高中数学第一章基本初等函数（II）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广课件新人教B版必修4.ppt

1.1.1角的概念的推广,一,二,三,一、任意角【问题思考】如图,射线OA绕端点O旋转,请回答下面问题:(1)当OA旋转到OB时,角的始边、终边、顶点各是什么?提示:始边为OA,终边为OB,顶点为O.(2)若OA按逆时针旋转,第一次到OB时,AOB多大?提示:AOB=120.(3)若将(2)改为顺时针呢?提示:AOB=-240.(4)若OA按逆时针旋转120到OB位置,再按顺时针方向旋转200到OC位置,则AOC多大?提示:AOC=120-200=-80.,一,二,三,二、终边相同的角【问题思考】1.(1)角30,390,-330的终边有什么关系?提示:终边相同.(2)若角,的终边相同,如何用式子来表示,之间的关系?提示:=k360+(kZ).2.做一做:下列各组角中,终边相同的角是()A.390,690B.-330,750C.480,-420D.-240,160答案:B,一,二,三,三、第几象限的角【问题思考】1.若角的始边在x轴的非负半轴,顶点在原点,终边落在第二象限内,则角的范围是.提示:k360+90k360+180(kZ)2.填空:象限角的集合.,3.做一做:与-150终边相同的角可表示为,它是第象限的角.答案:k360-150(kZ)三,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的打“”,错误的打“”.(1)若AOB的始边OA与终边OB重合,则AOB=0.()(2)与角终边相同的角可表示为=k360+(kR).()(3)第四象限的角的集合为|k360-90k360,kZ.()(4)相等的角终边必相同.()答案:(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,易错辨析,有关角的概念问题【例1】下列各种说法正确的是()A.终边相同的角一定相等B.第一象限的角就是锐角C.锐角是第一象限的角D.小于90的角都是锐角解:析:根据锐角和第一象限的角的定义来进行判定.因为锐角的集合是|090,第一象限的角的集合是|k360120,所以(1)是错误的.(2)不正确.其中90,180角都不是象限角,显然(2)是错误的.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,终边相同的角的问题【例2】在角的集合|=k90+45,kZ中,(1)有几种终边不相同的角?(2)有几个在-360360范围内的角?分析:从代数角度看,取k=,-2,-1,0,1,2,可以得为,-135,-45,45,135,225,;从图形角度看,是以45角为基础,依次加上(或减去)90的整数倍,即依次按逆时针(或顺时针)方向旋转90所得各角,如图所示,结合图形求解.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解:(1)在给定的角的集合中,终边不相同的角共有4种,分别是与45,135,225,315角的终边相同的角.(2)令-360k90+45360,得.又因为kZ,所以k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.所以在-360360范围内的角共有8个.反思感悟把代数计算与对图形的认识结合起来即数形结合,会使这类问题处理起来更容易些.数形结合是解决数学问题的重要方法之一,做题时要注意自觉地应用.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,S=S1S2=|=60+k360,kZ|=240+k360,kZ=|=60+2k180,kZ|=60+(2k+1)180,kZ=|=60+180的偶数倍|=60+180的奇数倍=|=60+180的整数倍=|=60+n180,nZ.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,终边相同的角的集合之间的关系【例3】已知集合A=|30+k18090+k180,kZ,集合B=|-45+k36045+k360,kZ,求AB.解:因为30+k18090+k180,kZ,所以当k为偶数,即k=2n(nZ)时,30+n36090+n360,nZ;当k为奇数,即k=2n+1(nZ)时,210+n360270+n360,nZ,所以集合A中角的终边在如图阴影()区域内,集合B中角的终边在如图阴影()区域内.所以集合AB中角的终边在阴影()和()的公共部分内.所以AB=|30+k36045+k360,kZ.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟区域角表示的步骤(1)借助图形,在直角坐标平面内找出角的范围所对应的区域;(2)确定-360360范围内的基本角,即区域起始及终止边界所对应的角;(3)写出终边相同的角的集合.解决终边相同的角的集合问题,一般都是利用图象数形结合解题.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,若本例中A=|30+k12090+k120,kZ,求AB.解:对于A,当k=3n,nZ时,30+n36090+n360.当k=3n+1,nZ时,150+n360210+n360.当n=3n+2,nZ时,270+n360330+n360.故AB=|k360-45k360-30或k360+30k360+45,kZ.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,易错点:考虑不全面,忽视对称轴可分为两个半轴【典例】已知,角的终边关于y轴对称,则与的关系为.错解:因为,角的终边关于y轴对称,所以=90+k360(kZ).错因分析:上述解法仅是关于y轴非负半轴对称的情况,而忽视了关于y轴非正半轴对称的情况.正解:因为,角的终边关于y轴对称,所以=90+k180(kZ),即+=180+k360(kZ).答案:+=180+k360(kZ)纠错心得解此类问题一般先画出图形,从图形中得出有关直线的对称直线,再利用终边相同的角的表示方法来解决.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,1.下列命题正确的是()A.第一象限的角一定不是负角B.小于90的角一定是锐角C.钝角一定是第二象限的角D.终边和始边都相同的角一定相等答案:C2.和-463终边相同的角可以表示为()A.k360+463(kZ)B.k360+103(kZ)C.k360+257(kZ)D.k360-257(kZ)答案:C3.已知是第四象限的角,则是象限的角.答案:第二或第四,4.终边在120角终边所在直线上的所有角的集合是,上述集合在-180180范围内的角是.解:析:所求角的集合是|=k360+120,kZ|=k360+300,kZ=|=n180+120,nZ.当n=-1,0时,取得在-180180范围内的角为-60,120.答案:|=n180+120,nZ-60,120,5.写出与=-1910终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720360的元素写出来.解:由终边相同的角的表示知,与角=-1910终边相同的角