教室座位选择问题数学建模

1教室座位选择问题摘要本文研究交大两种教室在不同的影响条件下对于最佳座位的选择问题，构建线性离散加权模型的评价体系，从仰角、视角和学生与老师的距离L三个不同的影响因素来研究最佳位置。针对问题一，在不考虑老师的影响因素下，分别对普通教室和阶梯教室的最佳位置进行研究。我们需要在获得本题相关数据的前提下设置一个数学量建立一个评价体系，通过该数学量的取值来评价座位的最佳程度。对于此问题的评价体系，由于最佳位置是由多个因素共同决定，且每排座位都可以看作离散的个体，故采用线性离散加权模型对和进行客观的加权的出每排座位的满意度。首先，我们算出每排的角与角的大小，然后对其进行数据的一致化处理，为极大型数据，而为中间型数据，我们统一将数据转化为极大型。于是我们将减去30加绝对值，之后再取倒数，得极大型数据，再用极值化法对处理后的数据进行无量纲化，然后用变异系数法对视角和仰角加权，最后建立线性离散加权模型进行求解。最终在客观赋权的基础上求出普通教室的最佳座位位于第6排，满意度为07191，阶梯教室的最佳座位位于第4排，满意度为08852对于问题二，在考虑座位与距离老师远近产生的影响下，分别选出普通教室和阶梯教室的最佳座位。大致步骤同问题一相似，只是多了一个评价指标，既座位与老师的距离，座位越靠前越容易集中精神，也越好。我们把距离与老师的影响视为线性相关，从而把老师对学生的影响转化为与老师距离的大小，所以需要求出每排座位的距离，进行预处理与加权，再建立线性离散加权模型进行求解。最终在三个因素的共同影响下确定普通教室的最佳座位位于第6排，满意度为05470，其中第1排与第6排的满意度比较接近，阶梯教室的最佳座位位于第四排，满意度为07980。由最终结果可知，通过变异系数法所确定的的权重明显高于其他两个评价指标，致使满意度在很大程度上取决于的取值，而与距离L的影响相对不大，这主要因为我们是通过客观的变化规律对指标取得相应的权重，完全忽略了主观因素对结果的影响。针对本文的特点，由于评价的对象与指标比较少，且贴近实际生活，我们完全可以通过调查同学们的想法来确定指标的主观权重。所以，为了保留指标的自身变化，同时力争减少赋权的客观随意性，使属性的赋权达到主观与客观的统一，我们运用了主客观赋权法对变异系数法进行了优化。本文的最大特色，便是在客观结果的基础上通过实地问卷调查，将客观指标与主观指标相结合，使属性的赋权达到主观与客观的统一，从而更加贴近实际，结果更具有说服力关键词线性离散加权模型预处理无量纲化极大型极值化法变异系数法主客观赋权法2一、问题提出自高中升入大学，许多学生一下子从紧张的学习进入到自由宽松的学习氛围中，也有一部分同学依旧保持着热忱的学习热情，在大学上课前抢着去占座位。西南交通大学峨眉校区六号楼的教室大体可以分为两类，一类是普通教室，一类是阶梯教室，下图为两类教室的剖面图。据悉，座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角是学生眼睛到屏幕上下边缘的夹角，越大越好；仰角是学生眼睛到屏幕上边缘与水平线的夹角，太大会引起人的头部过分上仰而引起不适，最适宜的角度大约为，另外所占座位越靠前排越容易集中精神，也越好。30如图，设屏幕下边缘距地面高度为，屏幕高，普通教室第一排与屏幕的水平1H2H距离为，阶梯教室第一排与屏幕的水平距离为，每一排的距离为，普通教室1DDD总共为学生平均坐高为（指眼睛到地面的距离）。已知参数，C123H1D，（单位），普通教室总共有8排，阶梯教室总共有142405D1M排且从第6排开始有阶梯，每节阶梯有一排座位且高度为。（如图所示）0M1、假设不考虑座位与距离老师远近产生的影响，请分别选出普通教室和阶梯教室的最佳座位；2、考虑座位与距离老师远近产生的影响，请分别选出普通教室和阶梯教室的最佳座位。3二、基本假设1、假设最佳座位不受个人习惯、成绩、视力和学科以及其他因素的影响，统一标准客观对待；2、假设在同一排座位的满意度相同，不受左右的影响；3、假设老师站位距离黑板12米处，且不考虑老师的移动问题；4、假设同学到老师的距离为同学眼睛距老师所站之处11米高处质点的距离；5、假设老师的影响与同学到老师的距离线性相关；三、符号说明符号意义单位符号意义单位视角S3011仰角SLLM屏幕下边缘距地面高度M2H屏幕高M1D普通教室第一排与屏幕的水平距离MD阶梯教室第一排与屏幕的水平距离MD每一排的间距MC眼睛到地面的距离ML到老师的距离M无量纲化后的H4无量纲化后的L无量纲化后的L的权重系数L的权重系数的权重系数最终满意度四、问题分析由题意可知，学生对座位的满意程度主要取决于听课时的视角，仰角以及距离老师的距离，越大越好，而越接近越好，与老师的距离越近越好，最佳位置03就是要在这三者之间找到一个契合点，使学生对三者的综合满意程度达到最大。本文主要通过对水平视角，仰角以及距老师的距离进行无量纲化，再分别对三者取权重，从而建立一个非线形型离散加权模型。针对问题一，不考虑座位与距离老师远近产生的影响，分别求普通教室和阶梯教室最佳座位所在。首先，我们算出每排的角与角的大小，然后对其进行数据的一致化处理，全部转化为极大型数据，然后再进行无量纲化与加权，最后建立非线性离散加权模型进行求解。对于问题二，在考虑座位与距离老师远近产生的影响下，分别选出普通教室和阶梯教室的最佳座位。大致步骤同问题一相似，只是多了一个评价指标，既座位与老师的距离，座位越靠前越容易集中精神，也越好。我们把距离与老师的影响视为线性相关，从而求出每排座位的距离，进行预处理与加权，再建立线性离散加权模型进行求解。最后，我们考虑到所占权重太大，过于客观，其实很多同学对座位的选取是凭主观意识来进行的，所以我们改进了对数据加权的方法，采用主客观赋权法，从而使结果更符合实际，更具有说服力。5五、模型的建立与求解51问题一模型建立与求解511问题一的分析针对问题一，不考虑座位与距离老师远近产生的影响，分别求普通教室和阶梯教室最佳座位所在。对于普通教室，总共有8排，第一排距黑板距离D为3M，第一排距老师18M。对于阶梯教室，总共14排，从第六排开始有阶梯且每排阶梯上升01米。第一排距离黑板距离为4米，距离老师28米。两阶梯教室每排宽度为05米，黑板距离地面H为12米，黑板高度为3米，第一排学生视线距离地面11米。仰角为，视角为。首先，我们算出每排的角与角的大小，然后对其进行数据的一致化处理，统一转化为极大型数据，然后运用极值化法对处理之后的数据进行无量纲化，再通过变异系数法算出每个指标对应的权重，最后建立非线性离散加权模型求出最佳6座位。512问题一模型的建立针对，两个指标，越大越好，越靠近30越舒适。虽然与的单位都是度，但却为两个不同的评价指标，为了保证结果的可靠性，需要对与进行一定的处理。（一）普通教室与的求解根据题意得D1ND0H2ARCT）（D1ND0ARCT）（N1,2，8）于是可分别得到八排座位对应的与值，见表111数据的一致化处理由题意可知，为极大型数据，而为中间型数据，我们统一将数据转化为极大型。于是我们将减去30加绝对值，之后再求导，得极大型数据S301结果见表112数据的无量纲化与是两个不同的评价指标，要想将它们进行比较，我们采用了极值化法将其无量纲化，既MINAXI，得到与的两个在0,1之间的无量纲，见表113变异系数法加权与的重要性是不同的，所以我们通过客观的加权法，既变异系数法对与分别授予不同的权重均值标准差均值（N1,2，8J1,2）N1IIJ标准差（N1,2，8J1,2）21N1IJIJ）（7得的权重系数08136，的权重系数15227，于是可得的权重3482052718360的权重61线性离散加权模型求出最佳座位为了得出最佳座位，我们建立了线性离散加权模型作为综合评价模型，既（N1,2，8J1,2）N1IIJIJ得最终每个座位的满意度，见表114（2）阶梯教室阶梯教室的求解步骤与普通教室大致相同，只是因为阶梯教室一共有14排座位且从第六排开始就会有01M的阶梯，所以与的数据也会发生相应的变化。与的求解根据题意得D1ND0H2ARCT）（D1N2D0ARCT）（N1,2，5）D1N206HRT）（）（D1N206RT）（）（N6,7，14）于是可分别得到14排座位对应的与值。数据的一致化处理统一将与转化为极大型S301数据的无量纲化采用了极值化法将其无量纲化，既MINAXI，得到与的两个在0,1之间的无量纲，变异系数法加权与的重要性是不同的，所以我们通过客观的加权法，既变异系数法对与分别授予不同的权重8均值标准差均值（N1,2，14J1,2）N1IIJ标准差（N1,2，14J1,2）21N1IJIJ）（得的权重系数08142，的权重系数19947，于是可得的权重290471820的权重19线性离散加权模型求出最佳座位建立线性离散加权模型作为综合评价模型，既（N1,2，14J1,2）N1IIJIJ得最终每个座位的满意度，见表121513问题一模型的求解（一）普通教室与的求解表111数据的一致化处理表112数据的无量纲化440311398931363436306531283673263686246142459392405544377765317998294071254986238862S0062700867012860219205559169490373902229表11310786906041044690311001933009040000147004040095903022100000190700976线性离散加权模型的求解得最终每个座位的满意度第1排第2排第3排第4排第5排第6排第7排第8排0348202836023670218103052071910155700636由此可见，普通教室第6排位所求最佳座位，满意度位07191。（2）阶梯教室数据如下表121由此可见，阶梯教室的最佳座位在第4排，满意度为08852514问题一结果的分析及验证S权重权重第一排3634363777570128610044902907103219第2排3329123456302192084850100102907103171第3排30653131798905559071760305402907104250第4排283673294116949060421000002907108852最佳位置第5排26368627325403739050510194502907102845第6排24773324773301913042590083102907101825第7排23318622499301333035370047802907101365第8排2220470601049028830030502907101052第9排20797118649500881022860020202907100806第10排19705517008900770017440013402907100601第11排18707715525300691012490008602907100423第12排17792614176300632007950005002907100266第13排1695712952800587003810002202907100126第14排1618981183230055000029071010对于普通教室，经过计算发现第六排是满意度最高的。对于阶梯教室，经过计算发现第四排效果最好。由于题目结果就是由，与两个指标确定下来的，所以对他们预处理，及无量纲化后，再来计算他们的权重，通过计算，发现所占权重相对而言比较大，所以当趋近于30时，满意度就会越高。我们之前采用过平均值法来对指标无量纲化，但发现这种方法使对应的权重太大，从而使得的影响程度太小，考虑到数据的合理性我们最终采用极值化法来对数据进行处理。误差来源极值化法也存在着一些不足，在改变各变量权重时过分依赖两个极端取值，偏于客观。同时在处理数据时，我们都是取得小数点后四位进行计算，此处应该也存在误差。灵敏度分析本模型每排最终满意度的大小差别很大，说明灵敏度高，变化趋势明显。52问题二模型建立与求解521问题二的分析对于问题二，在考虑座位与距离老师远近产生的影响下，分别选出普通教室和阶梯教室的最佳座位。大致步骤同问题一相似，只是多了一个评价指标，既座位与老师的距离，座位越靠前越容易集中精神，也越好。我们把距离与老师的影响视为线性相关，从而把老师对学生的影响转化为与老师距离的大小，所以需要求出每排座位的距离，进行预处理与加权，再建立线性离散加权模型进行求解。522问题二模型的建立针对，与L三个指标，越大越好，越靠近30越舒适，距离L越小越好。假设老师站位距离黑板12米处，同学到老师的距离为同学眼睛距老师所站之处11米高处质点的距离且不考虑老师的移动问题。同第一问一样，因为，与L是三个不同的评价指标，如果要将它们三个进行比较，必须将其无量纲化后加权。（1）普通教室，与L的求解根据题意得D1ND0H2ARCT）（D1ND0ARCT）（L（N1,2，8）81）（于是可分别得到八排座位对应的，与L的值。数据的一致化处理由题意可知，为极大型数据，而为中间型数据，L为极小型数据，我们统一将数据转化为极大型。于是我们将减去30加绝对值，之后再求导，对于L秩序求导就行了SSL301L111数据的无量纲化，与L是三个不同的评价指标我们采用了极值化法将其无量纲化，既MINAXI变异系数法加权，与L的重要性是不同的，所以我们通过客观的加权法，既变异系数法对，与L分别授予不同的权重均值标准差均值（N1,2，8J1,2，3）N1IIJ标准差（N1,2，821N1IJIJ）（J1,2,3）得的权重系数08136，的权重系数15227，L的权重系数09739，于是可得的权重245809735218360的权重69L的权重2830975218360L线性离散加权模型求出最佳座位为了得出最佳座位，我们建立了线性离散加权模型作为综合评价模型，既（N1,2，8J1,2，3）N1IIJIJ得最终每个座位的满意度，见表211（2）阶梯教室，与L的求解根据题意得D1ND0H2ARCT）（D1N2D0ARCT）（12L（N1,2，5）D1N82）（2D06HARCT）（）（D1N2D06ARCT）（）（L（N6,7，14）21815NDN）（于是可分别得到14排座位对应的，与L的值。数据的一致化处理统一将数据转化为极大型SSL301L1数据的无量纲化，与L是三个不同的评价指标我们采用了极值化法将其无量纲化，既MINAXI变异系数法加权，与L的重要性是不同的，所以我们通过客观的加权法，既变异系数法对，与L分别授予不同的权重均值标准差均值（N1,2，14J1,2，3）N1IIJ标准差（N1,2，1421N1IJIJ）（J1,2,3）得的权重系数08142，的权重系数19947，L的权重系数10044，于是可得的权重2030419781420的权重59613L的权重2401019478120L线性离散加权模型求出最佳座位为了得出最佳座位，我们建立了线性离散加权模型作为综合评价模型，既（N1,2，14J1,2，3）N1IIJIJ得最终每个座位的满意度，见表221523问题二模型的求解（1）普通教室数据表格表211第1排第2排第3排第4排第5排第6排第7排第8排4403113989313634363329123065312836732636862461424593940554377763456231799294072549823886L1823283338434853预处理006270086701286021920555916949037390222L预处理0555604348035710303002632023260208301887无量纲10786906041044690311001933009040无量纲00014700404009590302210190700976L无量纲099990670704591031160202901195005350权重0245802458024580245802458024580245802458权重0464904649046490464904649046490464904649L权重0289302893028930289302893028930289302893满意度0535103943030010244602756054700126300454可见，在考虑座位与距离老师远近产生的影响下，普通教室第6排位最佳座位，满意度为05470，其中第1排与第6排的满意度比较接近，也可以近似作为最佳座位。（2）阶梯教室数据表格表221A预处理B预处理X预处理A无量B无量纲X无量纲A权重B权重X权重Y第1排3634360128603571100449102203053960240104846第2排332912021920303008485010010792402203053960240104312第3排306531055590263207176030540639202203053960240104764第4排28367316949023260604210521702203053960240107980第5排263686037390208305051019450428702203053960240103191第6排24773301913018860425900831035310220305396024010223514第7排233186013330172303537004780290402203053960240101734第8排22010490158602883003050237502203053960240101370第9排207971008810146802286002020192402203053960240101075第10排197055007700136701744001340153502203053960240100825第11排187077006910127701249000860118902203053960240100607第12排177926006320107300795000500040702203053960240100300第13排16957005870101700381000220019202203053960240100142第14排16189800550009670000220305396024010有此表得，在考虑座位与距离老师远近产生的影响下，阶梯教室第四排为最佳座位，满意度为07980。524问题二结果的分析及验证在加入老师的影响之后，每排的数据相对于第一问来说都有不同程度的变化，相对而言的权重还是高于与L的权重，但是每排的满意度变化有所减缓。问题二的误差可能很大程度上来源于老师产生的影响，因为我们近似的把老师的影响转化为与老师的距离的大小看待。六、模型的优化由以上可知，通过变异系数法所确定的的权重明显高于其他两个评价指标，致使满意度在很大程度上取决于的取值，而与距离L的影响相对不大，这主要因为我们是通过客观的变化规律对指标取得相应的权重，完全忽略了主观因素对结果的影响。虽然客观赋权法在不考虑属性实际含义的情况下确定权重具有优势，但不能体现决策者对不同属性的重视程度，有时甚至会出现确定的权重与属性实际重要程度相悖的情况针对本文的特点，由于评价的对象与指标比较少，且贴近实际生活，我们完全可以通过调查同学们的想法来确定指标的主观权重。所以，为了保留指标的自身变化，同时力争减少赋权的客观随意性，使属性得赋权达到主观与客观的统一，我们对变异系数法进行了优化。实地调查确定主观权重我们通过对学校将近100名同学进行了一个简单的问卷调查，通过询问他们在选择座位时更重视哪一个因素，分别得出了普通教室与阶梯教室，与L的主观权重。如图所示15主客观赋权法确定最终权重最终权重系数主观权重系数客观权重系数问题一中普通教室，的最终权重03164，06836，于是可得普通教室每排的满意度，如表61所示表61第1排第2排第3排第4排第5排第6排第7排第8排满意度0316402590021870206903050074480158900667由该表可知，第六排为最佳座位。问题一中阶梯教室，的最终权重03701，06299，于是可得阶梯教室每排的满意度，如表62所示表62排数满意度第1排03984第2排03771第3排04580第4排08535最佳座位第5排03094第6排02100第7排01610第8排01259第9排00973第10排00730第11排00516第12排00326第13排00155第14排016由该表可知，第4排为最佳座位。问题二中普通教室，与L的最终权重01771，03825，L04404，于是可得普通教室每排的满意度，如表63所示表63排数第1排第2排第3排第4排第5排第6排第7排