浙江省温州市2015年高考数学二模试卷理科

2015年浙江省温州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题本大题共8小题，每小题是5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（）AYBY2XCYLOG2XDY2X2命题“任意的XR，都有X20成立”的否定是（）A任意的XR，都有X20成立B任意的XR，都有X20成立C存在X0R，使得X0成立D存在X0R，使得X0成立3要得到函数YSIN2XCOS2X的图象，只需将函数Y2SIN2X的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位4若某几何体的三视图（单位CM）如图所示，则此几何体的体积是（）A（1820）CM2CM3B（2420）CM3C（1828）CM23D（2428）CM35若实数X，Y满足不等式组，且ZY2X的最小值等于2，则实数M的值等于（）A1B1C2D26已知F（X），则方程FF（X）2的根的个数是（）A3个B4个C5个D6个7在ABC中，BC5，G，O分别为ABC的重心和外心，且5，则ABC的形状是（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D上述三种情况都有可能8如图所示，A，B，C是双曲线1（A0，B0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且|BF|CF|，则该双曲线的离心率是（）ABCD3二、填空题本大题共7小题，912题每小题6分，1315题每小题6分，共36分9集合A0，|X|，B1，0，1，若AB，则AB，AB，CBA10设两直线L1（3M）X4Y53M与L22X（5M）Y8，若L1L2，则M，若L1L2，则M11已知ABCDEF为正六边形，若向量，则|；（用坐标表示）12设数列是公差为D的等差数列，若A32，A912，则D；A1213设抛物线Y24X的焦点为F，P为抛物线上一点（在第一象限内），若以PF为直径的圆的圆心在直线XY2上，则此圆的半径为14若实数X，Y满足4X22XY2Y0，则2XY的范围是15如图所示的一块长方体木料中，已知ABBC4，AA11，设E为底面ABCD的中心，且（0），则该长方体中经过点A1、E、F的截面面积的最小值为三、解答题本大题共5小体，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16已知函数F（X）COS2X8SIN4（）求函数F（X）的最小正周期；（）求函数YF（2X）在X上的值域17如图所示，在三棱锥DABC中，ABBCCD1，AC，平面ACD平面ABC，BCD90（）求证CD平面ABC；（）求直线BC与平面ABD所成角的正弦值18如图所示，椭圆C1（AB0）与直线ABYX1相切于点A（1）求A，B满足的关系式，并用A，B表示点A的坐标；（2）设F是椭圆的右焦点，若AFB是以F为直角顶点的等腰直角三角形，求椭圆C的标准方程19已知函数F（X）X2（A4）X3A（1）若F（X）在区间0，1上不单调，求A的取值范围；（2）若对于任意的A（0，4），存在X00，2，使得|F（X0）|T，求T的取值范围20已知数列AN满足A11，A22，且AN12AN3AN1（N2，NN）（）设BNAN1AN（NN），求证BN是等比数列；（）（I）求数列AN的通项公式；（II）求证对于任意NN都有成立2015年浙江省温州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题本大题共8小题，每小题是5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（）AYBY2XCYLOG2XDY2X考点函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断专题函数的性质及应用分析根据反比例函数单调性，奇函数的定义，一次函数的单调性，对数函数和指数函数的奇偶性即可找到正确选项解答解反比例函数Y在其定义域上没有单调性；一次函数Y2X时奇函数，且在其定义域上为增函数，B正确；根据对数函数YLOG2X，和指数函数Y2X的图象知，这两函数都不是奇函数故选B点评考查反比例函数、一次函数的单调性，一次函数、对数函数，以及指数函数的奇偶性，知道奇函数图象的特点2命题“任意的XR，都有X20成立”的否定是（）A任意的XR，都有X20成立B任意的XR，都有X20成立C存在X0R，使得X0成立D存在X0R，使得X0成立考点命题的否定专题简易逻辑分析直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可解答解因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“任意的XR，都有X20成立”的否定是存在X0R，使得X0成立故选D点评本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查3要得到函数YSIN2XCOS2X的图象，只需将函数Y2SIN2X的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位考点函数YASIN（X）的图象变换专题三角函数的图像与性质分析由条件利用两角和的正弦公式，化简函数YSIN2XCOS2X的解析式，再利用YASIN（X）的图象变换规律，可得结论解答解函数YSIN2XCOS2X2SIN（2X）2SIN2（X），故把函数Y2SIN2X的图象向左平移个单位，可得函数YSIN2XCOS2X的图象，故选C点评本题主要考查两角和的正弦公式，YASIN（X）的图象变换规律，属于基础题4若某几何体的三视图（单位CM）如图所示，则此几何体的体积是（）A（1820）CM2CM3B（2420）CM3C（1828）CM23D（2428）CM3考点由三视图求面积、体积专题空间位置关系与距离分析首先根据三视图把几何体的复原图展示出来，进一步利用体积公式求出结果解答解根据三视图得知该几何体是在一个圆柱中去除一个四棱台，首先求出圆柱的底面半径，所以该几何体的体积是V圆柱V四棱台2428故选D点评本题考查的知识要点三视图的应用，利用几何体的体积公式求几何体的体积主要考查学生的空间想象能力和应用能力5若实数X，Y满足不等式组，且ZY2X的最小值等于2，则实数M的值等于（）A1B1C2D2考点简单线性规划专题不等式的解法及应用分析作出不等式组对应的平面区域，利用ZY2X的最小值等于2，结合数形结合即可得到结论解答解由ZY2X，得Y2XZ，作出不等式对应的可行域，平移直线Y2XZ，由平移可知当直线Y2XZ经过点A时，直线Y2XZ的截距最小，此时Z取得最小值为2，即Y2X2，由，解得，即A（1，0），点A也在直线XYM0上，则M1，故选A点评本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法6已知F（X），则方程FF（X）2的根的个数是（）A3个B4个C5个D6个考点根的存在性及根的个数判断专题计算题；函数的性质及应用分析由题意，根据分段函数分段讨论根的可能性，从而求F（X），再由F（X）求X即可解答解由题意，当F（X）0时，FF（X）2F（X）2，无解；当F（X）0时，FF（X）|LOG2F（X）|2；故F（X）或F（X）4，若F（X），则同上可得，2X，|LOG2X|；故X2或X或X；若F（X）4，则同上可得，2X4，|LOG2X|4；故X2（舍去）或X16或X；故共有5个根；故选C点评本题考查了分段函数的应用及方程根的个数问题，属于基础题7在ABC中，BC5，G，O分别为ABC的重心和外心，且5，则ABC的形状是（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D上述三种情况都有可能考点平面向量数量积的运算专题解三角形；平面向量及应用分析在ABC中，G，O分别为ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得，又BC5，则有|2|2|2|2|2，运用余弦定理即可判断三角形的形状解答解在ABC中，G，O分别为ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图则ODBC，GDAD，由5，则（）5，即（）5，则，又BC5，则有|2|2|2|2|2，由余弦定理可得COSC0，即有C为钝角则三角形ABC为钝角三角形故选B点评本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用余弦定理判断三角形的形状是解题的关键8如图所示，A，B，C是双曲线1（A0，B0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且|BF|CF|，则该双曲线的离心率是（）ABCD3考点双曲线的简单性质专题压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BFAC且|BF|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合A，B，C的关系和离心率公式，化简整理成离心率E的方程，代入选项即可得到答案解答解由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|2|OA|2|OF|2C，设A（M，N），则M2N2C2，又1，解得M，N，即有A（，），B（，），又F（C，0），由于BFAC且|BF|CF|，可设C（X，Y），即有1，又（C）2（）2（XC）2Y2，可得X，Y，将C（，）代入双曲线方程，可得1，化简可得（B2A2）A3，由B2C2A2，E，可得（2E21）（E22）21，对照选项，代入检验可得E成立故选A点评本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的A，B，C的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，同时注意选择题的解法代入检验，属于难题二、填空题本大题共7小题，912题每小题6分，1315题每小题6分，共36分9集合A0，|X|，B1，0，1，若AB，则AB0，1，AB1，0，1，CBA1考点交集及其运算；并集及其运算专题集合分析由A，B，以及A为B的子集确定出X的值，进而确定出A，求出A与B的交集，并集，以及A的补集即可解答解A0，|X|，B1，0，1，且AB，|X|1，即A0，1，则AB0，1，AB1，0，1，BA1故答案为0，1；1，0，1；1点评此题考查了交集及其运算，以及并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键10设两直线L1（3M）X4Y53M与L22X（5M）Y8，若L1L2，则M7，若L1L2，则M考点直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系专题直线与圆分析由直线的平行和垂直关系分别可得M的方程，解方程验证可得解答解两直线L1（3M）X4Y53M与L22X（5M）Y8，若L1L2，则（3M）（5M）420，解得M1或M7，当M1时两直线重合应舍去，M7若L1L2，则2（3M）4（5M）0，解得M故答案为7；点评本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系，属基础题11已知ABCDEF为正六边形，若向量，则|；（用坐标表示）考点平面向量的坐标运算专题平面向量及应用分析画出图形，利用向量的坐标运算，求解即可解答解ABCDEF为正六边形，若向量，如图A（0，0），B，C，D，E，F（0，2）|（0，2）|2故答案为；点评本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查12设数列是公差为D的等差数列，若A32，A912，则D；A1220考点等差数列的性质专题等差数列与等比数列分析由数列是公差为D的等差数列，结合已知列式求得公差，再代入等差数列的通项公式求A12解答解数列是公差为D的等差数列，且A32，A912，则，即，解得D，即A1220故答案为；20点评本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题13设抛物线Y24X的焦点为F，P为抛物线上一点（在第一象限内），若以PF为直径的圆的圆心在直线XY2上，则此圆的半径为1考点抛物线的简单性质专题圆锥曲线的定义、性质与方程分析由抛物线的方程求出焦点坐标，设出P的坐标，利用中点坐标公式求PF的中点，把中点坐标代入直线XY2求得P的坐标，再由两点间的距离公式求圆的半径解答解如图，由抛物线Y24X，得其焦点F（1，0），设P（）（Y00），则PF的中点为（）（），由题意可知，点（）在直线XY2上，解得Y02P（1，2），则圆的半径为故答案为1点评本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识考查了考生对基础知识的综合运用和知识迁移的能力，是中档题14若实数X，Y满足4X22XY2Y0，则2XY的范围是2，0考点基本不等式专题不等式的解法及应用分析配方并三角换元可得2XYCOSSIN，由三角函数的值域求解方法可得解答解把已知式子配方可得（2X）2（Y）2，2XYCOSSINSIN（）1，1SIN（）1，2SIN（）10，2XY的范围为2，0，故答案为2，0点评本题考查不等式求式子的取值范围，三角换元是解决问题的关键，属中档题15如图所示的一块长方体木料中，已知ABBC4，AA11，设E为底面ABCD的中心，且（0），则该长方体中经过点A1、E、F的截面面积的最小值为考点棱柱的结构特征专题空间位置关系与距离分析首先找到经过点A1、E、F的截面为平行四边形，然后根据平行四边形面积公式结合二次函数知识求得截面的最小值解答解设截面为A1FMN，显然A1FMN为平行四边形，过A点作AGMF与G，则MGA1G，作MKAD与K，根据题意AF4，则CMDK4，KF48，MF，易知RTMKFRTAGF，AG，A1G2AG2AA121，S截面2MF2A1G2MF2（1）162242（48）232（10221）320（）2（0），当时，S截面2取得最小值，此时S截面为故答案为点评本题考查了棱柱的结构特征本题中的长方体是一直棱柱，所以棱AA1平面ABCD，则AA1AE三、解答题本大题共5小体，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16已知函数F（X）COS2X8SIN4（）求函数F（X）的最小正周期；（）求函数YF（2X）在X上的值域考点三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象专题三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析（）首先对函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步求出函数的周期（）直接利用函数的关系式，再利用函数的定义域求出函数的值域解答解（）函数F（X）COS2X8SIN412SIN2X212SIN2X2（1COSX）24COSX3，所以函数的最小正周期为2（）由于F（X）4COSX3，所以YF（）4COS（）3由于所以则COS（2X）1，则5Y1函数的值域为5，1点评本题考查的知识要点三角函数的诱导公式，利用余弦型函数的关系式求函数的周期，利用函数的定义域求函数的值域17如图所示，在三棱锥DABC中，ABBCCD1，AC，平面ACD平面ABC，BCD90（）求证CD平面ABC；（）求直线BC与平面ABD所成角的正弦值考点二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定专题空间位置关系与距离；空间向量及应用分析（I）取AC中点M，连结BM，过M在平面ACD上作MNAC，通过已知条件可分别以MB、MC、MN为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系，设D（0，Y，Z），利用BCD90即0，可得D（0，1），进而CD平面ABC；（II）通过题意，直线BC与平面ABD所成角的正弦值即为平面ABD的法向量与的夹角的余弦值的绝对值，计算即可解答解（I）取AC中点M，连结BM，过M在平面ACD上作MNAC，平面ACD平面ABC，MN平面ABC，又ABBC，MBAC，分别以MB、MC、MN为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系如图，则有B（，0，0），C（0，0），设D（0，Y，Z），则有（，0），（0，Y，Z），BCD90，0，解得Y，又CD1，D（0，1），（0，0，1），故CD平面ABC；（II）A（0，0），设平面ABD的法向量为（X，Y，Z），由（0，0），（，0），得，取（，1，），又（，0），SIN|点评本题考查线面垂直的判定定理，向量的数量积运算，注意解题方法的积累，属于中档题18如图所示，椭圆C1（AB0）与直线ABYX1相切于点A（1）求A，B满足的关系式，并用A，B表示点A的坐标；（2）设F是椭圆的右焦点，若AFB是以F为直角顶点的等腰直角三角形，求椭圆C的标准方程考点椭圆的简单性质专题圆锥曲线的定义、性质与方程分析（1）直线方程与椭圆方程联立化为（A24B2）X24A2X4A24A2B20，由于直线与椭圆相切，可得0，即可解出切点A；（2）设AF的斜率为K，由BAF45，利用“到角公式”可得TAN45，解得K再利用斜率计算公式可得，由BFAF，可得KBF得到直线BF的方程，两条直线方程联立可得B利用|AF|BF|可得方程，联立解得A2，C，再利用B2A2C2即可得出解答解（1）联立，化为（A24B2）X24A2X4A24A2B20，（）直线与椭圆相切，16A44（A24B2）（4A24A2B2）0，化为A24B242XAA2，解得XA，YAB2A（，B2）（2）设AF的斜率为K，由BAF45，TAN451，解得K，化为（）BFAF，KBF3直线BF的方程为Y3（XC），联立，解得B|AF|BF|，化为，与（）联立解得A2，C1，B2椭圆C的标准方程为点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题转化为方程联立可得0、等腰直角三角形的性质、“到角公式”、相互垂直的直线斜率之间的公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题19已知函数F（X）X2（A4）X3A（1）若F（X）在区间0，1上不单调，求A的取值范围；（2）若对于任意的A（0，4），存在X00，2，使得|F（X0）|T，求T的取值范围考点利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用分析（1）求导F（X）2X（A4），从而可得F（0）F（1）（A4）（2A4）0，从而解得；（2）易知F（X）X2（A4）X3A的对称轴为X（0，2），故函数F（X）在0，上是减函数，在，2上是增函数；从而化对于任意的A（0，4），存在X00，2，使得|F（X0）|T为对于任意的A（0，4），|F（0）|T或|F（2）|T或|F（）|T有一个成立即可，即|F（0）|，|F（2）|，|F（）|MAXT即可，再由F（1）0知|F（0）|，|F（2）|，|F（）|MAX|F（0）|，|F（2）|MAX，从而解得解