高中数学1.3算法案例课件新人教A必修3

1.3算法案例秦九韶算法,问题1某位同学求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值，设计一个算法后写出程序如下：,上述算法一共做了次乘法运算,次加法运算.,优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.,10,5,能否找到更高效的算法?,问题2怎样找到更高效的算法?,分析:计算x的幂时,应充分利用前面的计算结果,以减少计算量,如：先计算x2,然后依次计算,的值.,此时算法一共做了次乘法运算,次加法运算.,4,5,f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1可变形为f(x)=(x4+x3+x2+x+1)x+1=(x3+x2+x+1)x+1)x+1=(x2+x+1)x+1)x+1)x+1=(x+1)x+1)x+1)x+1)x+1,f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+a1x+a0.,我们可以改写成如下形式:,f(x)=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.,求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即,v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即,一般地,对于一个n次多项式,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,vn=vn-1x+a0.,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.,f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=(2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7,v0=2v1=v0 x-5=25-5=5v2=v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v5=v4x+7=5345+7=2677,所以,当x=5时,多项式的值是2677.,这种求多项式值的方法就是秦九韶算法.,例1:用秦九韶算法求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.,变形前的计算，需要多少次乘法计算和多少次加法计算？,变形后利用秦九韶算法计算n次多项式当x=x0时，需要多少次乘法计算和多少次加法计算？,所以,当x=5时,多项式的值是2677.,原多项式的系数,例1:用秦九韶算法求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.,V0,V1,V2,V3,V4,V5,所以,当x=5时,多项式的值是15170.,练:用秦九韶算法求多项式f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值.,解:原多项式先化为:f(x)=2x6-5x5+0x4-4x3+3x2-6x+0列表,注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项应将其系数补0.,这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现.试写出程序框图。,变式训练，深化提高,程序框图,程序：对比课本第39页,2.试搜索材料了解秦久韶，谈谈你对他的伟大之处的认识。,【点评】秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法.它的特点是:把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值,通过这种转化,把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算,减少为n次乘法运算和n次加法运算,大大提高了运算效率.,思考：