPC，PCBCC，所以AE平面PBC.,探究点2线面垂直的证明,第38讲要点探究,例22009北京卷如图394所示，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上(1)求证：平面AEC平面PDB；(2)当PDAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小,第38讲要点探究,【思路】由题目条件可证明AC平面PDB，从而利用面面垂直的判定定理证明,【解答】(1)四边形ABCD是正方形，ACBD.PD底面ABCD，PDAC，AC平面PDB，平面AEC平面PDB.,第38讲要点探究,(2)设AC交BD于点O，连接OE.由(1)知AC平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所的角O，E分别为DB、PB的中点，OEPD，OEPD，又PD底面ABCD，OE底面ABCD，OEAO.在RtAOE中，OEPDABAO，AEO45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.,第38讲要点探究,【点评】证明两平面垂直的方法主要有以下两种：(1)利用定义，证明两平面所成的二面角是直二面角；(2)利用判定定理，证明一个面内的一条直线垂直于另一个平面,探究点3面面垂直的性质的应用,第38讲要点探究,例32009福建卷如图396所示，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2，AD4，将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD.(1)求证：ABDE；(2)求三棱锥EABD的侧面积,第38讲要点探究,【思路】(1)利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，进而证明线线垂直；(2)先分别求三个侧面的面积，再求和,【解答】(1)在ABD中，AB2，AD4，DAB60，BDAB2BD2AD2，ABDB.又平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，AB平面EBD，DE平面EBD，ABDE.,第38讲要点探究,(2)由(1)知，ABAB，CDAB，从而CDBD，即DEBD.在RtDBE中，DB，DEDCAB2，SDBEDBDE.又AB平面EBD，BE平面EBD，ABBE，BEBCAD4，SABEABBE4.,第38讲要点探究,DEBD，平面EBD平面ABD，ED平面ABD，而AD平面ABD，EDAD，SADEADDE4.综上所述，三棱锥EABD的侧面积S8.,【点评】已知面面垂直时，最常用的辅助线就是在一个面内作交线的垂线，进而把面面垂直的条件转化为线面垂直，进一步可得到很多线线垂直关系，可以证明也可以计算如下变式题：,第38讲要点探究,变式题已知在BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E、F分别是AC、AD上的动点，且(01)(1)求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC；(2)当为何值时，平面BEF平面ACD?,第38讲要点探究,【解答】(1)AB平面BCD，ABCD，CDBC且ABBCB，CD平面ABC.又(01)，不论为何值，恒有EFCD，EF平面ABC，EF平面BEF，不论为何值恒有平面BEF平面ABC.,第38讲要点探究,(2)由(1)知，BEEF，又平面BEF平面ACD，BE平面ACD，BEAC.BCCD1，BCD90，ADB60，BD，ABtan60，AC由AB2AEAC得AE，故当时，平面BEF平面ACD.,探究点4线面角和二面角的求法,第38讲要点探究,例42009北京卷如图388所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由,第38讲要点探究,【思路】先利用定义构造线面角和二面角的平面角，然后解直角三角形可得线面角，也可确定存在点E使二面角为直二面角,【解答】(1)PA底面ABC，PABC.又BCA90，ACBC.BC平面PAC.(2)D为PB的中点，DEBC，DEBC，,第38讲要点探究,又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，PA底面ABC，PAAB，又PAAB，ABP为等腰直角三角形，ADAB，ABC60，BCAB.在RtADE中，sinDAE，AD与平面PAC所成的角的正弦值是,第38讲要点探究,(3)DEBC，又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角ADEP的平面角，在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时AEP90，故存在点E使得二面角ADEP是直二面角,第38讲要点探究,【点评】几何法求线面角和二面角的关键是作出(或证出)相应的平面角，主要是利用定义法，然后解直角三角形或解斜三角形得解同时步骤中要特别指明所作或所证的角是所求的角本例中斜线的射影已知，可以直接得到线面角，否则就要先从斜线上某一点向平面作垂线，确定射影再连成线面角，如变式题：,第38讲要点探究,变式题2009北京崇文区模拟已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ABAD1，DD1CD2，ABAD.(1)求证：BC面D1DB；(2)求D1B与平面D1DCC1所成角的正切值,第38讲要点探究,第38讲要点探究,