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,第三节幂级数,一、函数项级数的一般概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,一、函数项级数的一般概念,1.定义:,上的函数列,则,2.收敛点与收敛域,（发散点）.,称为收敛域.,所有发散点的全体称为发散域.,注意,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,(发散)，,（函数项级数的部分和）,余项,当x在收敛域上时，,3.和函数,(定义域是收敛域),二、幂级数及其收敛性,1.定义,例如,2.收敛性,这种情况具有普遍性吗？,（公比为x的几何级数）,幂级数在x=0处必收敛.,收敛域,发散域,发散域,例,定理1(Abel定理),绝对收敛;,则它,几何说明,收敛,发散,发散,处收敛,证明,由(1)结论，,收敛,则级数当,时应收敛,这与所设矛盾.,几何说明,收敛域,发散域,发散域,总存在一个正数R，使幂级数在,收敛，在,内发散.,推论,也不是在整个数轴上都收敛,也可能发散.,则必有一个完全,正数R称为幂级数的收敛半径.,称为幂级数的收敛区间.,问题,如何求幂级数的收敛半径?,定义,收敛域：,或,或,或,定理2,设,(或,则,收敛半径,规定,证明,（1）由比值审敛法,(2)和(3)为规定.,求下列幂级数的收敛区间和收敛域:,例1,解,该级数收敛.,该级数发散.,故收敛域是,因此收敛区间是,（收敛域收敛区间收敛端点）,收敛区间,发散；,收敛,故收敛域为(0,1.,解,缺少偶次幂的项不可直接用公式,例2,的收敛区间.,级数收敛，,级数发散,故收敛区间,求幂级数,由比值法，,三、幂级数的运算,1.代数运算性质,(1)加减法,(其中,(2)乘法,(其中,柯西乘积,(3)除法,(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多),系数cn按乘法的定义求.,2.和函数的分析运算性质:,连续.,可积,并可逐项积分.,（3）幂级数,的和函数,在收敛,先求收敛域.由,得收敛半径,解,求级数,的和函数.,例3,收敛域为,两边积分得,设,解,收敛区间(-1,1),例4,的和.,求,常用已知和函数的幂级数,小结,2.幂级数的收敛性：,收敛半径R的求法,3.幂级数的运算：,分析运算性质,1.函数项级数的概念,4.求幂级数的和函数,思考题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,思考题解答,不一定.,例,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,作业,习题11-3p.215,1.
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