二次函数的图象和性质-培优教案

二次函数的图象和性质（培优教案）一课前训练1已知抛物线上一部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示，则下列说法中正确的是 。（填写序号）2101204664 yxO抛物线与轴的一个交点为；函数的最大值为6；抛物线的对称轴是直线；在对称轴的左侧，随的增大而增大。2若二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的个数是( )；。A.1 B.2 C.3 D.4二知识结构三题型讲练例1已知抛物线。写出它的开口方向、对称轴及顶点坐标；当为何值时，抛物线的顶点在轴上方；过抛物线与轴的交点作直线轴，交抛物线于另一点，当时，求此抛物线的解析式。分析：考察配方法；欲使抛物线顶点在轴上方，必使顶点纵坐标为正；由直线轴可知两点的纵坐标相等，进而可以求出值。【解】在中，二次项系数，开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为。欲使抛物线的顶点在轴上方，必使顶点的纵坐标为正数，令，则，此时抛物线的顶点在轴上方令，则，抛物线与轴交于点直线轴，。令，则，解得，在中，抛物线的解析式为或。练习：1右图是二次函数在平面直角坐标系中的图象，则下列结论中正确的是（填写序号） 。；2若抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标为 。3如图，抛物线经过点，与轴交于两点。求的值；如图，设点为该抛物线在轴上方的一点，若直线将四边形的面积二等分，试证明线段被直线平分并求此时直线的函数解析式；设点是该抛物线在轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点使得？若存在，请举例验证你的猜想；若不存在，请说明理由。（图供选用）【解】抛物线经过点，。作于点，作于点，设与交于点直线将四边形的面积二等分，即，线段被直线平分由知，抛物线的解析式为令，则，点是线段的中点，设直线的解析式为，直线经过点和点，直线的解析式为存在。设抛物线的顶点为，在中，以点为圆心、为半径作圆，与抛物线在轴的上方一定有交点（即点），连接，再作的平分线，交抛物线于点，连接，此时由得。例2已知抛物线与轴交于 两点，其中且，与轴交于点。求抛物线的解析式；能否找到直线与抛物线交于两点且使轴恰好平分的面积？若能，求出满足的条件；若不能，说明理由。【解】令，则有，对于一切实数，抛物线与轴恒有两个交点，由根与系数的关系得，把代入得，把代入得，把、代入得化简整理得，解得，。当时，与相符；当时，与不符(舍去)抛物线的解析式为。能，理由如下（如图）：假设符合题意的直线与轴交于点，即，由题意知两点必在轴的两侧，即由得（*）一定是方程(*)的两根，直线与抛物线有两个交点，即，解得且为所求。练习：1已知抛物线与轴分别交于两点(其中)，则下列结论中正确的是 （只需填写序号）。当时，；当时，；方程 有两个不相等的实数根；，；。2已知直线与轴交于点，与轴交于点；另一条抛物线的解析式为。若该抛物线经过点且抛物线的顶点在直线上，试确定抛物线的解析式；过点作直线，交轴于点，若抛物线的对称轴经过点，试确定直线的解析式。例3如图，直线与抛物线交于点和点（点在轴上），点是抛物线的顶点。求的值及抛物线的解析式；过线段上的动点（与不重合）作轴的垂线，与抛物线交于点，设线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；设点是直线与抛物线对称轴的交点，则在线段上是否存在一点使得四边形是平行四边形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由。【解】点在直线上，有直线 点是抛物线的顶点设所求抛物线的解析式为点在抛物线上，所求抛物线的解析式为设两点的纵坐标分别为和，则：（其中）存在，理由如下：，欲使四边形是平行四边形，必使点在直线上且，令，则，令，即，解得(不合题意，舍去)，点在直线上，令，则，当点的坐标为时，四边形是平行四边形。练习：1已知抛物线。若抛物线与轴的交点分别在原点的两侧且，求的值；设抛物线与轴交于点，若抛物线上存在关于原点对称的两点使得的面积等于，求的值。解:设两点的坐标分别为、，则分别是方程的两根。由根与系数的关系知，两点分别在原点两侧，即，解得，(与矛盾，舍去)的值为。两点关于原点对称设两点的坐标分别为两点都在抛物线上：，当时才存在满足条件的两点，两点到轴的距离均为两点之间的水平距离为令，则，点的坐标为，解得2已知抛物线恰好经过轴正半轴上的两点(点在点的左侧)且与轴交于点。的符号之间有何关系？若线段的长度是线段长度的比例中项，证明互为倒数；在的条件下，若且，求的值。解:时抛物线开口向上，由题意知此时抛物线与轴正半轴相交；时抛物线开口向下，由题意知此时抛物线与轴负半轴相交；综上所述，的符号之间的关系是：同号。设两点的坐标分别为、，其中。，。由题意知是方程的两根，由题意知，即，由知，两边同时除以，得，即互为倒数。当时，由知，。解法一：，。解法二：点在点的左侧，。四课堂小结二次函数与几何的综合应用是历届中考的重点，应该认真深入的探究。五作业布置1若二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是( )A.B.C.D.关于的方程的根是。2若二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.，。B.，。C.，。D.，。3若抛物线经过四点，则与的大小关系是( )A. B. C. D.不能确定4若二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的有( )；当时，；方程有两个大于的实数根。A. B. C. D.5如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点。求该抛物线的解析式并判断的形状；若在轴上方的抛物线上存在一点使得以为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；抛物线上是否存在点使得以为顶点的四边形是直角梯形？如果存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。解:抛物线的图象与轴交于两点，抛物线的解析式为抛物线与轴交于点，令，则，点的坐标为在中，在中，有。点的坐标是。存在，理由如下：由知欲使以为顶点的四边形是直角梯形，只需或若，则以为底边。直线与轴交于点，与轴交于点直线的解析式