教案解三角形知识点汇总和典型例题

中小学1对1课外辅导专家龙文教育教育是一项良心工程高一数学一对一教案讲义授课对象授课教师授课时间授课题目解三角形复习总结课型复习课使用教具人教版教材教学目标熟练掌握三角形六元素之间的关系，会解三角形教学重点和难点灵活解斜三角形参考教材人教版必修5第一章教学流程及授课详案解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备1直角三角形中各元素间的关系在ABC中，C90，ABC，ACB，BCA。（1）三边之间的关系A2B2C2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系AB90；（3）边角之间的关系（锐角三角函数定义）SINACOSB，COSASINB，TANA。CACBA2斜三角形中各元素间的关系在ABC中，A、B、C为其内角，A、B、C分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和ABC。（2）正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等（R为外接圆半径）CBAA2SINISIN（3）余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍A2B2C22BCCOSA；B2C2A22CACOSB；C2A2B22ABCOSC。3三角形的面积公式（1）AHABHBCHC（HA、HB、HC分别表示A、B、C上的高）；S1（2）ABSINCBCSINAACSINB2R2SINASINBSINC21R4中小学1对1课外辅导专家24解三角形由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型（1）两类正弦定理解三角形的问题第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题第1、已知三边求三角第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在ABC中，ABC，所以SINABSINC；COSABCOSC；TANABTANC。；2SINCO,2SSINCBACBA（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式6求解三角形应用题的一般步骤（1）分析分析题意，弄清已知和所求；（2）建模将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解正确运用正、余弦定理求解；（4）检验检验上述所求是否符合实际意义。二、典例解析题型1正、余弦定理例1（1）在中，已知，CM，解三角形；ABC032A081B429A（2）在中，已知CM，CM，解三角形（角度精确到，边长精确ABA01到1CM）。解（1）根据三角形内角和定理，000183281；018CAB062根据正弦定理，；0SIN49SIABCM根据正弦定理，0I2I6741S3CA中小学1对1课外辅导专家3（2）根据正弦定理，0SIN28SI4I9BABA因为，所以，或0B018064016当时，6400188467C0SIN2SI73ACCMA当时，016B，0008841624C0SIN2I413ACCCMA点评应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器题型2三角形面积例2在中，求的值和的面积。ABCSINCOA2C3ABTANABC解法一先解三角方程，求出角A的值。2145COS,245CSINA又,084560,15A,3TAN24620SIN45CO60S45IN6045SI10ISA。SCBAAB21233I解法二由计算它的对偶关系式的值。SINCOSSINCOSAI2中小学1对1课外辅导专家421SINCO2018,SIN0,COSSI2AAA另解,23COSIN1COINSIA62得。IN4得。COS6从而IN24TA236A。以下解法略去。点评本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢题型3三角形中的三角恒等变换问题例3在ABC中，A、B、C分别是A、B、C的对边长，已知A、B、C成等比数列，且A2C2ACBC，求A的大小及的值。SIN分析因给出的是A、B、C之间的等量关系，要求A，需找A与三边的关系，故可用余弦定理。由B2AC可变形为A，再用正弦定理可求的值。2CBBSIN解法一A、B、C成等比数列，B2AC。又A2C2ACBC，B2C2A2BC。在ABC中，由余弦定理得COSA，BCA2C1A60。中小学1对1课外辅导专家5在ABC中，由正弦定理得SINB，B2AC，AASINA60，SIN60。ACBCB60SINSI223解法二在ABC中，由面积公式得BCSINAACSINB。21B2AC，A60，BCSINAB2SINB。SINA。CBSIN3评述解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型4正、余弦定理判断三角形形状例4在ABC中，若2COSBSINASINC，则ABC的形状一定是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形答案C解析2SINACOSBSINCSIN（AB）SINACOSBCOSASINBSIN（AB）0，AB另解角化边点评本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径题型5三角形中求值问题例5的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，ABCABC、COS2BCA并求出这个最大值。解析由ABC，得，所以有COSSIN。BC22A2BC2A2COSA2COSCOSA2SIN12SIN22SIN2SIN2；BC2A2AA2A21232当SIN，即A时,COSA2COS取得最大值为。A2123BC232点评运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。中小学1对1课外辅导专家6题型6正余弦定理的实际应用例6（2009辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为075，03，于水面C处测得B点和D点的仰角均为06，AC01KM。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到001KM，21414，2449）解在ABC中，DAC30,ADC60DAC30,所以CDAC01又BCD180606060，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BDBA，在ABC中，,ABCSINBCASIN即AB,206315SINAC60因此，BD。KM302063故B，D的距离约为033KM。点评解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。三、思维总结1解斜三角形的常规思维方法是（1）已知两角和一边（如A、B、C），由ABC求C，由正弦定理求A、B；（2）已知两边和夹角（如A、B、C），应用余弦定理求C边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如A、B、A），应用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求C边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边A、B、C，应余弦定理求A、B，再由ABC，求角C。2三角学中的射影定理在ABC中，CABOSS3两内角与其正弦值在ABC中，INI中小学1对1课外辅导专家74解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。三、课后跟踪训练1（2010上海文数18）若ABC的三个内角满足SINSIN513AB，则（）（A）一定是锐角三角形（B）一定是直角三角形（C）一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析由SIISI1及正弦定理得ABC51113由余弦定理得0523CO2，所以角C为钝角2（2010天津理数7）在ABC中，内角A,B,C的对边分别是A,B,C，若23ABC，SIN23SICB，则A（A）0（B）06（C）012（D）015【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由正弦定理得23CBCR，所以COSA22A3BCC332BC，所以A300【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。3（2010湖北理数）3在ABC中，A15,B10,A60，则COSBA23BC63D【答案】D【解析】根据正弦定理SINIABAB可得150SIN6SIB解得3SIN，又因为BA，则BA，故B为锐角，所以2COI3，故D正确4（2010广东理数）11已知A,B,C分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，若A1,B3,中小学1对1课外辅导专家8AC2B,则SINC解由AC2B及ABC180知，B60由正弦定理知，13SINI60A，即1SIN2由AB知，60，则3A，80839，SINI9015（2009湖南卷文）在锐角BC中，1,2,B则COSAC的值等于，AC的取值范围为解析设,2A由正弦定理得,1SIN2ICOSCSCBCA由锐角A得029045，又01836，故345COS2，COS,AC6（2009全国卷理）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为A、B、C，已知2ACB，且SINCO3SIN,求B分析此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手对已知条件12ACB左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件2SINCO3SIN,ACA过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分解法在B中则SICO3SIN,CA由正弦定理及余弦定理有2223,ABCABA（角化边）化简并整理得22CB又由已知2ACB24中小学1对1课外辅导专家9解得40B或舍）7在ABC中，已知A、B、C成等差数列，求2TAN3TA2NCA的值。解析因为A、B、C成等差数列，又ABC180，所以AC120，从而60，故TAN由两角和的正切公式，得。23232TAN1所以,TAN3TAN。2T2TCAA点评在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。8（2009四川卷文）在ABC中，、为锐角，角ABC、所对的边分别为ABC、，且510SIN,SI（I）求的值；（II）若21AB，求ABC、的值。解（I）AB、为锐角，50SIN,SIAB2231COS1I,COI502SINAB0,4AB（II）由（I）知3C，2SIN由SINISIABCA得5102，即,5AB又AB112,5C中小学1对1课外辅导专家109（2010陕西文数17）（本小题满分12分）在ABC中，已知B45,D是BC边上的一点，AD10,AC14,DC6，求AB的长解在ADC中，AD10,AC14,DC6,由余弦定理得COS22ADC1036912,ADC120,ADB60在ABD中，AD10,B45,ADB60，由正弦定理得SINSIBAD,AB3106256II4AD10（2010辽宁文数17）（本小题满分12分）在BC中，ABC、分别为内角ABC、的对边，且2SINSIN2SINAB（）求的大小；（）若II1，试判断的形状解（）由已知，根据正弦定理得CBCA22即BCA22由余弦定理得AOS2故10,COSA（）由（）得SI