理科数学解析

博雅闻道联合质量测评理科数学试题第1页共6页绝密启封前博雅闻道20172018年度第一次联合质量测评理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共6页。满分150分，考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项1答题前，考生务必用05毫米黑色签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3第卷必须用05毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。第卷一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合220,AXXXXZ，则集合A非空子集的个数为A14B15C16D17【答案】B【解析】由题意可知，220,12,1,0,1,2AXXXXXXXZZ，所以集合A的非空子集的个数为42115个所以选B试题分析知识角度考查函数的值域、解一元二次不等式和集合的交集与子集能力角度考查简单的运算能力和简单的逻辑推理能力2已知复数1IZMM（MR），若ZR，则IIZZ等于AIBIC2ID2I【答案】A【解析】由ZR得，1M，则1Z，I1III1IZZ选A博雅闻道联合质量测评理科数学试题第2页共6页3若FX是定义在,AB上的任意一个初等函数,则“存在一个常数M使任意,XAB都有FXM成立”是“FX在,AB上存在最大值”的A充分不必要条件B既不充分也不必要条件C必要不充分条件D充分必要条件【答案】C【解析】,XAB，FXM成立推不出FX在,AB上存在最大值，比如2FXX在0,2上满足4FXMM成立，但2FXX在0,2上不存在最大值，所以不充分；FX在,AB上存在最大值一定推出,XAB，FXM成立，所以是必要的试题分析知识角度考查函数的上界与最大值两者之间的关系以及条件与结论之间的充分必要关系。能力角度考查阅读理解新颖问题的能力和简易的逻辑推理。4若01,1ABC，则A1ABCBCACBABC11AACBDLOGLOGCBAA【答案】D【解析】因为01,1ABC，所以0AABC，所以1ABC，A错误；因为01,1ABC，所以CACCABBACBCBAB，B错误；因为01,1ABC，所以01CB，10A，所以11ACB，因为11AACB11ACB，C错误；因为01,1ABC，所以0LOGLOGAACB，所以11LOGLOGAACB，由换底公式得LOGLOGCBAA，则D正确试题分析知识角度考查幂函数、指数函数与对数函数及其性质博雅闻道联合质量测评理科数学试题第3页共6页能力角度考查推理能力和运算求解能力5原先要求A、B、C三人共同完成某项工作中的9道工序（每道工序的工作量一样,每人完成其中的3道工序），A完成了此项工作中的5道工序，B完成了此项工作中的另外4道工序，C因事假未能参加此项工作，因此他需付出90元贴补A和B，则A应分得这90元中的A45元B50元C55元D60元【答案】D【解析】9道工序，平均每个人3道工序，因此A多完成了532道，B多完成了431道工序，因此A应分得这90元中的2906021元试题分析知识角度考查阅读理解原生态的数学问题能力角度考查数学思维的潜能6已知点1,2P在双曲线222210,0XYCABAB的渐近线上，则C的离心率是A2B3C52D5【答案】D【解析】设点1,2P在直线上BYXA，则2BA，得224BA，2224CAA，所以5CA选D7如图是一个算法流程图，若输入N的值是13，输出S的值是46，则A的取值范围是A910AB910A博雅闻道联合质量测评理科数学试题第4页共6页C1011AD89A【答案】B【解析】依次运行流程图，结果如下13S，12N；25S，11N；36S，10N；46S，9N，此时退出循环，所以A的取值范围是910A故选B试题分析知识角度考查算法流程图及其运行过程能力角度考查运算求解能力和推理能力8一排12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为A334AAB443AAC121233AAD121244AA【答案】B【解析】12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，操作如下先分别把第1,2,3,4小组的3个人安排坐在一起，各有33A种不同的坐法，再把这4个小组进行全排列，有44A不同的排法，根据分步计数原理得，每个小组的成员全坐在一起共有434AA种不同的坐法，故选A试题分析知识角度考查两个计数原理在实际问题中的应用以及建立排列组合模型能力角度考查抽象概括能力和运算求解能力9在正项无穷等差数列NA中，NS为其前N项和，若35A，135,ASA成等比数列，则NAA21N或35544NB722NC34ND21N【答案】D【解析】设公差为D，由已知得，323155,ASAA所以111125,334,ADADAAD解得11,2,AD或115,2154AD（舍去），所以21NAN博雅闻道联合质量测评理科数学试题第5页共6页10如图，在长方体1111DCBAABCD中，点P是棱CD上一点，则三棱锥ABAP11的左视图可能为ABCD【答案】D【解析】在长方体1111DCBAABCD中,三棱锥ABAP11的左视图中，1B、1A、A的射影分别是1、C1、DD，所以选D试题分析知识角度本题意在考查三视图能力角度考查空间想象能力和运算求解能力11函数41E21XFXX的图像大致为【答案】B博雅闻道联合质量测评理科数学试题第6页共6页【解析】因为41141E211E2XXFXXX，41141E211E2XXFXXX，所以11FXFX，所以41E21XFXX的图像关于直线1X轴对称，排除C；因为00E21,11FF，排除A，D故选B试题分析知识角度考查由函数的解析式得出函数的性质、由函数的图像考察得出函数的性质能力角度考查推理能力和运算求解能力12在数列NA中，已知123NNAANN，则数列NA满足1NNAANN的充要条件为A11AB13AC1113或AAD113A【答案】B【解析】在数列NA中，123NNAANN且1NNAANN，所以230NNAANN，解出不等式得31NNAANN或，因为，所以答案是B试题分析知识角度考查揭示递推数列的隐含性质和简易逻辑中的充分必要条件能力角度考查复杂严密的逻辑推理能力和运算求解能力第卷二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分13设变量X、Y满足约束条件22,1,1,XYXYXY则3ZXY的最大值为_【答案】5【解析】可行域如图所示，当Z取最大值时，直线3YXZ的纵截距Z最小，则A点是最优解，22,1,XYXY解得3,4,XY所以Z的最大值为3345Z0A博雅闻道联合质量测评理科数学试题第7页共6页14“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为C的大正方形，若直角三角形中的两直角边分别为A，B，则有222ABC现在向正方形ABCD区域内随机地投掷一枚飞镖，若2BA，则飞镖落在正方形EFGH内的概率是_【答案】15【解析】小正方形EFGH的边长GHBAA，正方形ABCD的边长225CABA，所以飞镖落在小正方形EFGH内的概率是22155APA15已知SIN00|2FXAXA,的图象如图所示，则FX_XYCBA112341123O博雅闻道联合质量测评理科数学试题第8页共6页【答案】2SIN6X【解析】由图象可得FX的最大值2，则2A，且FX的32个周期为32，即周期为2，所以，代入点0,1即可得到2SIN6FXX16已知若对任意一个单位向量E，满足2ABE成立，则AB的最大值是【答案】1【解析】解法一因为对任意一个单位向量E，满足2ABE成立，所以2AB，所以2224ABAB，因为2222ABABAB，所以2242ABABAB，所以44AB，所以1AB，当且仅当AB时取等号，所以AB的最大值是1解法二由题意得22ABABAB，当AB时，可以取最大值，此时22ABAB，由题意可得，当AB时，AB的最大值为2，所以AB的最大值是1试题分析知识角度考查向量的数量积和新颖的恒成立不等式能力角度考查等价转化数学问题的能力、推理能力和运算求解能力三、解答题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（一）必考题60分17（12分）ABC中，角A，B，C的对边分别为A，B，C，且3SINCOSABCCOSBCAXY1116213O博雅闻道联合质量测评理科数学试题第9页共6页（）求角A；（）若2,15CBA，设A，B，C三条边上的高分别为,ABCHHH，求ABCHHH【解析】（）设ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得2SINSINSINABCRABC，1分因为3SINCOSCOSABCBCA，所以2SIN3SINCOS2SINSINCOSRABCRBCA，所以SIN3SINCOSSINSINCOSABCBCA，所以3SINSINSINCOSCOSSINCOSSINABACABAC，所以3SINSINCOSSINSINCOSCOSSINABABACAC，3分所以3SINSINCOSSINSINABABAC，4分因为ACB，所以3SINSINCOSSINSINABABB5分因为SIN0B，所以3SINCOS1AA，所以2SIN16A因为5666A，所以66A，所以3A6分（）由余弦定理得，2222COSABCBCA，7分因为2,15CBA，所以222115442BBB，5B，225CB，8分因为111222ABCABCSAHBHCH，9分所以222,ABCABCABCABCSSSHHHABC，10分所以2221112233ABCABCABCABCSSSHHHABCABC12分18（12分）四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，2,60BCABABC，PAPB，点M为AB的中点（）在棱PD上作点N，使得AN平面PMC；博雅闻道联合质量测评理科数学试题第10页共6页（）若PBAC，且直线PC与平面PAB所成的角是45，求二面角MPCA的余弦值【解析】（）点N为PD中点下证取PD中点N，PC中点Q，连结AN，QN，MQ，在PCD中，,NQ分别是所在边PD，PC的中点，则NQCD且12NQCD1分因为点M为AB中点，ABCD，ABCD，所以NQAM且NQAM2分所以四边形AMQN是平行四边形，所以ANMQ3分又因为AN平面PMC，MQ平面PMC，所以AN平面PMC4分（）在ABC中，2BCAB，60ABC，设ABA，则2BCA，由余弦定理有22222COS603ACABBCABBCA，则222BCABAC，由勾股定理的逆定理可得ACAB5分又因为PBAC，PBABB，,PBAB平面PAB，所以平面ACPAB因为PMPAB平面，所以ACPM因为PAPB，点M为线段AB的中点，所以PMAB，MDPCABNDQPMCAB博雅闻道联合质量测评理科数学试题第11页共6页因此,PMABAC两两垂直6分以A为原点，分别以,ABAC所在直线为,XY轴，建立空间直角坐标系因为直线PC与平面PAB的所成角是45，所以45CPA，所以RTCAP是等腰直角三角形，所以3PACAA7分则0,0,0A，,0,02AM，11,0,22AAP，0,3,0CA，110,0,2AMP，,3,02AMCA8分设平面PMC的一个法向量为1,XYZN，则110,0,NMPNMC即0,230,ZXY令1Y，得23X，则123,1,0N，同理可得，平面PAC的一个法向量为211,0,1N，10分则121212143COS,13NNNNNN11分由图可得所求二面角的平面角为锐角，所以二面角MPCA的余弦值为1431312分19（12分）某地区由于人口老龄化问题严重，因此鼓励一对夫妇生育2个孩子。该地区的100000对已经生育了一胎夫妇中，有100对第一胎生育的是双胞胎或多胞胎，其余的均为单胞胎。在这99900对恰好生育一孩的夫妇中，男方、女方都愿意生育二孩的有50000对，男方愿意生育二孩女方不愿意生育二孩的有1X对，男方不愿意生育二孩女方愿意生育二孩的有2X对，其余情形有3X对，且12330010099XXX现在用样本ZYXQNPMDCAB博雅闻道联合质量测评理科数学试题第12页共6页的频率来估计总体的概率（）说明“其余情形”指何种具体情形，求出123,XXX的值；（）该地区为进一步鼓励生育二孩，实行贴补政策凡第一胎生育了一孩的夫妇一次性贴补5000元，第一胎生育了双胞胎或多胞胎的夫妇只有一次性贴补15000元第一胎已经生育了一孩再生育了二孩的夫妇一次性又贴补20000元这种补贴政策直接提高了夫妇生育二孩的积极性原先男方或女方中只有一方愿意生育二孩的夫妇现在都愿意生育二孩，但原先男方、女方都不愿意生育二孩的夫妇仍然不愿意生育二孩设为该地区的一对夫妇享受的生育贴补，求的分布列及数学期望E【解析】（）“其余情形”指一对夫妇中的男方、女方都不愿意生育二孩。由12330010099XXX可设123300,100,99XNXNXNNN，由已知得，12349900XXX，所以3001009949900NNN，2分解得100N，所以12330000,10000,9900XXX4分（）一对夫妇中，原先的生育情况有以下5种第一胎生育的是双胞胎或多胞胎有100对，频率为10011000001000，5分男方、女方都愿意生育二孩的有50000对，频率为5000011000002，6分男方愿意生育二胎女方不愿意生育二胎的有30000对，频率为30000310000010，7分男方不愿意生育二胎女方愿意生育二胎的也有10000对，频率为10000110000010，8分其余情形即男方、女方都不愿意生育二孩的有9900对，频率为9900991000001000，9分所以随机变量的概率分布表如下15000250005000博雅闻道联合质量测评理科数学试题第13页共6页P1100013192101010991000所以199915000250005000230101000101000E（元）12分20（12分）已知F为椭圆2210XYCABAB的右焦点，点2,2P在C上，且PFX轴（）求C的方程；（）过F的直线L交C于,AB两点，交直线4X于点M证明直线，PAPMPB的斜率成等差数列【解析】因为点2,2P在C上，且PFX轴，所以2C2分设椭圆C左焦点为E，则24EFC，而2PFRTEFP中，22218PEPFEF，所以32PE所以242APEPF，22A4分所以2224BAC，故椭圆C的方程为22184XY5分证明由题意可设直线AB的方程为2YKX，令4X得，M的坐标为4,2K6分由221,842XYYKX得，2222218810KXKXK7分设11,AXY，22,BXY，则有2122821KXXK，21228121KXXK，8分XYMAPOFBXYMAPOFBE博雅闻道联合质量测评理科数学试题第14页共6页记直线,PAPBPM的斜率分别为123,KKK，从而11122YKX，22222YKX，3222422KKK9分因为直线AB的方程为2YKX，所以112YKX，222YKX，所以121212121212221122222222YYYYKKKXXXXXX1212124224XXXXXX，10分将代入得22122284212222811642121KKKKKKKK，11分又322KK，所以1232KKK，故直线，PAPMPB的斜率成等差数列12分21（12分）已知函数21LN112FXXXAXAX其中AR，且曲线YFX在1X处的切线与X轴平行（）求A的值；（）求FX的单调减区间；（III）若122XX，试比较12FXFX与1的大小关系【解析】（）LN2FXXAXA，1分由题意得10F，2分则1A，且验证10F，3分所以1A成立4分（）由（）得21LN12FXXXX，定义域为0,，5分令GXLN1FXXX，则110,1GGXX，6分博雅闻道联合质量测评理科数学试题第15页共6页当0,1X时，0GX，当1,X时，0GX，则GX的最大值为10G，则对于任意的0,X，都有0FX，7分FX的单调减区间为0,8分（）21LN12FXXXX由122XX得，212XX，1211121FXFXFXFX9分令21FXFXFX2LN2LN221XXXXXX，02XFXLNLN222XXX，10分令GXFX，22111222XGXXXXX当02X时，0GX，G