2.2.4平面与平面平行的性质 (2)

,第七章立体几何,第二节空间图形的基本关系与公理,最新考纲1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。,J基础知识自主学习,1空间图形的基本关系(1)空间点与直线的位置关系有两种：_和_。(2)空间点与平面的位置关系有两种：_和_。(3)空间两条直线的位置关系有三种：_、相交直线和_。(4)空间直线与平面的位置关系有三种：_、直线和平面相交、_。(5)空间平面与平面的位置关系有两种：_、_。,点在直线上,点在直线外,点在平面内,点在平面外,平行直线,异面直线,直线在平面内,直线与平面平行,平行平面,相交平面,2空间图形的公理(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上_都在这个平面内(即直线在平面内)。(2)公理2：经过的三点，有且只有一个平面。(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们_过该点的公共直线。(4)公理4：平行于的两条直线平行。(5)确定平面的三个推论经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。两条相交直线确定一个平面。两条平行直线确定一个平面。,所有的点,不在同一条直线上,有且只有一条,同一条直线,3定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_。4异面直线所成的角(1)定义：如图所示，过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(al1，bl2)，这两条相交直线所成的(或直角)就是异面直线a，b所成的角，如果两条异面直线所成的角是，我们称这两条直线互相垂直，记作：ab。,相等或互补,锐角,直角,判一判(1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线。()解析错误。由公理3可知错误。(2)经过两条相交直线，有且只有一个平面。()解析正确。由公理2可知正确。(3)两个不重合的平面只能把空间分成四部分。()解析错误。当两个平面平行时，把空间分成三部分。,(4)没有公共点的两条直线是异面直线。()解析错误。没有公共点的两条直线可能平行或异面。(5)已知a，b，c，d是四条直线，若ab，bc，cd，则ad。()解析正确。由公理4可知正确。,练一练1若点M在直线b上，b在平面内，则M，b，之间关系可表示为(),解析用集合语言表示，只有选项B正确。答案B,2在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线,解析B、C、D选项均为公理，故选项A正确。答案A,3下列命题：经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合。其中正确命题的个数是()A0B1C2D3,解析对于，未强调三点不共线，故错误；正确；对于，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故正确；对于，未强调三点不共线，则两平面也可能相交，故错误。故选项C正确。答案C,4已知a，b是异面直线，直线c直线a，那么c与b()A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线,解析假设cb，由公理4可知，ab，与a、b是异面直线矛盾。答案C,5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为_。解析连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求，又B1D1B1CD1C，D1B1C60。,60,R热点命题深度剖析,【例1】如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点。求证：,(1)E，C，D1，F四点共面；【证明】连接EF，CD1，A1B。E，F分别是AB，AA1的中点，EFA1B。又A1BCD1，EFCD1。E，C，D1，F四点共面。,(2)CE，D1F，DA三线共点。,【规律方法】共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合。(2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上。(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点。,变式训练1如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12。,(1)求证：E，F，G，H四点共面；,(2)设EG与FH交于点P。求证：P，A，C三点共线。证明EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC。同理P平面ADC。P为平面ABC与平面ADC的公共点。又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三点共线。,【例2】(1)(2016金华模拟)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_。(填上所有正确答案的序号),【解析】(1)图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面。所以在图中，GH与MN异面。,(2)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定,【解析】构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1l4，当取l4为BB1时，l1l4，故排除A、B、C，选D。【答案】D,【规律方法】(1)空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决。(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题。,变式训练2(1)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直。以上四个命题中，正确命题的序号是_。解析还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN。,(2)如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线_对。,24,【例3】(2016玉林模拟)如图，正棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(),【答案】D,【规律方法】求异面直线所成角的方法与步骤(1)找异面直线所成的角的三种方法：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移。(2)求异面直线所成角的三个步骤：作：通过作平行线，得到相交直线；证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角；算：通过解三角形，求出该角。,变式训练3(2015浙江卷)如图，在三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_。,解析连接DN，取DN的中点P，连接PM，CP，因为M是AD的中点，,S思想方法感悟提升,2个注意点判断点、线、面位置关系时的注意点(1)异面直线不同在任何一个平面内，不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线。(2)在判断直线与平面的位置关系时易忽视“线在平面内”。2种方法异面直线的判定方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线。(2)反证法：证明两直