高二数学解析几何综合题复习

高二数学解析几何综合题复习一、求曲线方程与轨迹1已知圆锥曲线C满足下列条件1原点O与直线X1为它的焦点与相应准线；2A、B为曲线上两点，且XY0垂直平分线段AB，AB的长为；求曲线的方程。法一联立方程，利用方程思想求E曲线的方程为设直线AB的方程为YXB，AX1，Y1，BX2，Y2，因直线AB与曲线C有两个交点，所以AB关于XY0对称曲线的方程为3X2Y28X40法二利用几何关系求AB两点坐标|OA|OB|，由第二定义DA准DB准A、B两点不可能在X1的同侧，圆锥曲线C为双曲线。设AA，B，BB，A方程为法三设曲线的方程为设AX1，Y1，BX2，Y2，则由题意知将3，4代入12中X1X22，AB中点为1，1再看5，设直线AB的方程为Y1X1代入5得E2所以曲线的方程为3X2Y28X402已知ABC中，AB8，。求点C的轨迹方程。法一直接法求轨迹以AB所在直线为X轴，线段AB的中垂线为Y轴建系如图，A4,0，B4,0，设CX，Y是所求轨迹上任一点，则当Y0时，当Y0上移动，动点N在线段MO的延长线上，且满足|MO|NO|MN|。求点N轨迹方程。法一直接法设NX，Y，MP，Y0N在线段MO的延长线上，P21X2P2Y22PXP20X0即为所求。法二设NX，Y为所求轨迹上任一点，作NAX轴于A点，则有P21X2P2Y22PXP20X0即为所求轨迹方程。讲评求轨迹方程的方法1直接法直接翻译题目中所给的几何条件，得到X与Y的关系式；2定义法分析出动点满足曲线的定义，如动点P满足|PA|2其中A为定点，则点P的轨迹是圆，圆心为A，半径为2；3代入法如3题，经常会用在相关点问题中；4参数法如果不能直接得到X与Y的关系式，而是知道XF1T，YF2T，则可以通过消去参数T的到X与Y的关系式。二、求参数或变量的取值范围5已知定点M1,2，直线L1YAX1，曲线C，L1与曲线C交于A、B两点，N为AB中点，直线L2经过M、N两点与X轴交于P0M，0，求实数M的取值范围。分析1求出NF1A，F2A及A的范围；2求MFA的值域。解设AX1，Y1，BX2，Y2，NX0，Y0方程1有两个正根，因LMN过P0M，02A2A2M2A2A06若抛物线CYAX21上总有关于LXY1对称的两点，求实数A的取值范围。法一设AX1，Y1，BX2，Y2，LABYXBA，B关于直线XY1对称法二设AX1，Y1，BX2，Y2是抛物线C上关于直线L对称的两点由56知，X1，X2是方程的两个根法三分析利用A、B中点在抛物线内列不等式，且抛物线含焦点的部分内的点满足设AX1，Y1，BX2，Y2是抛物线C上关于直线L对称的两点，AB中点为PX0，Y0，由法二中5知，因点P抛物线含焦点部分，所以代入讲评求变量范围的方法1函数的方法，如5题；2构造不等式的方法，如6题；3几何的方法如果能根据几何知识分析出变量在何时取到最值，就可以通过求最值得到取值范围。习题1矩形ABCD的顶点A、B在直线LY2XM上，C、D在抛物线MY24X上，该矩形的外接圆方程为X2Y2X4YT0，求M、T的值。2已知椭圆C，直线L，点P在直线L上，射线OP交椭圆C于点R，点Q在射线OP上，且满足|OQ|OP|OR|2。求点Q的轨迹。3已知P为椭圆上一个动点，它与长轴的端点不重合，点F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，F1PF2，当A为常数时，求的最小值。4椭圆中心在坐标系原点，焦点在X轴上，过椭圆左焦点F的直线L交椭圆于P、Q两点，且OPOQ，求离心率E的取值范围。答案1法一设N设直线CD的方程为Y2XNPNCD，直线AB与CD关于N对称，M6，将N4代入1得XC1，XD4C1,2法二因直线AB与CD关于对称直线CD方程为4Y21XM，以下类似法一，求出M，T。2法一设QX，Y是所求轨迹上任一点，LOPYKX将代入上式得2X23Y24X6Y0Q点的轨迹为去掉原点的椭圆。法二设QX，Y是所求轨迹上任一点，设PX1，Y1，RX2，Y2令，P、Q、R三点的横坐标同号、纵坐标也同号。则因消得2X23Y24X6Y0，Q点的轨迹为去掉原点的椭圆。3解设PACOS，SIN0，由椭圆对称性知值重复出现，所以取一半即可，此时TAN单值对应，当且仅当评也可以用向量或余弦定理。4设椭圆的方程为1当L的斜率存在时，设L的方程为YKXC，与椭圆交于PX1，Y1，QX2，Y2两点，2当直线L的斜率不存在时，可求得综上所述圆锥曲线综合题一一综合分析1圆锥曲线的地位圆锥曲线在解析几何中占主导地位，在整个高中数学中也扮演着主要角色，充分展示了数学思想的精华部分，与其它数学知识相连平面几何、函数、三角、不等式、复数，有层次地训练和提高了学生的素质与能力对于圆锥曲线的综合题的解决，要求学生有良好的逻辑推理能力和计算能力，能准确、灵活运用等价转化思想、数形结合思想，对于二次方程、二次函数、解不等式和不等式组的知识要在较高层次上落实圆锥曲线综合题是历年数学高考的热点及难点2圆锥曲线的计算解析几何图形结构、问题结构多，且易于发散，一旦形成为图形或知识点的综合，往往最具运算量、最为繁难复杂因此，有时即便是明确了解法甚至较细的步骤，解题过程当中也常常被卡住，算不到底、算不出正确结果也是常有的事。因此，如何解决运算量问题，对于解题成功与否至关重要解决运算问题，可以有以下措施1不断提高运算和恒等变形能力注意培养观察问题、分析问题、转化问题、解决问题的能力，避免思维定势，提高思维灵活性具体审题中多收集些信息，综观全局，权衡利弊，再决定解题策略；加强训练运算基本功，不断提高恒等变形的能力2善于运用平面几何性质来解题问题解题处理方式不同，可能繁简大相径庭，若考虑问题的几何特征，充分利用图形几何性质，对于解决运算量会大有裨益，这一点对于圆锥曲线综合题的处理很重要3注意解析法与各种数学方法结合当所求点的坐标直接解决有困难时，往往引进参数或参数方程起到解决问题的桥梁作用，引进合适的参数，进行设而不求的计算方式，在解析几何中是普遍的，但应注意不断积累消参经验；相应元替换法也是常用的策略3圆锥曲线综合题类型1用待定系数法求圆锥曲线方程数形结合先定型，再定量，注意区分解析条件与纯几何条件如果位置不确定时，考虑是否两解在图形上标出已知条件，检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确；方程思想N个未知数，列够N个独立的方程，并注意韦达定理的使用注意“点在线上”条件的使用2求轨迹方程基本方法定义法；直接代入法参数法利用已知参数方程法或自设参数应注意的问题注意限制求轨迹方程与求轨迹的区别求轨迹是要求先求轨迹方程再描述该轨迹方程所表示的曲线类型及相应的几何特征N个未知数，列够N1个独立方程，特别注意考虑是否可利用定义直接列出方程3求取值范围或最值函数方法将待求范围参数表示为另一个变量的函数，注意求函数的定义域。方程与不等式组N个未知数，列够N个独立方程或不等式，注意归纳总结列不等式的方法利用几何性质求参数范围；利用不等式性质结合几何性质求参数范同二例题分析与解答例1已知椭圆，过左焦点F作不与X轴重合的直线L，则在椭圆上关于L对称的不同点A有1对B有2对C有无穷多对D不存在，分析与解答本题为开放题，我们往往假设在椭圆上存在这样的点A、B关于L对称，则可以设直线AB的方程为YKXM，将其代入椭圆方程，得到关于X的一元二次方程，利用韦达定理，求出AB中点N的坐标，再由N的坐标和AB斜率的负倒数，可表示弦AB的中垂线L的方程，令其纵坐标为零，横坐标为C，检查对应方程解的个数即可当然，也可以用点差法来求但是这两条思路，造成的运算量都是相当大，大多数同学半途而废，无功而返，因而这就成为一道难题如果巧妙地利用平面几何的性质，则效果就大大不同了如果存在这样的对称点A、B关于L对称，则由垂直平分线性质得|AF|BF|，再由椭圆第二定义可推出|AF|AEXA，|BF|AEXB，经检验，若使|AF|BF|，当且仅当AEXAAEXB，得XAXB从而直线AB垂直于X轴，直线L必须与X轴重合，因此在椭圆上关于L对称的不同点不存在这样做，运算量小，思路清楚简洁例2设一条直线和一条双曲线及其两条渐近线都相交，求证这条直线夹在双曲线及其渐近线之间的两条线段相等。分析与解答如果按照程序化模式，设直线方程，使其与双曲线方程和渐近线方程联立，分别解出四个交点的坐标，然后利用两点间距离公式代入，即可验证截得两线段相等，其中的运算量让人望而生畏但如果认真分析图形，分析出求证|AC|BD|等价于证线段AB与CD的中点重合，同时注意到渐近线方程与双曲线方程仅仅差距在常数部分，相应地与直线方程联立后得到的关于X的一元二次方程的常数项不同、其它项完全相同，由韦达定理易得出，XLX2X3X4，从而中点重合，问题得证，运算量小，思路直观例3椭圆的右准线L与X轴相交于点E，过椭圆心焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线L上，且BCX轴，求证直线AC经过线段EF的中点本题是2001年全国高考试题分析与解答要证的结论是AC经过线段EF的中点，设EF的中点为N，只要证明A、N、C头线，可用斜率相等来证明，也可先找出AC与X轴交点，设为N，只要证明N是EF的中点即可，证法一若ABX轴，结论显然成立；若AB不与X轴垂直，设直线AB方程为YKX1K0记AX1，Y1，BX2，Y2，则C2，Y2且X1，X2是二次方程的根即12K2X24K2X2K210又，故直线AN、CN的斜率分别为K1K2，所以C、A、N共线。故直线AC经过线段EF的中点N。证法二如图，证直线AC与X轴的交点为N，过A作AD与L垂直，D是垂足，因为F是椭圆的右焦点，L是右准线，BCX轴，即BCL根据椭圆的几何性质，得ADEFBC，又，即得故N为线段EF的中点，即直线AC经过线段EF的中点N。点评两种解法作对比解析法思路清楚，简洁，只需按部就班程序化就行，但缺点是运算量大，而利用平面几何性质的这种解法过程简单利落，无需大量运算，但需要添加辅助线，思考起来不如解析法容易一些。本题结论是椭圆的共性，因而证题过程中不一定必须用椭圆的这个方程条件，由特殊类比地推广到一般，双曲线、抛物线是否也具有这样的性质呢答案是肯定的，同学们可以自己做出证明。例4已知椭圆的中心在原点，它在X轴上的1个焦点与短轴2个端点的连线互相垂直，且此焦点和长轴长较近端点的距离是，求椭圆的方程。分析与解答本题关键是利用“待定系数法”求椭圆方程。设椭圆方程为则例5抛物线Y22PXP0有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，一直角边的方程为Y2X，斜边长为，求此抛物线方程。分析与解答设RTOMN，则由解得由M8P,4P，由，故所求方程为例6过椭圆E上任一点P作E的右准线L的垂线PH，H为垂足，延长PH到Q，使HQPH01求当点P在E上运动时Q点的轨迹G的方程；2当取何值时，轨迹G是焦点在平行于Y轴的直线上的椭圆证明这些焦点都在同一个椭圆E上，并写出椭圆E的方程；3当取何值时，轨迹G是与椭圆E离心率相等的椭圆求出这种椭圆被椭圆E的右准线L截得的弦长。分析与解答1椭圆E的右准线为LX3，设PX1，Y1、QX，Y、H3，Y1，因为HQPH0所以又Y1Y代入方程E为所求2320时方程化为Y212X；当X0，点M在直线L上滑动，动点N在MF的延长线上，且满足，求动点N的轨迹。分析与解答如图，作FKL于K，以F为原点，直线KF为X轴，建立直角坐标系，设NX，YX0，则直线L方程为XP，记MN的斜率为K，则点M、N的坐标分别为P,PK，X,KX，且有，依题意得|FN|MF|MN|，即将代入，得P21X2P2Y22PXP20X01当01时，所求轨迹是椭圆在Y轴右侧部分。例9抛物线YX2上不存在关于直线YMX3对称的两点，求M的取值范围。分析与解答1当M0时，存在；2当M0时，设点AX1，Y1，BX2，Y2在抛物线上，且关于直线YMX3对称，则有由21得，从而得AB中点坐标为，因为中点在抛物线内部，综上可得例10已知椭圆的一个顶点为A0，1，焦点在X轴上，若右焦点到直线的距离为3。1求椭圆的标准方程；2设椭圆与直线YKXMK0相交于不同的两点M、N，当|AM|AN|时，求M的取值范围。分析与解答1设椭圆方程为即2将YKXM代入，得13K2X26KMX3M210设MN中点为P，将2代入1，得2MM2，即0M时，无论怎样调整矩形的长和高，船都不能通过此拱桥。分析与解答1取抛物线顶点为原点，对称轴为Y轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为X22PY，则B点坐标为A，HA22PH，即，因而抛物线方程为，当E点在抛物线上时，其横坐标为，代入抛物线方程得，即矩形的高DE不能超过米才能使船通过拱桥。2由题意，矩形CDEF面积S的“临界值”M就是当E、F两点在抛物线上时，矩形CDEF面积取的最大值。设，则当且仅当时取等号，故所求S的“临界值”M为例15已知椭圆的离心率，过点P0，2的直线与椭圆相交于A、B两点，若存在这样的直线L，使得原点O在以AB为直径的圆上，求椭圆的短半轴B的取值范围。分析与解答椭圆方程为X24Y24B21设L的方程为YKX22将2代入1得X24KX224B2，整理得14K2X216KX164B20L与椭圆交于A、B两点16K2414K2164B20即4B2K2B2403设AX1，Y1、BX2，Y2，由韦达定理得Y1Y2KX12KX22K2X1X22KX