中考必做的36道数学压轴题

中考必做的36道数学压轴题第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”例12013北京，23,7分在平面直角坐标系O中，抛物线XY（）与轴交于点A，其对称轴与轴交于点B22MXY0X（1）求点A，B的坐标；（2）设直线与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；LL（3）若该抛物线在这一段位于直线的上方，并且在这一段位12XL32X于直线AB的下方，求该抛物线的解析式解（1）当X0时，Y2A（0，2）抛物线对称轴为X，1MB（1，0）（2）易得A点关于对称轴的对称点为A（2，2）则直线L经过A、B没直线的解析式为YKXB则解得2,0KB2,直线的解析式为Y2X2（3）抛物线对称轴为X1抛物体在2X3这一段与在1X0这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在2X1这一段位于直线L的上方，在1X0这一段位于直线L的下方抛物线与直线L的交点横坐标为1；当X1时，Y2X124则抛物线过点（1，4）当X1时，M2M24，M2抛物线解析为Y2X24X2连接（2013江苏南京，26，9分）已知二次函数YA（XM）2A（XM）（A、M为常数，且A0）（1）求证不论A与M为何值，该函数的图象与X轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C与X轴交于A、B两点，与Y轴交于点D当ABC的面积等于1时，求A的值；当ABC的面积与ABD的面积相等时，求M的值【答案】（1）证明YA（XM）2A（XM）AX2（2AMA）XAM2AM因为当A0时，（2AMA）24A（AM2AM）A20所以，方程AX2（2AMA）XAM2AM0有两个不相等的实数根所以，不论A与M为何值，该函数的图象与X轴总有两个公共点3分（2）解YA（XM）2A（XM）A（X）2，14A所以，点C的坐标为（，）14当Y0时，A（XM）2A（XM）0解得X1M，X2M1所以AB1当ABC的面积等于1时，11所以1（）1，或112424所以A8，或A8当X0时，YAM2AM所以点D的坐标为（0，AM2AM）当ABC的面积与ABD的面积相等时，11214M21（）1（AM2AM），或11（AM2AM）A114A所以M，或M，或M9分22变式（2012北京，23，7分）已知二次函数在和2312YTXTX0时的函数值相等。X（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；6YKX3AM，K（3）设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在BC，点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将BC，B0NG（2）中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答当平移后的直线与图6YKX象有公共点时，的取值范围。GN【答案】（1）方法一二次函数在和2312YTXTX0时的函数值相等2X334TT这个二次函数的解析式是213YX方法二由题意可知二次函数图象的对称轴为1X则21T3T这个二次函数的解析式是213YX（2）二次函数的图象过点3,AM2136M又一次函数的图象经过点YKX6K4（3）令2130解得X由题意知，点B、C间的部分图象的解析式为，（）132YX13X则向左平移后得到图象G的解析式为，（）1312YXN1NXN此时平移后的一次函数的解析式为46Y若平移后的直线与平移后的抛物线相切46YXN1312YXN则有两个相等的实数根。146312XN即一元二次方程有两个相等的实数的根。290X判别式234NN解得与矛盾0平移后的直线与平移后的抛物线不相切6YX1312YXN结合图象可知，如果平移后的直线与图象G有公共点，则两个临界交点为和,0N3,0N则，解得416023N，解得623N第2题“弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破（例题）（2012湖南湘潭，26，10分）如图，抛物线的图象与0232AXAY轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为XABYCB0,4（1）求抛物线的解析式；（2）试探究的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点是线段下方的抛物线上一点，求的面积的最大值，并求出此MMC时点的坐标【答案】解（1）将B（4，0）代入中，得0232AXAY21A抛物线的解析式为1（2）当时，解得，2312X41X12A点坐标为（1，0），则OA1当X0时，2YC点坐标为（0,2），则OC2在RTAOC与RTCOB中，21OBCARTAOCRTCOBACOCBOACBACOOCBCBOOCB90那么ABC为直角三角形所以ABC的外接圆的圆心为AB中点，其坐标为（15，0）（3）连接OM设M点坐标为（X，）2312X则OBCOBMCSS42123214XXX当X2时，MBC的面积有最大值为4，M的坐标为（2，3）变式（2011安徽芜湖24）面直角坐标系中，ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到ABOC（1）若抛物线过点C，A，A，求此抛物线的解析式；（2）ABOC和ABOC重叠部分OCD的周长；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时AMA的面积最大最大面积是多少并求出此时M的坐标第三题“模式识别”记心头，看似“并列”“递进”（例题）23（2012河南，23，11分）如图，在平面直角坐标系中，直线12YX与抛物线23YAXB交于A、B两点，点A在X轴上，点B的纵坐标为3点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合），过点P作轴的垂线交直线AB与点C，作PDAB于点D（1）求A、B及SINP的值；（2）设点P的横坐标为M用含的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；连接PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为910若存在，直接写出值；若不存在，说明理由第23题图BCDXOPAY【答案】（1）由02X，得2,X,0A由3，得4,3B2YAXB经过A两点，1,2AB24BA设直线AB与轴交于点E，则0,1PC轴，PO25SINSIA（2）由可知抛物线的解析式为13YX21,3,2PMCM224C在RTDA中，SINPA21559M50当1时，PD有最大值5存在满足条件的值，329或【提示】分别过点D、B作DFPC，BGPC，垂足分别为F、G在TRPDFA中，2185PDM又4,BGM28545PCDBSA当910PCA时，解得M；当25DBSM时，解得329变式一27（2011江苏泰州，27，12分）已知二次函数YX2BX3的图像经过点P（2,5）（1）求B的值，并写出当1X3时Y的取值范围；（2）设点P1（M,Y1）、P2（M1,Y2）、P3M2,Y3在这个二次函数的图像上当M4时，Y1、Y2、Y3能否作为同一个三角形的三边的长请说明理由；当M取不小于5的任意实数时，Y1、Y2、Y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由【答案】解（1）把点P代入二次函数解析式得5（2）22B3，解得B2当1X3时Y的取值范围为4Y0（2）M4时，Y1、Y2、Y3的值分别为5、12、21，由于51221，不能成为三角形的三边长当M取不小于5的任意实数时，Y1、Y2、Y3的值分别为M22M3、M24、M22M3，由于，M22M3M24M22M3，（M2）280，当M不小于5时成立，即Y1Y2Y3成立所以当M取不小于5的任意实数时，Y1、Y2、Y3一定能作为同一个三角形三边的长，变式二（2013重庆B卷，25，10分）如图，已知抛物线的图像与X轴的CBXY2一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与Y轴交于点C0，5（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在X轴下方图像上的一动点，过点M作MN/Y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在X轴下方图像上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为，ABN的面积为，1S2S且，求点P的坐标216SYXOCAB【答案】解（1）设直线BC的解析式为，将B（5，0），C（0，5）代入有NMXY解得所以直线BC的解析式为50NM51NXY再将B（5，0），C（0，5）代入抛物线有CBXY2解得所以抛物线的解析式为2CB56C562XY（2）设M的坐标为（X，），则N的坐标为（X，），62X5MN5X52当时，MN有最大值为421PM2MYXOCABNMQ（3）当时，解得，0562XY1X52故A（1,0），B（5,0），所以AB4由（2）可知，N的坐标为（，）255412S则，那么3062115CBPS在Y上取点Q1，0，可得Q故QPBC则直线QP的解析式为1XY当时，解得，562X23X所以P点坐标为（2，），（，），34第四题“准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构”（例题）（2012四川资阳，25，9分）抛物线的顶点在直线上，过点F214YXM3YX的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA轴于点A，NB2,轴于点BX（1）3分先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含的代数式表示），再求的值；M（2）3分设点N的横坐标为，试用含的代数式表示点N的纵坐标，并说明ANFNB；（3）3分若射线NM交轴于点P，且PAPB，求点M的坐标X109（第25题图）答案解（1）2211144YXMX顶点坐标为2,顶点在直线上，323，得2M（2）点N在抛物线上，点N的纵坐标为214A即点N,过点F作FCNB于点C，在RTFCN中，FC2，NCNBCB,A214A2NF2C2214A214而NB2，NFNB2F（3）连结AF、BF由NFNB，得NFBNBF，由（2）的结论知，MFMA，MAFMFA,MA轴，XNB轴，MANB,AMFBNF180XMAF和NFB的内角总和为360,2MAF2NBF180，MAFNBF90,MABNBA180，FBAFAB90又FABMAF90FBAMAFMFA又FPABPF，PFAPBF，PFBA2PAB109过点F作FG轴于点G,在RTPFG中，XPG，POPGGO，2PFG83143P,014设直线PF，把点F（2,2）、点P,0代入解得YKXB143YKXB，直线PFK34B72374解方程，得3或2（不合题意，舍去）12XXX当3时，M（3,）Y55变式一25已知抛物线YAX2BXC（A0）顶点为C（1，1）且过原点O过抛物线上一点P（X，Y）向直线Y作垂线，垂足为M，连FM（如图）4（1）求字母A，B，C的值；（2）在直线X1上有一点F1，求以PM为底边的等3腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，T），使PMPN恒成立若存在请求出T值，若不存在请说明理由解（1）抛物线YAX2BXC（A0）顶点为C（1，1）且过原点O，可得1，1，C0，2BA4CBA1，B2，C0（2）由（1）知抛物线的解析式为YX22X，故设P点的坐标为（M，M22M），则M点的坐标（M，），54PFM是以PM为底边的等腰三角形PFMF，即（M1）2（M22M）2（M1）2（）2343M22M或M22M，341341当M22M时，即4M28M506480160此式无解当M22M时，即M22M34114M1或M1、当M1时，P点的坐标为（1，），M点的坐标为323214（1，）54、当M1时，P点的坐标为（1，），M点的坐标为（1323214，），54经过计算可知PFPM，MPF为正三角形，P点坐标为（1，）或（1，）32143214（3）当T时，即N与F重合时PMPN恒成立4证明过P作PH与直线X1的垂线，垂足为H，在RTPNH中，PN2（X1）2（TY）2X22X1T22TYY2，PM2（Y）2Y2Y，54516P是抛物线上的点，YX22X；PN21YT22TYY2Y2Y，5161YT22TYY2Y2Y，移项，合并同类项得Y2TYT20，39Y（2T）（T2）0对任意Y恒成立329162T0且T20，T，故T时，PMPN恒成立4存在这样的点变式二（2012山东潍坊，24，11分）如图12，已知抛物线与坐标轴分别交于A（，0）、2B（2，0）、C（0，）三点，过坐标原点O的直线与抛物线交于M、N两1YKX点分别过点C、D（0，）作平行于X轴的直线L1、L22（1）求抛物线对应二次函数的解析式；（2）求证以ON为直径的圆与直线L1相切；（3）求线段MN的长（用K表示），并证明M、N两点到直线L2的距离之和等于线段MN的长图12XYABCDOMNL1L2【答案】解（1）设抛物线对应二次函数的解析式为，2YAXBC由，解得0421ABC140AB所以24YX（2）设M（X1，Y1），N（X2，Y2），因为点M、N在抛物线上，所以，所以；214YX214YX241XY又，ON222Y所以ON，又因为Y2，Y1所以ON2设ON的中点为E，分别过点N、E向直线L1作垂线，垂足为P、F，则EF，OCP2Y所以ON2EF，即ON的中点到直线L1的距离等于ON长度的一半，所以以ON为直径的圆与直线L1相切（3）过点M作MHNP交NP于点H，则，22NH21X21Y又Y1KX1，Y2KX2，所以，22KX所以；1KX又因为点M、N既在YKX的图象上又在抛物线上，所以，即，214X240K所以X2K，26K21所以，212所以，6MNK所以MN241延长NP交L2于点Q，过点M作MSL2于点S，则MSNQ，12Y1144X21X又，21X268KK所以MSNQMN21即M、N两点到直线L2的距离之和等于线段MN的长第24题XYABCDOMNL1L2EPQFSH第五题末尾“浮云”遮望眼，“洞幽察微”深指向例题（2012浙江宁波，26，12分）如图，二次函数的图象交X轴于2YAXBCA（1，0），B2，0，交Y轴于C（0，2），过A，C画直线1求二次函数的解析式；2点P在X轴正半轴上，且PAPC，求OP的长；3点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H若M在Y轴右侧，且CHMAOC（点C与点A对应），求点M的坐标；若M的半径为，求点M的坐标45【答案】解1设该二次函数的解析式为12YAX将X0，Y2代入，得2A0102解得A1抛物线的解析式为，即12YX2YX2设OPX，则PCPAX1在RTPOC中，由勾股定理，得221解得，即32XOP3CHMAOC，MCHCAO情形1如图，当H在点C下方时，MCHCAO，CMX轴，2MY2X解得X0（舍去），或X1，M1，2情形2如图，当H在点C上方时MCHCAO，由2得，M为直线CP与抛物线的另一交点，设直线CM的解析式为YKX2把P（，0）的坐标代入，得，330K解得，4K由，23X解得X0（舍去），或X，73此时，109Y10,9M在X轴上取一点D，过点D作DEAC于点E，使DE45COADEA90，OACEAD，ADEAOC，ADECO，解得AD2452AD1，0或D（3，0）过点D作DMAC，交抛物线于M则直线DM的解析式为或2YX26YX当2X6X2X2时，方程无实数解当2X2X2X2时，解得1717,点M的坐标为M或M,3217,32变式一25如图，抛物线YX2X3与X轴相交于点A、B，与Y轴相交于14点C，顶点为点D，对称轴L与直线BC相交于点E，与X轴相交于点F（1）求直线BC的解析式；（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，R为半径作P当点P运动到点D时，若P与直线BC相交，求R的取值范围；若R，是否存在点P使P与直线BC45相切若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由提示抛物线YAX2BXX（A0）的顶点坐标（，2BA24C），对称轴XBA变式二22（2012广东省，20，9分）如图，抛物线与X轴交于A、B2139Y两点，与Y轴交于点C，连接BC、AC1求AB和OC的长；2点E从点A出发，沿X轴向点B运动点E与点A、B不重合，过点E作直线L平行于BC，交AC于点D设AE的长为M，ADE的面积为S，求S关于M的函数关系式，并写出自变量M的取值范围；3在2的条件下，连接CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积结果保留【答案】1当Y0时，解得X13，X26AB|X1X2|36|921390X当X0时，Y9OC92由1得A3,0，B6,0，C0,9，直线BC的解析式为YX9，直线AC的解析式为Y3X92AE的长为M，EM3,0又直线L平行于直线BC，直线L的解析式为YX2M由得，点D,M392YX93XY93ADE的面积为SAE|D纵|M3|M|0M9122133CDE面积为SACESADE，922193当M3时，CDE面积的最大值为此时，点E0,0如图，作OFBC于F，OB6，OC9，OFOBC269183以点E为圆心，与BC相切的圆的面积为21834第6题分类讨论“程序化”，“分离抗扰”探本质例题（2011贵州遵义，27，14分）已知抛物线经过A3，0,032ABXYB4，1两点，且与Y轴交于点C。（1）求抛物线的函数关系式及点C的坐标；032ABX（2）如图（1）,连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使PAB是以AB为直角边的直角三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2）,连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标。【答案】（1）23,04,YAXB39AB612B120,3ABC、代入中解得解析式为令时，点坐标为（2）若PAB90，分别过P、B作X轴的垂线，垂足分别为E、F。图（1）易得APEBAF,且BAF为等腰直角三角形，APE为等腰直角三角形。设PEA，则P点的坐标为（A，A3）代入解析式3A解得A0，或A3（与A重合舍去）25P（0,3）若PBA90，如下图，直线与X轴交与点D,分别过P、B作X轴的垂线，垂足分别为E、F。由图可得PED、BAD为等腰直角三角形，设PEA，则DEA，AB,所以2AD2，则P点坐标为（5A，A）代入解析式，解得，A1，或A6（与B重合）是213所以P点坐标（1,6）综上所述P（0,3）或P（1,6）（3）由题意得，CAOOAF45利用同弧所对的圆周角相等，OEFOAF45EFOEAO45EOF为等腰直角三角形，SEOF。21OE当OE最小时，面积最小。即E为AC中点（3,变式一（2011山东枣庄，25，10分）如图，在平面直角坐标系中，把抛物线XOY向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线所得抛物2YX2YXHK线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为AB、BCD（1）写出的