高中数学研究性学习案例分析

高中数学研究性学习案例分析研究性学习作为必修内容是普通高中新课程的一个亮点，倍受各方关注。本市2006年的春季、秋季高考都尝试把研究型的数学试题引进了试卷，取得了良好效果。然而，就目前高中数学教学的现状而言，研究性学习无疑是广大学生和教师面临的现实挑战,是一个内容资源亟待充实、教学方法亟待提高的弱项。进才中学张雪明结合自身教学实践，提出一些学习案例，期望能给读者一些参考。背景与问题在水平桌面上放一只内壁光滑的且近似抛物面形的玻璃水杯，取一些长短不一的细直金属棒随意丢入该水杯中,发现呈现如图所示的现象1猜想交汇点性质2结合猜想,根据物理学原理，对上述现象提出假说3将假说数学化4对假说的真假加以证明5自我评价以下探索过程现与探索1焦点2假说根据物体平衡的重心性质判断，当细棒长度不小于抛物线通径时，当且仅当细棒过抛物线焦点时它的中点到桌面距离最小；反之，当且仅当细棒平行于桌面时它的中点离桌面距离最小。3数学化已知抛物线方程是X22PY,焦点是F，现有长度为定值A的抛物线的弦AB，AB中点为M。则当|AB|2P时，只要AB过F，M到X轴的距离最小；而当|AB|2P时，只要AB与X轴平行，M到X轴的距离最小。4证明方法一如图，记A、B、M在准线上的射影分别是A1、B1、M1，因为总有|FA|FB|AB|，所以2|MM1|AA1|BB1|FA|FB|AB|A，即当AB过焦点时M到准线距离取得最小值,为|AB|的一半,此时M到X轴距离最小。不过这个方法只证明了AB长不小于2P时的情形。方法二令AB所在的直线方程是YKXB,代入X22PY得X22PKX2PB0，如令AX1,Y1、BX2,Y2则有X1X22PK,X1X22PB。所以由弦长公式可得A2|AB|21K22PK28PB，上为增函数可知K0时Y1Y2最小因而M到X轴距离最小，此时AB平行X轴；方法三“物理”方法。如图，对于后一条件易证明弦恰过焦点，对于前一条件，当然是指弦与X轴平行了。综上所述，当弦长不小于通径时，它过焦点时重心最低；当弦长小于通径时，它平行于X轴这样的弦因为太“短“，不能够过焦点时重心最低。从而根据物理学原理证明了原数学问题。5上述探索的过程表明“数理相通，数学与物理是人们从不同角度认识世界的两种表面迥异但内涵相同的东西。总之它们可以互相证明、变通。如本题，一旦理解了它的物理含义，则它其中隐含的东西就昭然若揭，思路明晰了。”此稿由新民晚报东方网大力神超级高考讲座提供进才中学张雪明高中数学新课程理念的教学实践对两节数学优质课的案例分析1案例背景广东省高中数学课程改革已历时五年，其改革理念中有许多亮点，如教学理念倡导以学生为主体，教师为主导；如关于学习方式，倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。但在实践中，具体实施情况与原来构想确有相当大的差距，传统的讲授式教学依然占据统治地位，其根源在于新课程理念与高考升学压力以及传统的教学方式存在巨大而现实的矛盾。从知识的传输效率来看，完全的接受式在单位时间知识的传输效率明显高于自主探究式，但从学习的效益尤其是能力培养方面，新课程理念倡导的方式又具有明显优势。怎样解决理念与实践的矛盾呢，并使之成为教学常态呢下面先看看两个教学案例的片段2两个案例案例1在高一数学平面向量数量积的坐标表示、模、夹角中，教师引导学生复习了平面向量的数量积、向量的模、向量的夹角等概念后，强调了数量积定义的几何特征教师进而指出两个向量的和、差以及数乘可以通过坐标进行运算,既方便又简洁以前研究了平面向量数量积的几何表示形式，那么对于向量的数量积还有哪些需进一步研究的问题呢生甲向量可以用坐标表示，那么，能否用坐标表示数量积生乙如果能够，怎样用、的坐标表示此时，教师板书本节课课题平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，并作了进一步的铺垫，设，即，然后，由两名学生在黑板上板演，其他学生在演算本上同步演算，大约6分钟后得到结论在此基础上，学生通过进一步演算得到了模及夹角的坐标表示式案例2高二数学正弦定理中，教师引导学生复习了直角三角形中三角函数的定义，在中，有，注意到,即可整理出指出这是一个涉及三角形边、角关系的十分优美、和谐的关系式师该式是在直角三角形情景推出的，下一步我们需研究什么问题生上述结论在任意三角形中是否成立师大家可以尝试一下并让一名学生在黑板上探索解决5分钟后，二十多个学生得到了结论，包括在黑板上板演的学生但所画的三角形几乎都是锐角三角形有少数学生画的三角形的顶角为钝角，遇到了一些麻烦，师生共同探讨，完善了证明，指出证明正弦定理时分类讨论的必要性以及怎样分类讨论师结论对于任意三角形均成立，退到直角三角形中，易于发现,而,请问，你有何发现生，也就是说，当若干个三角形内接于同一半径的圆时，这个比值为定值，即该圆的直径。上述两个案例的课堂教学结构基本上呈现为设置情景、提出问题探究解决、形成结论适度拓展、发展能力变式练习、反思矫正归纳小结、纳入系统等五个环节，教学中，教师把学生思维活动的着力点放在提出问题、探究解决两个环节，并且力争让学生独立地提出核心问题或在教师的引导下提出核心问题，然后让学生能够独立地解决该问题或在教师的指导下解决该问题，如案例1中用坐标表示平面向量的数量积的提出以及解决完全由学生来完成，案例2中一般三角形的正弦定理由学生提出，而完善的证明则是在教师的指导下，由学生完成的，其它环节主要是以教师的讲解为主，师生互动为辅3案例分析31较好地体现了通过“自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程”的新课程理念这两个案例中，教师将核心问题提出以及解决由学生独立完成，或在教师的引导下提出核心问题，并且在教师的指导下由学生解决该问题，提高了学生提出问题与解决问题的意识以及提出问题、分析问题与解决问题的能力，使学生知识和能力均有较大发展，较好地体现了新课程理念。32充分体现了“以学生为主体，教师为主导”的教学理念由于高中数学有相当多的教学内容具有较强的抽象性、又具有一定的运算能力要求，如果只用自主探究的方式组织教学，必然在教学效果、效率以及在有限时间内促进学生最大发展等方面大打折扣；但若完全采用讲授式教学，又不利于学生自主性的发挥这就要求教师能够将两者有机结合，既能体现学生的主体地位，又能体现教师的主导作用这两个案例将本节课的核心问题由学生提出并加以解决，其它内容则采用启发式、讲授式完成，符合“以学生为主体，教师为主导”的教学理念33能够使新课程理念的实施成为教学常态课堂教学必然要注重教学效率与效益，显然，两个案例很好地解决了这个问题传统的讲授式教学之所以难以割舍，不仅仅因为教师易于操控教学进程，更主要的原因是单位时间内传输的信息量大；新课程倡导的教法和学法难以全面实施，不是教师的意识或能力问题，而是传输知识的效率不高，虽然对培养学生的能力等效益很好因此，这两节课较好地解决了新课程理念与现实教学的矛盾，因而能成为教学的常态，使学生每节课都能有机会体验提出问题、分析问题、解决问题的这一重要思维历程新课程实施以来，有的地区说研究性学习一学期一次，仅在公开课、观摩课时作为点缀，这使新课程理念的实施大打折扣。34有效地解决了继承与发展的关系毋庸讳言，新课程倡导的教学方法和学习方法与国内教学实际有相当大的差距，因而带来教师教学上的困惑、迷茫和无所适从，其根源在于没有处理好新方法与有效的传统方法的关系，两种教学方式反差过大，也就是说，没有处理好教学方法的发展与继承的关系问题。上述两个案例都能够从学生知识储备和能力实际出发，从问题的提出、问题的探究解决贯穿着启发式教学，在单位教学时间里有效解决了问题，课堂中始终洋溢着学生积极主动的探索精神和积极思考的学习形态，是一种有益的、有意义的尝试与教学实践。新课程理念实施过程遇到的诸多困难和挫折，正反映出新课程理念与教学现实的巨大矛盾，抱怨于事无补，而是要有效解决这一矛盾。这就要求教师积极进行教育教学研究，有研究的实践与体验，能够在教学实践中提出问题，能够找到问题的关键，能够揭示问题的本质，能够带领学生突破问题的难点，从而寻找到有价值的方法与思路教学方法的选择要考虑到教学内容的难度，也要考虑到学生学习能力、知识储备的客观实际，在此基础上，选择的具体教学方式应以最大限度发挥学生主体性为准则，也就是说，选择教学方法时定位要准确完全的教授式教学方式不能笼统的斥为失去学生主体性，完全的主体性也不能使各个层次的学生获得最大而有效发展，将两者生硬地割裂是不客观的（邮编523129联系电浅谈高中数学案例分析与研究性学习的方法数学研究性学习是一种以学生为主体的积极学习活动过程，是学生在数学教学活动中去自主选择研究学习课题，亲身去发现、提出、探究和解决数学问题的探索性学习方式。从某些数学问题以及其它学科或实践生活中出现的问题中选择并确定研究性课题，运用类似于数学学科的科学研究方法去获取和应用数学知识，从而在掌握数学知识的同时，体验、理解、掌握和应用数学学科的研究方法，培养科学精神，发展科研能力的一种学习方式。一研究性学习课题的大概类型1知识探究型。即对基础知识的研究，这是学生研究课题中的最低层次。2社会调查型。通过对社会的研究调查，提出研究性学习的课题。3创造发明型。在学生研究性学习课程中，最高的研究层次应是创新发明。通过自已的努力，以科技创造为目标，进行认真的科技发明尝试，并能取得成果。4学术研究型。在研究性学习中，经过研究探索写出学术论文，这个层次较高。二、高中数学的研究性课题选择举例1社会生活实践方面（1）现在到银行存钱是我们生活中最平常不过的事情，但从中可得出一个研究性课题。“银行存款利息和利税的调查。探讨在银行存款方式的选择中的数学原理1）各种银行存款的利息2）存款的本金和的计算（2）比较各种情况下的存款和利息与利税的关系，确定方案。使在5年内的收益最大。（3）2热门问题（1）足球运动员在射门时，面对对方守门员，射门时的角度、球速与守门员扑球时的移动速度有何关系，能将球射入球门足球运动员在何处射门最好不考虑其它因素（3）现在人们的投资方式有很多，比如购买了人寿保险或银行投资。请你用所学的数学等知识说明对于不同单位的人、不同年龄的人，如何合理的购买能使受保人得到最大的保障；根据你的研究，你可以向保险公司提供什么的建议某人在40岁时参加保险，或将应交保额逐年存入银行，假设此人预期寿命为75岁，请你对这两种投资方式进行比较，确定此人是投保收益大，还是存银行收益大。3其它问题。如最优化问题无盖盒子的最大容积问题，用一张边长为A的正方形铁皮，如何制作一个无盖长方体盒子,使其容积最大三、高中数学研究性课题中教师主导作用教师根据学生探究情况，作适当的点拔，主要是方法上的引导如何进行分类讨论，分类有哪些原则研究函数的性质可按哪些步骤进行各种性质之间有哪些内在联系如何作一个函数的图象如何制作电脑动画（1）类比应用在交流、总结之后，教师给出给出相同类型的的问题，让学生运用自己的研究成果去独立解决，学生在自主地完成任务之后产生的喜悦之情是不言而喻的，从而更加增强了研究性学习的信心。（2）深化总结师生交流后，及时引导学生总结、反思。让学生讲一讲研究学习过程中思维受阻情况，讲一讲交流后的感受、启示。本课题重在引导学生学习研究问题的一般操作程序，掌握常用的思维方法从特殊到一般的归纳推理，由此及彼的类比推理等等。通过研究过程的反思总结，学生逐渐积累起研究的经验，掌握研究的方法，从而真正学会研究。（3）推广延伸在完成上述课题后，教师引导学生思考能否作进一步的推广和再探究。让有一定能力的同学继续探究，使学生体会到，知识是无限的，学习和探索的过程也是永无止境的。立足课堂，让学生以研究者的身份参与研究学习，增强了学生的主体意识。由于学生亲身参与探索，经过自主的思维活动而获得了知识印象特别深刻。四、高中数学研究性课题中让电脑成为研究性学习的帮手。随着教育现代化的推进，电脑和数学软件正在象“黑板、粉笔”一样走进寻常数学教学之中，它为研究性学习的开展开辟了更加广阔的渠道。运用电脑技术，可以把文字、声音、图形、动画、色彩与闪烁结合起来，在探索问题、培养学生创新能力方面，有着独到的作用。如利用几何画板研究函数YASINX的图象及性质，学生可以亲身感悟到图象的形成过程及变化规律，这是传统教学手段永远无法做到的。学生通过实验、观察、猜想、证明、检验，亲身经历了知识每一发生形成过程，真正进入了一个研究者的角色。数学教育不仅关注学习结果，更关注结果是如何发生、发展的。学生通过对一主题的探究构建起教师希望学生掌握的知识。因此高中数学不少教学内容适合于开展研究性学习。教师应当鼓励学生按自己的认知方式主动建构，我们相信不同的学生建构起的知识是不一样的，因此研究性学习要非常注重学生之间的交流、评价和反馈，通过资源共享，检查、落实教学目标高中数学教学中“余弦定理”教学案例分析创设数学情境是前提，提出问题是重点，解决问题是核心，应用数学知识是目的，因此所设情境要符合学生的“最近发展区”。“余弦定理”具有一定广泛的应用价值，教学中我们从实际需要出发创设情境。一设计思路建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。二、教学过程1、设置情境自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如下图），已知车箱的最大仰角为60，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为195M，AB与水平线之间的夹角为620，AC的长为140M，计算BC的长（保留三个有效数字）。2、提出问题师大家想一想，能否把这个实际问题抽象为数学问题（数学建模）能，在三角形ABC，已知AB195M,AC140M，BAC606206620，求BC的长。师能用正弦定理求解吗为什么不能。正弦定理主要解决已知三角形的两边与一边的对角，求另一边的对角；已知三角形的两角与一边，求角的对边。师这个问题的实质是什么在三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。（一般化）三角形ABC，知ACB，BCA，角C，求AB。3、解决问题师请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的先从特殊图形入手，寻求答案或发现解法。（特殊化）可以先在直角三角形中试探一下。直角三角形中C2A2B2（勾股定理角C为直角）斜三角形ABC中（如图3），过A作BC边上的高AD，将斜三角形转化为直角三角形。（联想构造）师垂足D一定在边BC上吗不一定，当角C为钝角时，点D在BC的延长线上。（分类讨论，培养学生从不同的角度研究问题）在锐角三角形ABC中，过A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB2AD2BD2，在直角三角形ADC中，ADACSINC,CDACCOSC即ADBSINC,CDBCOSC又BDBCCD,即BDABCOSCC2BSINC2ABCOSC2B2SIN2CA22ABCOSCB2COS2CA2B22ABCOSC同理A2B2C22BCCOSAB2A2C22ACCOSB在钝角三角形ABC中，不妨设角C为钝角，过A作AD垂直BC交BC的延长线于D，在直角三角形ADB中，AB2AD2BD2，在直角三角形ADC中，ADACSIN（C）,CDACCOS（C），即ADBSINC,CDBCOSC，又BDBCCD,即BDABCOSCC2BSINC2ABCOSC2B2SIN2CA22ABCOSCB2COS2CA2B22ABCOSC同理A2B2C22BCCOSAB2A2C22ACCOSB同理可证A2B2C22BCCOSAB2A2C22ACCOSB师大家回想一下，在证明过程易出错的地方是什么4、反思应用师同学们通过自己的努力，发现并证明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意两边与夹角的关系，请大家考虑一下，余弦定理能够解决哪些问题知三求一，即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；已知三角形的三条边，求角。余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。师请同学们用余弦定理解决本节课开始时的问题。（请一位同学将他的解题过程写在黑板上）解由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACCOSA195214022195140COS66203571BC189M答顶杆BC约长189M。师大家回想一想，三角形中有六个元素，三条边及三个角，知道其中任意三个元素，是否能求出另外的三个元素不能，已知的三个元素中，至少要有一个边。师解三角形时，何时用正弦定理何时用余弦定理已知三角形的两边与一边的对角或两角与一角的对边，解三角形时，利用正弦定理；已知三角形的两边和它们的夹角或三条边，解三角形时，利用余弦定理。三、教学反思本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。高中数学问题教学法教学案例分析直线的斜率一、案例背景高中数学课程标准指出“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。”，“高中数学课程应该反璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。”上述精神表达了数学教学的新理念，即坚持以学生为主体，教师为主导。在这种理念下，数学的课堂教学应该是丰富多彩的学生创造性的活动。可是，却有很多学生对数学不大感兴趣，觉得数学很难学，很枯燥。我觉得其中的一个原因是在课堂教学中，教师没有创设适当的问题情境，来激发学生的求知欲。“问题教学法”正是以问题为主线，引导学生主动探究，体验数学发现和构建的过程，完全符合新课程标准的理念。因此，“问题教学法”在高中数学新课程的教学中尤显重要。下面，我结合直线的斜率的内容就新课标下高中数学问题教学法谈一些个人体会。二、案例过程（一）、创设情境，引入课题师同学们骑自行车上坡时很吃力，这与坡的什么有关课件生与坡的平缓和陡有关。师我们分析一下坡的平缓和陡问题。先请同学们来观察下面两幅图片课件如图是两张不同的楼梯图。问题1其中的楼梯有什么不同生楼梯的平缓和陡程度不同。问题2用什么量来刻画楼梯的平缓和陡呢（提示观察楼梯下面两个三角形）生用高度和宽度的比值来反映。师一般地高度和宽度的比值就叫坡度。所以楼梯的倾斜程度是由坡度来刻画的，坡度越大，楼梯越陡。（二）、归纳探索，形成概念1、借助模型，直观感知课件给出一个楼梯模型楼梯上面有一条直线，直线就反映坡度。设计意图从模型直观感知直线的斜率，完成直线的斜率的感性认识。问题3楼梯的倾斜程度用坡度来刻画，那么直线的倾斜程度用什么量来刻画呢（对第三个问题，学生议论纷纷，部分学生不知道如何准确回答）2、通过探究，形成概念师研究直线的倾斜程度可以借助直角坐标系。（师生共同探究，得出直线的斜率严格的定义，板书定义。引导学生找出定义中的关键），这个比值就叫直线的斜率。（常用字母K表示）设计意图使学生体会通过实际问题如何抽象出具体的数学概念的数学过程。（三）、掌握概念，适当延展问题4如何用点的坐标形式来表示斜率呢设计意图把对直线的斜率的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的更深层次的认识。问题5直线斜率会因为点取的不同而改变吗生另取两点说明问题（不会改变）问题6是不是所有的直线都有斜率（一些学生说是的，一些学生说不是的。叫了一个说不是的学生发表一下支持自己观点的理由）生垂直于X轴的直线斜率不存在。1、让学生分析、解决问题课件例1、如图直线L1,L2,L3,L4都经过点P2,3，又L1,L2,L3,L4分别经过点Q12,1,Q24,1,Q35,3,Q42,5,讨论L1,L2,L3,L4斜率是否存在,如果存在,求出直线的斜率。（学生板演，然后由学生评价。给了学生足够的思考时间，几个学生发表了自己的看法，全班讨论、分析，达成共识）教师强调书写格式和注意点。然后引导学生小结已知不垂直于X轴的直线上任意两点就可以求出斜率。2、分别通过代数和几何角度研究直线的斜率再向上平移2个单位后得到点（4，4），因此通过点3，2，4，4画直线即得。将点3，2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到点6，0，过3，2和6，0画直线即为所求。设计意图初步掌握代数和几何角度求直线的斜率的方法和步骤。用代数方法研究图形的几何性质，培养学生数形结合的数学思想。（四）、归纳小结，提高认识教师小结1直线的斜率定义、斜率公式、几何意义、求法。2斜率是反映直线的倾斜程度，在同一条直线上任何不同的两点所确定的斜率相等。3直线的斜率公式的应用,体现了平面解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。（由于时间不够，也没能由学生做课堂小结）三、案例分析（一）本节课的设计分析1、教学难点的确定过两点的直线斜率的计算公式的推导。2、教学目标的确定根据本课教材的特点、新课标对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三个方面确定了教学目标。（1）知识与技能理解直线的斜率的概念及过两点的直线斜率的计算公式；掌握直线的倾斜角的概念及倾斜角的范围。（2）过程与方法从生活实际出发，引导学生探索直线的斜率的概念，渗透数形结合的思想方法，；通过对直线的斜率概念的研究，培养学生的主动探究知识、合作交流的意识培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。提高学生的观测、探究、分析问题、解决问题的能力。（3）情感态度价值观通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生