南方凤凰台江苏专用2017版高考数学大一轮复习第八章不等式第46课简单的线性规划文

1第46课简单的线性规划本课时对应学生用书第页自主学习回归教材1必修5P95习题11改编若实数X，Y满足不等式组102XY，则ZX2Y2的最小值是第1题【答案】5【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，ZX2Y2的最小值表示阴影部分包含边界中的点到原点的距离的最小值的平方，由图可知直线XY10与直线X1的交点1，2到原点的距离最近，故ZX2Y2的最小值为122252必修5P94习题8改编若变量X，Y满足约束条件1325XY，则Z2XY的最大值为【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，可得直线YX与直线3X2Y5的交点A1，1为最优解点，所以当X1，Y1时，ZMAX32第2题3必修5P90习题6改编若变量X，Y满足约束条件412XY，则ZXY的最小值是第3题【答案】2【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示由ZXY，得YXZ令Z0，画出YX的图象，当它的平行线经过A2，0时，Z取得最小值，最小值为ZMAX24必修5P90习题6改编若变量X，Y满足约束条件102YX，则ZX2Y的最大值为【答案】3【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，由ZX2Y，得Y12XZ，由图可知，当直线经过点A1，1时，Z最大，且最大值为ZMAX12133第4题1线性规划及其相关概念1目标函数欲达到最大值或最小值所涉及的变量X，Y的解析式称为目标函数关于X，Y的一次目标函数称为线性目标函数2约束条件由X，Y的不等式或方程组成的不等式组称为X，Y的约束条件关于X，Y的一次不等式或方程组成的不等式组称为X，Y的线性约束条件3可行解满足线性约束条件的解X，Y称为可行解4可行域所有可行解组成的集合称为可行域5最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解6求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题2解线性规划问题的步骤1画，即画出线性约束条件所表示的可行域；2移，即在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；3求，即通过解方程组求最优解；4答，即给出答案【要点导学】4要点导学各个击破简单的线性规划问题例12015天津卷设变量X，Y满足约束条件208XY，则目标函数Z3XY的最大值为【思维引导】先根据约束条件画出可行域，将Z3XY转化成直线Y3XZ，得到Z的几何意义是纵截距通过平移直线来求出Z的最大值例1【答案】9【解析】方法一作出约束条件表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A2，3处取得最大值，且ZMAX9方法二Z3XY52X21X2Y899，当X2，Y3时取得最大值【精要点评】1线性规划是高考中常考的知识点，一般以客观题形式出现，基本题型是给出约束条件求目标函数的最值2解决此类问题常利用数形结合，根据约束条件画可行域时，准确作出图形是解决问题的关键3要弄清与Z有关的量的几何意义常见的结合方式有纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离4在直线平移过程中要注意目标直线的斜率与可行域中各直线斜率的比较5变式2015全国卷若变量X，Y满足约束条件201XY，则Z3XY的最大值为变式【答案】4【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，当目标函数线平移至经过可行域的顶点A1，1时，目标函数Z取得最大值，故ZMAX3114非线性目标函数的最值问题例2已知变量X，Y满足约束条件43521XY，试求解下列问题1Z2的最大值和最小值；2ZYX的最大值和最小值；3Z|3X4Y3|的最大值和最小值【思维引导】1Z的几何意义是区域中的点X，Y到原点0，0的距离；2Z的几何意义是指区域中的点X，Y与点2，0连线的斜率；35Z的几何意义是表示区域中的点X，Y到直线3X4Y30的距离6例2【解答】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，易得A1，1，B5，2，C215，1Z2XY表示的几何意义是可行域中的点X，Y到原点0，0的距离，如图所示，ZMAX9，ZMIN2Z2X表示区域中的点X，Y与点M2，0连线的斜率，如图所示ZMAXKMC15，ZMINKMB73Z|3X4Y3|5|34|5XY，而|34|5XY表示区域中的点X，Y到直线3X4Y30的距离，如图所示，ZMAX26，ZMIN10【精要点评】1此题中与Z有关量的几何意义不再是纵截距，而是与点到点的距离、斜率、点到直线的距离2在第3问中5才是点到直线的距离变式2015四川卷设实数X，Y满足约束条件21046XY，则XY的最大值为【答案】257变式【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，在ABC区域中结合图象可知当动点在线段AC上时XY取得最大，此时2XY10XY122XY2XY5，当且仅当X52，Y5时取等号，对应点5，落在线段AC上，故最大值为5可转化为线性规划的问题例3已知正数A，B，C满足534LNLABC，则A的取值范围是【答案】E，7【解析】条件534LNLCABC，可化为354EACBB，设ACX，Y，则题目转化为已知变量X，Y满足354E0XY，求的取值范围8例3作出X，Y所在的平面区域如图中阴影部分所示假设在YEX上一点PX0，Y0处取得最小值则0，设GXE，GX21EX，易知X1时，GX取得最小值，故此时0YXE当X，Y对应点C时，Y取得最大值7所以Y的取值范围为E，7，即BA的取值范围是E，7变式若变量A，B满足约束条件318AB，求U2A的最大值【解答】将不等式组两边同时取以3为底的对数得33LOG0L4BA，再令XLOG3A，YLOG3B，得04XY，同时令ZLOG3U2LOG3ALOG3B2XY，题目就转化为若X，Y满足约束条件4XY，求Z2XY的最大值9变式作出可行域如图中阴影部分所示，将Z2XY化为Y2XZ，平移直线Y2XZ，当直线过点A时，Z取得最大值，联立34XY，解得A1，1，此时ZMAX2111，UMAX3线性规划的实际应用问题例42015陕西卷某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1T每种产品需原料及每天原料的可用限额如下表所示，如果生产1T甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，求该企业每天可获得最大利润甲乙原料限额AT3212BT128【思维引导】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为XT，YT，表示利润为Z3X4Y，列出约束条件为0328XY，将语言文字通过建模转化为线性规划问题10例4【解答】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为XT，YT，则利润Z3X4Y，由题意可列不等式组03218XY，其表示的可行域如图中阴影部分所示当直线3X4YZ0过点A2，3时，Z取得最大值ZMAX324318，所以该企业每天可获得最大利润为18万元【精要点评】1应用题建模是难点，线性规划类型题往往容易多了不等式或者漏了不等式2在线性规划建模过程中，要注意实际应用问题对定义域的要求1若实数X，Y满足XY1XY10且X1，1，则XY的最大值为【答案】3第1题【解析】因为XY1XY10，所以10，或0，作出可行域如图中阴影部分所示令XYZ，则YXZ，当直线YXZ平移经过点A1，2时，XY取得最大值为322015广东卷若变量X，Y满足约束条件204XY，则Z2X3Y的最大值为11第2题【答案】5【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线L02X3Y0，再作一组平行于L0的直线L2X3YZ，当直线L经过点时，Z2X3Y取得最大值，由24，得41XY，所以点的坐标为4，1，所以ZMAX243153已知实数X，Y满足约束条件130XY，那么ZX2Y22X的最小值是第3题【答案】1【解析】记目标函数为ZX2Y22XX12Y21表示可行域中的点与A1，0的距离D的平方减去1，易知DMIN，所以Z的最小值为11242014安徽卷已知变量X，Y满足约束条件20XY，若ZYAX取得最大值的最优解不唯一，则实数A的值为【答案】2或1第4题【解析】方法一画出可行域如图中阴影部分所示，可知点A0，2，B2，0，C2，2，则ZA2，ZB2A，ZC2A2要使对应最大值的最优解有无数组，只需ZAZBZC或ZAZCZB或ZBZCZA，解得A1或2方法二画出可行域如图中阴影部分所示，ZYAX可变形为YAXZ，令L0YAX，则由题意知L0AB或L0AC，故A1或2趁热打铁，事半功倍请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第9192页【检测与评估】第46课简单的线性规划一、填空题131在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点为A3，1，B1，1，C1，3，则由ABC围成的区域所表示的二元一次不等式组为22015湖南卷若变量X，Y满足约束条件1XY，则Z2XY的最小值为32015辽宁育才中学一模已知实数X，Y满足约束条件10YAX，若目标函数ZXY的最大值为4，则实数A的值为4已知实数X，Y满足不等式组2043XY，则32XY的取值范围是52015福建卷已知变量X，Y满足约束条件02XYM，若Z2XY的最大值为2，则实数M的值为6若实数X，Y满足约束条件2045XY，则Z|X2Y4|的最大值为72015南京、盐城一模若变量X，Y满足约束条件203XY，则2XY的最大值为1482014福建卷已知圆CXA2YB21，平面区域703XY，若圆心C，且圆C与X轴相切，则A2B2的最大值为二、解答题9给出的平面区域是ABC内部及边界如图中阴影部分所示，若目标函数ZAXYA0取得最大值的最优解有无穷多个，求A的值及Z的最大值第9题10已知实数X，Y满足不等式组02XY，1求Z1X2Y2的最小值；2求Z2的取值范围11为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两个项目，根据市场调研知，甲项目每投资100万元需要配套电能2万千瓦时，可提供就业岗位24个，GDP增长260万元；乙项目每投资100万元需要配套电能4万千瓦时，可提供就业岗位36个，GDP增长200万元已知该地为甲、乙两个项目最多可投资3000万元，配套电能100万千瓦时，若要求两个项目能提供的就业岗位不少于840个，问如何安排甲、乙两个项目的投资额，才能使GDP增长得最多15三、选做题不要求解题过程，直接给出最终结果122015重庆卷若不等式组20XYM，表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则实数M的值为132015苏北四市期末若实数X，Y满足XY40，则ZX2Y26X2Y10的最小值为【检测与评估答案】第46课简单的线性规划1205XY，【解析】如图，直线AC的方程为2XY50，直线BC的方程为XY20，直线AB的方程为X2Y10在三角形的内部任取一点，如点1，1，代入上述三条直线方程的左边得21150，12110又因为含有边界，所以ABC围成的区域所表示的二元一次不等式组为5XY，第1题1621【解析】根据约束条件1XY，作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当直线Z2XY过点A时，Z取得最小值联立1XY，解得0X，所以A0，1，所以Z2XY在点A处取得最小值为1第2题32【解析】作出不等式组10XYA，所表示的可行域如图中阴影部分如示联立0YAX，解得XY，即点AA，A作直线LZXY，则Z为直线L在Y轴上的截距，当直线L经过可行域上的点AA，A时，直线L在Y轴上的截距最大，此时Z取最大值，即ZMAXAA2A4，解得A2第3题4539，【解析】由条件知，可行域是以点A48，B3，6，C3，1为顶点组成的三角形及其内部如图中阴影部分所示，而目标函数可化为Z2XY2，其中MINYX17MAX13Y，2，设FTT2，FT2T321T，其中T123，故当T1时，FTMIN3又F59，F25，故FTMAX59，即所求取值范围为59，第4题51【解析】将目标函数变形为Y2XZ，当Z取最大值，则直线纵截距最小，故当M0时，不满足题意；当M0时，画出可行域如图中阴影部分所示，其中B21，显然O0，0不是最优解，故只能B21M，是最优解，代入目标函数得42，解得M1第5题621【解析】作出可行域如图中阴影部分所示由Z|X2Y4|52|4|1XY，知Z|X2Y4|表示在可行域内取一点到直线X2Y40的距离的倍，由图知点C7，9到直线X2Y40的距离最大，所以ZMAX|7294|2118第6题78【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示直线2XY0与直线X2Y30的交点为1，2，代入目标函数MXY得到最大值为3，由函数Y2M为增函数，得2XY的最大值为238第7题837【解析】作出不等式组03XY，表示的平面区域如图中阴影部分所示含边界，圆CXA2YB21的圆心坐标为A，B，半径为1由圆C与X轴相切，得B1解方程组701XY，得6XY，即直线XY70与直线Y1的交点坐标为P6，1又点C，则当点C与P重合时，A取得最大值，所以A2B2的最大值为621237第8题9直线ZAXYA0是斜率为A，在Y轴上的截距为Z的直线族，从图上可以看出，当A小于直线AC的斜率时，目标函数ZAXYA0取得最大值的最优解是5，2；当A大于直线AC的斜率19时，目标函数ZAXYA0取得最大值的最优解是1，4；只有当A等于直线AC的斜率时，目标函数ZAXYA0取得最大值的最优解才有无穷多个，线段AC上的所有点都是最优解直线AC的斜率为12，所以A时，Z的最大值为1214910首先画出可行域，如图中阴影部分所示第10题1Z1X2Y2表示的是可行域内任意一点X，Y到点0，0的距离的平方由图可知，点AX，Y到点O0，0的距离最小，点A的坐标是1，0，所以Z1MIN120212