2014-2018年五年真题分类选修4-4坐标系与参数方程

选修4-4 坐标系与参数方程1.(2014安徽，4)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos ，则直线l被圆C截得的弦长为()A. B.2 C. D.21.D由消去t得xy40，C：4cos 24cos ,C：x2y24x,即(x2)2y24,C(2，0),r2.点C到直线l的距离d，所求弦长22.故选D.2.(2014北京，3)曲线(为参数)的对称中心()A.在直线y2x上 B.在直线y2x上 C.在直线yx1上 D.在直线yx1上2.B曲线(为参数)的普通方程为(x1)2(y2)21,该曲线为圆,圆心(1，2)为曲线的对称中心,其在直线y2x上,故选B.3.(2014江西，11(2)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A.，0B.，0C.cos sin ，0D.cos sin ，03. Ay1x化为极坐标方程为cos sin 1，即.0x1，线段在第一象限内(含端点)，0.故选A.4（2018天津，12）已知圆x2+y22x=0的圆心为C，直线x=1+22t,y=322t(t为参数)与该圆相交于A，B两点，则ABC的面积为_.4.12 由题意可得圆的标准方程为：x12+y2=1，直线的直角坐标方程为：y3=x+1，即x+y2=0，则圆心到直线的距离：d=1+022=22，由弦长公式可得：AB=21222=2，则SABC=12222=12.5（2018北京，10）在极坐标系中，直线cos+sin=a(a0)与圆=2cos相切，则a=_5.1+2 因为2=x2+y2,x=cos,y=sin，由cos+sin=a(a0)，得x+y=a(a0)，由=2cos，得2=2cos，即x2+y2=2x，即(x1)2+y2=1，因为直线与圆相切，所以|1a|2=1，a=12，a0，a=1+2.6.（2017北京,11）在极坐标系中，点A在圆22cos4sin+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为_ 6.1 设圆22cos4sin+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y22x4y+4=0，再化为标准方程：（x1）2+（y2）2=1；如图，当A在CP与C的交点Q处时，|AP|最小为：|AP|min=|CP|rC=21=1，故答案为：17.（2017天津,11）在极坐标系中，直线4cos（ ）+1=0与圆=2sin的公共点的个数为_ 7.2 直线4cos（ ）+1=0展开为：4 +1=0，化为：2 x+2y+1=0圆=2sin即2=2sin，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y1）2=1圆心C（0，1）到直线的距离d= = 1=R直线4cos（ ）+1=0与圆=2sin的公共点的个数为2故答案为：28.(2016北京，11)在极坐标系中，直线cos sin 10与圆2cos 交于A，B两点，则|AB|_.8.2 直线的直角坐标方程为xy10,圆的直角坐标方程为x2y22x,即(x1)2y21.圆心坐标为(1，0)，半径r1.点(1，0)在直线xy10上，所以|AB|2r2.9.(2015广东，14)已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为_.9.依题已知直线l：2sin和点A可化为l：x-y+10和A(2,-2)，所以点A到直线l的距离为d.10.(2015北京，11)在极坐标系中，点到直线(cos sin )6的距离为_.10.1在平面直角坐标系下,点化为(1,),直线方程为：xy6,点(1,)到直线的距离为d1.11.(2015安徽，12)在极坐标系中，圆8sin 上的点到直线(R)距离的最大值是_.11.6由8sin 得x2y28y，即x2(y4)216，由得yx，即xy0，圆心(0,4)到直线yx的距离为2,圆8sin 上的点到直线的最大距离为426.12.(2015重庆，15)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos 24，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_.12.(2,)直线l的直角坐标方程为yx2,由2cos 24得2(cos2sin2)4,直角坐标方程为x2y24,把yx2代入双曲线方程解得x2,因此交点为(-2，0),其极坐标为(2,).13.(2014湖北，16)已知曲线C1的参数方程是(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2.则C1与C2交点的直角坐标为_.13.(，1)曲线C1为射线yx(x0).曲线C2为圆x2y24.设P为C1与C2的交点,如图,作PQ垂直x轴于点Q.因为tanPOQ，所以POQ30，又OP2，所以C1与C2的交点P的直角坐标为(，1).14.(2014重庆，15)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin24cos 0(0,02)，则直线l与曲线C的公共点的极径_.14.直线l的普通方程为yx1，曲线C的直角坐标方程为y24x，故直线l与曲线C的交点坐标为(1，2).故该点的极径.15.(2014天津，13)在以O为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a相交于A，B两点.若AOB是等边三角形，则a的值为_.15.3圆的直角坐标方程为x2y24y，直线的直角坐标方程为ya，因为AOB为等边三角形，则A(，a)，代入圆的方程得a24a，故a3.16.(2014湖南，11)在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(为参数)交于A，B两点，且|AB|2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是_.16.cos1曲线C的普通方程为(x2)2(y1)21，由直线l与曲线C相交所得的弦长|AB|2知，AB为圆的直径，故直线l过圆心(2，1)，注意到直线的倾斜角为，即斜率为1，从而直线l的普通方程为yx1，从而其极坐标方程为sin cos 1，即cos1.17.(2014广东，14)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为_.17.(1，1)由sin2cos 得2sin 2cos ，其直角坐标方程为y2x，sin 1的直角坐标方程为y1，由得C1和C2的交点为(1，1).18（2018全国，22）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=kx+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2+2cos3=0.（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.18.（1）由x=cos，y=sin得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4（2）由（1）知C2是圆心为A(-1,0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|-k+2|k2+1=2，故k=-43或k=0经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k=-43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以|k+2|k2+1=2，故k=0或k=43经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k=43时，l2与C2没有公共点 综上，所求C1的方程为y=-43|x|+219（2018全国，22）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cos,y=4sin（为参数），直线l的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin（t为参数）.（1）求C和l的直角坐标方程； （2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率19.（1）曲线C的直角坐标方程为x24+y216=1当cos0时，l的直角坐标方程为y=tanx+2-tan，当cos=0时，l的直角坐标方程为x=1（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos+sin)t-8=0因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=0又由得t1+t2=-4(2cos+sin)1+3cos2，故2cos+sin=0，于是直线l的斜率k=tan=-220（2018全国，22）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为x=cos，y=sin（为参数），过点0，2且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点（1）求的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程20.（1）O的直角坐标方程为x2+y2=1当=2时，l与O交于两点当2时，记tan=k，则l的方程为y=kx-2l与O交于两点当且仅当|21+k2|1，解得k1，即(4,2)或(2,34)综上，的取值范围是(4,34)（2）l的参数方程为x=tcos,y=-2+tsin(t为参数，434 )设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP=tA+tB2，且tA，tB满足t2-22tsin+1=0于是tA+tB=22sin，tP=2sin又点P的坐标(x,y)满足x=tPcos,y=-2+tPsin.所以点P的轨迹的参数方程是x=22sin2,y=-22-22cos2 (为参数，40).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.26.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2(y1)2a2,C1是以(0，1)为圆心,a为半径的圆.将xcos ,ysin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos2-8sin cos +1-a20,由已知tan 2,可得16cos2-8sin cos 0，从而1-a20，解得a-1(舍去)，a1.a1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上.所以a1.27.(2016全国，23)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A、B两点,|AB|,求l的斜率.27.解(1)由xcos ，ysin 可得圆C的极坐标方程212cos 110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R).设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110.于是1212cos ，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan .所以l的斜率为或.28.(2016全国，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标系方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.28.解(1)C1的普通方程为y21.C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos ，sin ).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d()的最小值，d().当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.29.(2015江苏，21)已知圆C的极坐标方程为22sin40，求圆C的半径.29.解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为2240，化简，得22sin 2cos 40.则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为.30.(2015新课标全国,23)在直角坐标系xOy中,直线C1：x2,圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积.30.解(1)因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40,得2340,解得12,2.故12,即|MN|.由于C2的半径为1，所以C2MN为等腰直角三角形，所以C2MN的面积为.31.(2015福建，21(2)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为sinm(mR).求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.31.解消去参数t，得到圆C的普通方程为(x1)2(y2)29.由sinm，得sin cos m0.所以直线l的直角坐标方程为xym0.依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即2，解得m32.32.(2015湖南，16)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建