高中数学导数章节复习新人教B选修

导数的定义:,从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:,问题:,求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求f=y=f(x)-f()=6x+(x)2再求再求,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式.,一、曲线的切线,当自变量从x0变化到x1时，,相应的函数值从f(x0)变化到f(x1),y=f(x1)-f(x0),函数值的增量,x=x1-x0,自变量的增量,M,x,y,y0=f(x0)，y1=f(x1),Q(x0+x,y0+y),y=f(x0+x)-f(x0),设曲线C是函数y=f(x)的图象，,在曲线C上取一点P(x0,y0),及邻近一,点Q(x0+x,y0+y),过P,Q两点作割,线，,当点Q沿着曲线无限接近于点P,点P处的切线。,即x0时,如果割线PQ有一个极,限位置PT,那么直线PT叫做曲线在,曲线在某一点处的切线的定义,T,设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为,当x0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，即,tan=,M,x,y,曲线在某一点处的切线的斜率公式,x,o,y,y=f(x),Q,tan=,【例1】求曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线的方程。,k=,解：y=f(1+x)-f(1),=(1+x)2+1-（1+1）,=2x+（x）2,曲线在点P(1,2)处的切线的斜率为,因此，切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x,k=,【注】求曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率的方法：,(1)求y=f(x0+x)-f(x0),练习：1.已知曲线y=2x2上一点A(1,2)，求（1）点A处的切线的斜率；（2）点A处的切线方程。2.求曲线y=x2+1在点P(-2,5)处的切线的方程。,例2:求曲线,【注】求过曲线y=f(x)外点P(x1,y1)的切线的方法：,【注】求过曲线y=f(x)外点P(x1,y1)的切线的方法：,练习（1）求曲线y=x-1过点(2,0)的切线方程,小结曲线在某一点处的切线及斜率,k=,作业:45分钟,3、求函数图象切线需要注意的问题,（1）已知切点求切线：求切线的斜率确定切点写切线方程：,（2）已知切线过点求切线方程,点可以在曲线上，也可以不再曲线上A、设切点B、求斜率C、写切线方程D、代入已知点列方程组求得E、代入求得切线方程,不需推导，但要注意符号的运算.,记一记,练习,(1)5x4;,(2)6x5;,(3)cost;,(4)-sin.,法则1:,f(x)g(x)=f(x)g(x);,法则2:,法则3:,求函数的单调区间的一般步骤:,（1）求出函数f（x）的定义域A；,（2）求出函数f（x）的导数；,（4）不等式组的解集为f（x）的单调减区间；,（3）不等式组的解集为f（x）的单调增区间；,导数的应用一:判断单调性、求单调区间,注、单调区间不以“并集”出现。,1.一般地,求函数的极值的方法是:解方程f(x)=0.当f(x0)=0时.如果在x0附近的左侧右侧,那么,f(x0)是极大值;（左正右负极大）如果在x0附近的左侧右侧,那么,f(x0)是极小值.（左负右正极小）,2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.,导数的应用二:求函数的极值,设函数f(x)的图象在a,b上是连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值在a,b上的最大值与最小值的步骤如下,:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);,:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,导数的应用三：求函数的最值,三、综合应用:,例1:确定下列函数的单调区间:(1)f(x)=x/2+sinx;,解:(1)函数的定义域是R,令,解得,令,解得,因此,f(x)的递增区间是:递减区间是:,解:函数的定义域是(-1,+),(2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1,由即解得x1.,故f(x)的递增区间是(1,+);,由解得-1x1,故f(x)的递减区间是(-1,1).,说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.,(3),解:函数的定义域是0,a,且当x0,a时,有:,由及解得0x3a/4,故f(x)的递增区间是(0,3a/4).,由及解得3a/40,对一切实数恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.,若a=0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.,若a1时,故f(x)是1,+)上的增函数.,所以当x1时,f(x)f(1)=0,即当x1时,说明:利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的一种重要方法.其解题步骤是:,令F(x)=f(x)-g(x),xa,其中F(a)=f(a)-g(a)=0,从而将要证明的不等式“当xa时,f(x)g(x)”转化为证明:“当xa时,F(x)F(a)”.,练习2:已知求证:,四、小结:,1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.,2.在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.,3.注意在某一区间内(1.,（1）讨论函数f(x)的单调性,（2）证明：若a5，则对任意x1，x2(0.+)x1x2,有,2009年辽宁高考,解：(1)的定义域为（0，）,若a1=1即a=2时，则,故f(x)在（0，）单调增加。,若a11即12时,同理可得f(x)在,单调减少，